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山東省萊蕪市2013年中考數(shù)學(xué)試卷
一、（本大題共12個小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是正確的，請把正確選項的代碼涂寫在答題卡上，每小題選對得3分，選錯、不選或選出的答案超過一個均記零分，共36分）.
1．（3分）（2013?萊蕪）在 ， ，?2，?1這四個數(shù)中，最大的數(shù)是（　　）
　A． B． C．?2D．?1
考點：有理數(shù)大小比較．
分析：求出每個數(shù)的絕對值，根據(jù)兩個負(fù)數(shù)比較大小，其絕對值大的反而小比較即可．
解答：解：∵? = ，? = ，?2=2，?1=1，
∴ ＜ ＜1＜2，
∴? ＞? ＞?1＞?2，
即最大的數(shù)是? ，
故選B．
點評：本題考查了絕對值和有理數(shù)的大小比較的應(yīng)用，注意：兩個負(fù)數(shù)比較大小，其絕對值大的反而小．
　
2．（3分）（2013?萊蕪）在網(wǎng)絡(luò)上用“Google”搜索引擎搜索“中國夢”，能搜索到與之相關(guān)的結(jié)果個數(shù)約為45100000，這個數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為
（　�。�
　A．451×105B．45.1×106C．4.51×107D．0.451×10
考點：科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)．
分析：科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤a＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值＞1時，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，n是負(fù)數(shù)．
解答：解：45 100 000=4.51×107，
故選：C．
點評：此題主要考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤a＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．
　
3．（3分）（2013?萊蕪）下面四個幾何體中，左視圖是四邊形的幾何體共有（　�。�
　A．1個B．2個C．3個D．4個
考點：簡單幾何體的三視圖．
分析：四個幾何體的左視圖：球是圓，圓錐是等腰三角形，正方體是正方形，圓柱是矩形，由此可 確定答案．
解答：解：由圖示可得：球的左視圖是圓，圓錐的左視圖是等腰三角形，正方體的左視圖是正方形，圓柱的左視圖是矩形，
所以，左視圖是四邊形的幾何體是圓柱和正方體．
故選B．
點評：本題主要考查三視圖的左視圖的知識；考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題．
　
4．（3分）（2013?萊蕪）方程 =0的解為（　�。�
　A．?2B．2C．±2D．
考點：解分式方程．
專題：．
分析：分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．
解答：解：去分母得：x2?4=0，
解得：x=2或x=?2，
經(jīng)檢驗x=2是增根，分式方程的解 為x=?2．
故選A
點評：此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗根．
　
5．（3分）（2013?萊蕪）一組數(shù)據(jù)：10、5、15、5、20，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)分別是（　　）
　A．10，10B．10，12.5C．11，12.5D．11，10
考點：中位數(shù)；加權(quán)平均數(shù)．
分析：根據(jù)中位數(shù)和平均數(shù)的定義結(jié)合選項選出正確答案即可．
解答：解：這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為：5，5，10，15，20，
故平均數(shù)為： =11，
中位數(shù)為：10．
故選D．
點評：本題考查了中位數(shù)和平均數(shù)的知識，屬于基礎(chǔ)題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握其概念．
　
6．（3分）（2013?萊蕪）如圖所示，將含有30°角的三角板的直角頂點放在相互平行的兩條直線其中一條上，若∠1=35°，則∠2的度數(shù)為（　　）
　A．10°B．20°C．25°D．30°
考點：平行線的性質(zhì)．
分析：延長AB交CF于E，求出∠ABC，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出∠AEC，根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠2=∠AEC，代入求出即可．
解答：解：如圖，延長AB交CF于E，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∵∠1=35°，
∴∠AEC=∠ABC?∠1=25°，
∵GH∥EF，
∴∠2=∠AEC=25°，
故選C．
點評：本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角性質(zhì)，平行線性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力．
　
7．（3分）（2013?萊蕪）將半徑為3cm的圓形紙片沿AB折疊后，圓弧恰好能經(jīng)過圓心O，用圖中陰影部分的扇形圍成一個圓錐的側(cè)面，則這個圓錐的高為（　　）
　A． B． C． D．
考點：圓錐的計算．
分析：過O點作OC⊥AB，垂足為D，交⊙O于點C，由折疊的性質(zhì)可知OD為半徑的一半，而OA為半徑，可求∠A=30°，同理可得∠B=30°，在△AOB中，由內(nèi)角和定理求∠AOB，然后求得弧AB的長，利用弧長公式求得圍成的圓錐的底面半徑，最后利用勾股定理求得其高即可．
解答：解：過O點作OC⊥AB，垂足為D，交⊙O于點C，
由折疊的性質(zhì)可知，OD= OC= OA，
由此可得，在Rt△AOD中，∠A=30°，
同理可得∠B=30°，
在△AOB中，由內(nèi)角和定理，
得∠AOB=180°?∠A?∠B=120°
∴弧AB的長為 =2π
設(shè)圍成的圓錐的底面半徑為r，
則2πr=2π
∴r=1cm
∴圓錐的高為 =2
故選A．
點評：本題考查了垂徑定理，折疊的性質(zhì)，特殊直角三角形的判斷．關(guān)鍵是由折疊的性質(zhì)得出含30°的直角三角形．
　
8．（3分）（2013?萊蕪）下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的個數(shù)是（　�。�
①等邊三角形；②矩形；③等腰梯形；④菱形；⑤正八邊形；⑥圓．
　A．2B．3C．4D．5
考點：中心對稱圖形；軸對稱圖形．
分析：根據(jù)軸對稱及中心對稱的定義，結(jié)合各項進(jìn)行判斷即可．
解答：解：①是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；
②是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，符合題意；
③是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；
④是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，符合題意．
⑤是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，符合題意．
⑥是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，符合題意．
綜上可得符合題意的有4個．
故選C．
點評：此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，圖形旋轉(zhuǎn)180度后與原圖形重合．
　
9．（3分）（2013?萊蕪）如圖，在⊙O中，已知∠OAB=22.5°，則∠C的度數(shù)為（　�。�
　A．135°B．122.5°C．115.5°D．112.5°
考點：圓周角定理．
分析：首先利用等腰三角形的性質(zhì)求得∠AOB的度數(shù)，然后利用圓周角定理即可求解．
解答：解：∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBC=22.5°，
∴∠AOB=180°?22.5°?22.5°=135°．
∴∠C= （360°?135°）=112.5°．
故選D．
點評：本題考查了圓周角定理以及等腰三角形的性質(zhì)定理，正確理解定理是關(guān)鍵．
　
10．（3分）（2013?萊蕪）下列說法錯誤的是（　�。�
　A．若兩圓相交，則它們公共弦的垂直平分線必過兩圓的圓心
　B．2+ 與2? 互為倒數(shù)
　C． 若a＞b，則a＞b
　D．梯形的面積等于梯形的中位線與高的乘積的一半
考點：相交兩圓的性質(zhì)；絕對值；分母有理化；梯形中位線定理．
分析：根據(jù)相交兩圓的性質(zhì)以及互為倒數(shù)和有理化因式以及梯形的面積求法分別分析得出即可．
解答：解：A、根據(jù)相交兩圓的性質(zhì)得出，若兩圓相交，則它們公共弦的垂直平分線必過兩圓的圓心， 故此選項正確，不符合題意；
B、∵2+ 與2? = 互為倒數(shù)，∴2+ 與2? 互為倒數(shù)，故此選項正確，不符合題意；
C、若a＞b，則a＞b，此選項正確，不符合題意；
D、梯形的面積等于梯形的中位線與高的乘積，故此選項錯誤，符合題意；
故選：D．
點評：此題主要考查了相交兩圓的性質(zhì)以及分母有理化和梯形面積求法等知識，正確把握相關(guān)定理是解題關(guān)鍵．
　
11．（3分）（2013?萊蕪）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，點A的坐標(biāo)為（1， ），M為坐標(biāo)軸上一點，且使得△MOA為等腰三角形，則滿足條件的點M的個數(shù)為（　�。�
　A．4B．5C．6D．8
考點：等腰三角形的判定；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．
專題：數(shù)形結(jié)合．
分析：作出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解即可．
解答：解：如圖，滿足條件的點M的個數(shù)為6．
故選C．
點評：本題考查了等腰三角形的判定，利用數(shù)形結(jié)合求解更形象直觀．
　
12．（3分）（2013?萊蕪）如圖，等邊三角形ABC的邊長為3，N為AC的三等分點，三角形邊上的動點M從點A出發(fā)，沿A→B→C的方向運(yùn)動，到達(dá)點C時停止．設(shè)點M運(yùn)動的路程為x，MN2=y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致為（　　）
　A ． B． C． D．
考點：動點問題的函數(shù)圖象．
分析：注意分析y隨x的變化而變化的趨勢，而不一定要通過求解析式來解決．
解答：解：∵等邊三角形ABC的邊長為3，N為AC的三等分點，
∴AN=1．
∴當(dāng)點M位于點A處時，x=0，y=1．
①當(dāng)動點M從A點出發(fā)到AM=1的過程中，y隨x的增大而減小，故排除D；
②當(dāng)動點M到達(dá)C點時，x=6，y=3?1=2，即此時y的值與點M在點A處時的值不相等．故排除A、C．
故選B．
點評：本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，解決本題應(yīng)首先看清橫軸和縱軸表示的量，然后根據(jù)動點的行程判斷y 的變化情況．
　
二、題（本大題共5小題，只要求填寫最后結(jié)果，每小題填對得4分，共20分）.
13．（3分）（2013?萊蕪）分解因式：2m3?8m=　2m（m+2）（m?2）　．
考點：提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用．
專題：．
分析：提公因式2m，再運(yùn)用平方差公式對括號里的因式分解．
解答：解：2m3?8m=2m（m2?4）
=2m（m+2）（m?2）．
故答案為：2m（m+2）（m?2）．
點評：本題考查了用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解，一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進(jìn)行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止．
　
14．（3分）（2013?萊蕪）正十二邊形每個內(nèi)角的度數(shù)為　150°�。�
考點：多邊形內(nèi)角與外角．
分析：首先求得每個外角的度數(shù)，然后根據(jù)外角與相鄰的內(nèi)角互為鄰補(bǔ)角即可求解．
解答：解：正十二邊形的每個外角的度數(shù)是： =30°，
則每一個內(nèi)角的度數(shù)是：180°?30°=150°．
故答案為：150°．
點評：本題考查了多邊形的計算，掌握多邊形的外角和等于360度，正確理解內(nèi)角與外角的關(guān)系是關(guān)鍵．
　
15．（4分）（2013?萊蕪）M（1，a）是一次函數(shù)y=3x+2與反比例函數(shù) 圖象的公共點，若將一次函數(shù)y=3x+2的圖象向下平移4個單位，則它與反比例函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)為�。�?1，?5），（ ）�。�
考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題；一次函數(shù)圖象與幾何變換．
專題：計算題．
分析：將M坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式中求出a的值，確定出M坐標(biāo)，將M坐標(biāo)代入反比例解析式中求出k的值，確定出反比例解析式，根據(jù)平移規(guī)律求出平移后的一次函數(shù)解析式，與反比例函數(shù)聯(lián)立即可求出交點坐標(biāo)．
解答：解：將M（1，a）代入一次函數(shù)解析式得：a=3+2=5，即M（1，5），
將M（1，5）代入反比例解析式得：k=5，即y= ，
∵一次函數(shù)解析式為y=3x+2?4=3x?2，
∴聯(lián)立得： ，
解得： 或 ，
則它與反比例函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)為（?1，?5）或（ ，3）．
故答案為：（ ?1，?5）或（ ，3）
點評：此題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，涉及的知識有：待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，平移規(guī)律，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．
　
16．（4分）（2013?萊蕪）如圖，矩形ABCD中，AB=1，E、F分別為AD、CD的中點，沿BE將△ABE折疊，若點A恰好落在BF上，則AD=　 　．
考點：翻折變換（折疊問題）．
分析：連接EF，則可證明△EA'F≌△EDF，從而根據(jù)BF=BA'+A'F，得出BF的長，在Rt△BCF中，利用勾股定理可求出BC，即得AD的長度．
解答：解：連接EF，
∵點E、點F是AD、DC的中點，
∴AE=ED，CD=DF= CD= AB= ，
由折疊的性質(zhì)可得AE=A'E，
∴A'E=DE，
在Rt△EA'F和Rt△EDF中，
∵ ，
∴Rt△EA'F≌Rt△EDF（HL），
∴A'F=DF= ，
BF=BA'+A'F=AB+DF=1+ = ，
在Rt△BCF中，BC= = ．
∴AD=BC= ．
故答案為： ．
點評：本題考查了翻折變換的知識，解答本題的關(guān)鍵是連接EF，證明Rt△EA'F≌Rt△EDF，得出BF的長，注意掌握勾股定理的表達(dá)式．
　
17．（3分）（2013?萊蕪）已知123456789101112…997998999是由連續(xù)整數(shù)1至999排列組成的一個數(shù)，在該數(shù)中從左往右數(shù)第2013位上的數(shù)字為　7�。�
考點：規(guī)律型：數(shù)字的變化類．
分析：根據(jù)已知得出第2013個數(shù)字是第638個3位數(shù)的第3位，進(jìn)而得出即可．
解答：解：∵共有9個1位數(shù)，90個2位數(shù)，900個3位數(shù)
∴2013?9?90=1914，
∴ =638，
因此第2013個數(shù)字是第638個3位數(shù)的第3位，
第638個數(shù)為637，故第638個3位數(shù)的第3位是：7．
故答案為：7．
點評：此題主要考查了數(shù)字變化規(guī)律，根據(jù)已知得出變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．
　
三、解答題（本大題共7小題，共64分，解得要寫出必要的文字說明、證明過程或推演步驟）
18．（9分）（2013?萊蕪）先化簡，再求值： ，其中a= +2．
考點：分式的化簡求值．
專題：計算題．
分析：先計算括號里面的，再將除法轉(zhuǎn)化為，然后代入求值．
解答：解：
=
=
= ．
當(dāng)a= 時，原式= ．
點評：本題考查了分式的化簡求值，熟悉因式分解及分式的除法是解題的關(guān)鍵．
　
19．（8分）（2013?萊蕪）在學(xué)校開展的“學(xué)習(xí)交通安全知識，爭做文明中學(xué)生”主題活動月中，學(xué)校德工處隨機(jī)選取了該校部分學(xué)生，對闖紅燈情況進(jìn)行了一次調(diào)查，調(diào)查結(jié)果有三種情況：A．從不闖紅燈；B．偶爾闖紅燈；C經(jīng)常闖紅燈．德工處將調(diào)查的數(shù)據(jù)進(jìn)行了整理，并繪制了尚不完整的統(tǒng)計圖如下，請根據(jù)相 關(guān)信息，解答下列問題．
（1）求本次活動共調(diào)查了多少名學(xué)生；
（2）請補(bǔ)全（圖二），并求（圖一）中B區(qū)域的圓心角的度數(shù)；
（3）若該校有240名學(xué)生，請估算該校不嚴(yán)格遵守信號燈指示的人數(shù)．
考點：條形統(tǒng)計圖；用樣本估計總體；扇形統(tǒng)計圖．
分析：（1）根據(jù)總數(shù)=頻數(shù)÷百分比，可得共調(diào)查的學(xué)生數(shù)；
（2）B區(qū)域的學(xué)生數(shù)=總數(shù)減去A、C區(qū)域的人數(shù)即可；再根據(jù)百分比=頻數(shù)÷總數(shù)計算可得最喜愛甲類圖書的人數(shù)所占百分比，從而求出B區(qū)域的圓心角的度數(shù)；
（3）用總?cè)藬?shù)乘以樣本的概率即可解答．
解答：解：（1） （名）．
故本次活動共調(diào)查了200名學(xué)生．
（2）補(bǔ)全圖二，
200?120?20=60（名）．
．
故B區(qū)域的圓心角的度數(shù)是108°．
（3） （人）．
故估計該校不嚴(yán)格遵守信號等指示的人數(shù)為960人．
點評：本題考查的是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運(yùn)用，讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵．條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計圖直接反映部分占總體的百分比大�。�
　
20．（9分）（2013?萊蕪）如圖，有一艘漁船在捕魚作業(yè)時出現(xiàn)故障，急需搶修，調(diào)度中心通知附近兩個小島A、B上的觀測點進(jìn)行觀測，從A島測得漁船在南偏東37°方向C處，B島在南偏東66°方向，從B島測得漁船在正西方向，已知兩個小島間的距離是72海里，A島上維修 船的速度為每小時20海里，B島上維修船的速度為每小時28.8海里，為及時趕到維修，問調(diào)度中心應(yīng)該派遣哪個島上的維修船？
（參考數(shù)據(jù)：cos37°≈0.8，sin37°≈0.6，sin66°≈0.9，cos66°≈0.4）
考點：解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題．
分析：作AD⊥BC的延長線于點D，先解Rt△ADB，求出AD，BD，再解Rt△ADC，求出AC，CD，則BC=BD?CD．然后分別求出A島、B島上維修船需要的時間，則派遣用時較少的島上的維修船．
解答： 解：作AD⊥BC的延長線于點D．
在Rt△ADB中，AD=AB?cos∠BAD=72×cos66°=72×0.4=28.8（海里），
BD=AB?sin∠BAD=72×sin66°=72×0.9=64.8（海里）．
在Rt△ADC中， （海里），
CD=AC?sin∠CAD=36×sin37°=36×0.6=21.6（海里）．
BC=BD?CD=64.8?21.6=43.2（海里）．
A島上維修船需要時間 （小時）．
B島上維修船需要時間 （小時）．
∵tA＜tB，
∴調(diào)度中心應(yīng)該派遣B島上的維修船．
點評：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用?方向角問題，難度適中，通過作輔助線，構(gòu)造直角三角形，進(jìn)而解直角三角形求出BD與CD的值是解題的關(guān)鍵．
　
21．（9分） （2013?萊蕪）如圖，在Rt△ABC 中，∠C=90°，以AC為一邊向外作等邊三角形ACD，點E為AB的中點，連結(jié)DE．
（1）證明DE∥CB；
（2）探索AC與AB滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時，四邊形DCBE是平行四邊形．
考點：平行四邊形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．
分析：（1）首先連接CE，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得CE= AB=AE，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AD=CD，然后證明△ADE≌△CDE，進(jìn)而得到∠ADE=∠CDE=30°，再有∠DCB=150°可證明DE∥CB；
（2）當(dāng)AC= 或AB=2AC時，四邊形DCBE是平行四邊形．若四邊形DCBE是平行四邊形，則DC∥BE，∠DCB+∠B=180°進(jìn)而得到∠B=30°，再根據(jù)三角函數(shù)可推出AC= 或AB=2AC．
解答：（1）證明：連結(jié)CE．
∵點E為Rt△ACB的斜邊AB的中點，
∴CE= AB=AE．
∵△ACD是等邊三角形，
∴AD=CD．
在△ADE與△CDE中， ，
∴△ADE≌△CDE（SSS），
∴∠ ADE=∠CDE=30°．
∵∠DCB=150°，
∴∠EDC+∠DCB=180°．
∴DE∥CB．
（2）解：∵∠DCB=150°，若四邊形DCBE是平行四邊形，則DC∥BE，∠DCB+∠B=180°．
∴∠B=30°．
在Rt△ACB中，sinB= ，sin30°= ，AC= 或AB=2AC．
∴當(dāng)AC= 或AB=2AC時，四邊形DCBE是平行四邊形．
點評：此題主要考查了平行線的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)，以及平行四邊形的判定，關(guān)鍵是掌握直角三角形的性質(zhì)，以及等邊三角形的性質(zhì)．
　
22．（10分）（2013?萊蕪）某學(xué)校將周三“陽光體育”項目定為跳繩活動，為此學(xué)校準(zhǔn) 備購置長、短兩種跳繩若干．已知長跳繩的單價比短跳繩單價的兩倍多4元，且購買2條長跳繩與購買5條短跳繩的費(fèi)用相同．
（1）兩種跳繩的單價各是多少元？
（2）若學(xué)校準(zhǔn)備用不超過2000元的現(xiàn)金購買200條長、短跳繩，且短跳繩的條數(shù)不超過長跳繩的6倍，問學(xué)校有幾種購買方案可供選擇？
考點：一元一次不等式組的應(yīng)用；二元一次方程組的應(yīng)用．
專題：計算題．
分析：（1）設(shè)長跳繩的單價是x元，短跳繩的單價為y元，根據(jù)長跳繩的單價比短跳繩單價的兩倍多4元；購買2條長跳繩與購買5條短跳繩的費(fèi)用相同，可得出方程組，解出即可；
（2）設(shè)學(xué)校購買a條長跳繩，購買資金不超過2000元，短跳繩的條數(shù)不超過長跳繩的6倍，可得出不等式組，解出即可．
解答：解：（1）設(shè)長跳繩的單價是x元，短跳繩的單價為y元．
由題意得： ．
解得： ．所以長跳繩單價是20元，短跳繩的單價是8元．
（2）設(shè)學(xué)校購買a條長跳繩，
由題意得： ．
解得： ．
∵a為正整數(shù)，
∴a的整數(shù)值為29，3，31，32，33．
所以學(xué)校共有5種購買方案可供選擇．
點評：本題考查了一元一次不等式及二元一次方程組的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵仔細(xì)審題，設(shè)出未知數(shù)，找到其中的等量關(guān)系和不等關(guān)系．
　
23．（10分）（2013?萊蕪）如圖，⊙O的半徑為1，直線CD經(jīng)過圓心O，交⊙O于C、D兩點，直徑AB⊥CD，點M是直線CD上異于點C、O、D的一個動點，AM所在的直線交于⊙O于點N，點P是直線CD上另一點，且PM=PN．
（1）當(dāng)點M在⊙O內(nèi)部，如圖一，試判斷PN與⊙O的關(guān)系，并寫出證明過程；
（2）當(dāng)點M在⊙O外部，如圖二，其它條件不變時，（1）的結(jié)論是否還成立？請說明理由；
（3）當(dāng)點M在⊙O外部，如圖三，∠AMO=15°，求圖中陰影部分的面積．
考點：圓的綜合題．
分析：（1）根據(jù)切線的判定得出∠PNO=∠PNM+∠ONA=∠AMO+∠ONA進(jìn)而求出即可；
（2）根據(jù)已知得出∠PNM+∠ONA=90°，進(jìn)而得出∠PNO=180°?90°=90°即可得出答案；
（3）首先根據(jù)外角的性質(zhì)得出∠AON=30°進(jìn)而利用扇形面積公式得出即可．
解答：（1）PN與⊙O相切．
證明：連接ON，
則∠ONA=∠OAN，
∵PM=PN，∴∠PNM=∠PMN．
∵∠AMO=∠PMN，∴∠PNM=∠AMO．
∴∠PNO=∠PNM+∠ONA=∠AMO+∠ONA=90°．
即PN與⊙O相切．
（2）成立．
證明：連接ON，
則∠ONA=∠OAN，
∵PM=PN，∴∠PNM=∠PMN．
在Rt△AOM中，
∴∠OMA+∠OAM=90°，
∴∠PNM+∠ONA=90°．
∴∠PNO=180°?90°=90°．
即PN與⊙O相切．
（3）解：連接ON，由（2）可知∠ONP=90°．
∵∠AMO=15°，PM=PN，∴∠PNM=15°，∠OPN=30°，
∵∠PON=60°，∠AON=30°．
作NE⊥OD，垂足為點E，
則NE=ON?sin60°=1× = ．
S陰影=S△AOC+S扇形AON?S△CON= OC?OA+ CO?NE
= ×1×1+ π? ×1×
= + π? ．
點評：此題主要考查了扇形面積公式以及切線的判定等知識，熟練根據(jù)切線的判定得出對應(yīng)角的度數(shù)是解題關(guān)鍵．
　
24．（12分）（2013?萊蕪）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點A（?3，0）、B（1，0）、C（?2，1），交y軸于點M．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）D為拋物線在第二象限部分上的一點，作DE垂直x軸于點E，交線段AM于點F，求線段DF長度的最大值，并求此時點D的坐標(biāo)；
（3）拋物線上是否存在一點P，作PN垂直x軸于點N，使得以點P、A、N為頂點的三角形與△MAO相似？若存在，求點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
考點：二次函數(shù)綜合題．
分析：（1）把點A、B、C的坐標(biāo)分別代入已知拋物線的解析式列出關(guān)于系數(shù)的三元一次方程組 ，通過解該方程組即可求得系數(shù)的值；
（2）由（1）中的拋物線解析式易求點M的坐標(biāo)為（0，1）．所以利用待定系數(shù)法即可求得直 線AM的關(guān)系式為y= x+1．由題意設(shè)點D的坐標(biāo)為（ ），則點F的坐標(biāo)為（ ）．易求DF= = ．根據(jù)二次函數(shù)最值的求法來求線段DF的最大值；
（3）需要對點P的位置進(jìn)行分類討論：點P分別位于第一、二、三、四象限四種情況．此題主要利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例進(jìn)行解答．
解答：解：由題意可知 ．解得 ．
∴拋物線的表達(dá)式為y= ．
（2）將x=0代入拋物線表達(dá)式，得y=1．∴點M的坐標(biāo)為（0，1）．
設(shè)直線MA的表達(dá)式為y=kx+b，則 ．
解得 ．
∴直線MA的表達(dá)式為y= x+1．
設(shè)點D的坐標(biāo)為（ ），則點F的坐標(biāo)為（ ）．
DF=
= ．
當(dāng) 時，DF的最大值為 ．
此時 ，即點D的坐標(biāo)為（ ）．
（3）存在點P，使得以點P、A、N為頂點的三角形與△MAO相似．設(shè)P（m， ）．
在Rt△MAO中，AO=3MO，要使兩個三角形相似，由題意可知，點P不可能在第一象限．
①設(shè)點P在第二象限時，∵點P不可能在直線MN上，∴只能PN=3NM，
∴ ，即m2+11m+24=0．解得m=?3（舍去）或m=?8．又?3＜m＜0，故此時滿足條件的點不存在．
②當(dāng)點P在第三象限時，∵點P不可能在直線MN上，∴只能PN=3NM，
∴ ，即m2+11m+24=0．
解得m=?3或m=?8．此時點P的坐標(biāo)為（?8，?15）．
③當(dāng)點P在第四象限時，若AN=3PN時，則?3 ，即m2+m?6=0．
解得m=?3（舍去）或m=2．
當(dāng)m=2時， ．此時點P的坐標(biāo)為（2，? ）．
若PN=3NA，則? ，即m2?7m?30=0．
解得m=?3（舍去）或m=10，此時點P的坐標(biāo)為（10，?39）．
綜上所述，滿足條件的點P的坐標(biāo)為（?8，?15）、（2，? ）、（10，?39）．


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