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廣西玉林市防城港市2013年中考數(shù)學試卷
一、（共12小題，每小題3分，滿分36分）在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求。
1．（3分）（2013?玉林）2的相反數(shù)是（　�。�
　A．2B．?2C． D．
考點：相反數(shù)．
分析：根據(jù)相反數(shù)的定義求解即可．
解答：解：2的相反數(shù)為：?2．
故選B．
點評：本題考查了相反數(shù)的知識，屬于基礎題，掌握相反數(shù)的定義是解題的關鍵．
　
2．（3分）（2013?玉林）若∠α=30°，則∠α的補角是（　　）
　A．30°B．60°C．120°D．150°
考點：余角和補角．
專題：．
分析：相加等于180°的兩角稱作互為補角，也作兩角互補，即一個角是另一個角的補角．因而，求這個角的補角，就可以用180°減去這個角的度數(shù)．
解答：解：180°?30°=150°．
故選D．
點評：本題主要是對補角概念的考查，是需要在學習中識記的內容．
　
3．（3分）（2013?玉林）我國第一艘航母“遼寧艦”最大排水量為67500噸，用科學記數(shù)法表示這個數(shù)字是（　�。�
　A．6.75×103噸B．67.5×103噸C．6.75×104噸D．6.75×105噸
考點：科學記數(shù)法—表示較大的數(shù)．
分析：科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤a＜10，n為整數(shù)．確定n的值是易錯點，由于67500有5位，所以可以確定n=5?1=4．
解答：解：67 500=6.75×104．
故選C．
點評：此題考查科學記數(shù)法表示較大的數(shù)的方法，準確確定a與n值是關鍵．
　
4．（3分）（2013?玉林）直線c與a，b均相交，當a∥b時（如圖），則（　　）
　A．∠1＞∠2B．∠1＜∠2C．∠1=∠2D．∠1+∠2=90°
考點：平行線的性質
分析：根據(jù)平行線的性質：兩直線平行，內錯角相等可得答案．
解答：解：∵a∥b，
∴∠1=∠2，
故選：C．
點評：此題主要考查了平行線的性質，關鍵是掌握兩直線平行，內錯角相等．
　
5．（3分）（2013?玉林）在數(shù)軸上表示不等式x +5≥1的解集，正確的是（　�。�
　A． B． C． D．
考點：在數(shù)軸上表示不等式的解集；解一元一次不等式．
專題：
分析：求出不等式的解集，表示在數(shù)軸上即可．
解答：解：不等式x+5≥1，
解得：x≥?4，
表示在數(shù)軸上，如圖所示：
故選B
點評：此題考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集，把每個不等式的解集在數(shù)軸上表示出來（＞，≥向右畫；＜，≤向左畫），數(shù)軸上的點把數(shù)軸分成若干段，如果數(shù)軸的某一段上面表示解集的線的條數(shù)與不等式的個數(shù)一樣，那么這段就是不等式組的解集．有幾個就要幾個．在表示解集時“≥”，“≤”要用實心圓點表示；“＜”，“＞”要用空心圓點表示．
　
6．（3分）（2013?玉林）已知一組從小到大的數(shù)據(jù)：0，4，x，10的中位數(shù)是5，則x=（　　）
　A．5B．6C．7D．8
考點：中位數(shù)
分析：根據(jù)中位數(shù)是5，得出（4+x）÷2=5，求出x的值即可．
解答：解：一組從小到大的數(shù)據(jù)：0，4，x，10的中位數(shù)是5，
則（4+x）÷2=5，
x=6；
故選B．
點評：此題考查了中位數(shù)，中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到小）重新排列后，最中間的那個數(shù)（最中間兩個數(shù)的平均數(shù)），叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，是一道基礎題．
　
7．（3分）（2013?玉林）某幾何體的三視圖如圖所示，則組成該幾何體共用了（　　）小方塊．
　A．12塊B．9塊C．7塊D．6塊
考點：由三視圖判斷幾何體．
分析：觀察該幾何體的三視圖發(fā)現(xiàn)該幾何體共有三層，第一層有三個，第二層有兩個，第三層也有兩個，由此可以得到答案．
解答：解：∵觀察該幾何體的三視圖發(fā)現(xiàn)該幾何體共有三層，第一層有三個，第二層有兩個，第三層也有兩個，
∴該幾何體共有3+2+2=7個，
故選C．
點評：本題考查了由三視圖判斷幾何體的知識，解題的關鍵是會利用物體的三視圖判斷出該幾何體的形狀．
　
8．（3分）（2013?玉林）如圖是某手機店今年1?5月份音樂手機銷售額統(tǒng)計圖．根據(jù)圖中信息，可以判斷相鄰兩個月音樂手機銷售額變化最大的是（　　）
　A．1月至2月B．2月至3月 C．3月至4月D．4月至5月
考點：折線統(tǒng)計圖．
分析：根據(jù)折線圖的數(shù)據(jù)，分別求出相鄰兩個月的音樂手機銷售額的變化值，比較即可得解．
解答：解：1月至2月，30?23=7萬元，
2月至3月，30?25=5萬元，
3月至4月，25?15=10萬元，
4月至5月，19?14=5萬元，
所以，相鄰兩個月中 ，用電量變化最大的是3月至4月．
故選C．
點評：本題考查折線統(tǒng)計圖的運用，折線統(tǒng)計圖表示的是事物的變化情況，根據(jù)圖中信息求出相鄰兩個月的音樂手機銷售額變化量是解題的關鍵．
　
9．（3分）（2013?玉林）方程 的解是（　　）
　A．x=2B．x=1C．x= D．x=?2
考點：解分式方程．
專題：計算題．
分析：分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分式方程的解．
解答：解：去分母得：x+1?3（x?1）=0，
去括號得：x+1?3x+3=0，
解得：x=2，
經檢驗x=2是分式方程的解．
故選A．
點評：此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉化思想”，把分式方程轉化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗根．
　
10．（3分）（2013?玉林）如圖，在給定的一張平行四邊形紙片上作一個菱形．甲、乙兩人的作法如下：
甲：連接AC，作AC的垂直平分線MN分別交AD，AC，BC于M，O，N，連接AN，CM，則四邊形ANCM是菱形．
乙：分別作∠A，∠B的平分線AE，BF，分別交BC，AD于E，F(xiàn)，連接EF，則四邊形ABEF是菱形．
根據(jù)兩人的作法可判斷（　　）
　A．甲正確，乙錯誤B．乙正確，甲錯誤C．甲、乙均正確D．甲、乙均錯誤
考點：菱形的判定．
分析：首先證明△AOM≌△CON（ASA），可得MO=NO，再根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形可判定判定四邊形ANCM是平行四邊形，再由AC⊥MN，可根據(jù)對角線互相垂直的四邊形是菱形判定出ANCM是菱形；四邊形ABCD是平行四邊形，可根據(jù)角平分線的定義和平行線的定義，求得AB=AF，所以四邊形ABEF是菱形．
解答： 解：甲的作法正確；
∵四邊形 ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACN，
∵MN是AC的垂直平分線，
∴AO=CO，
在△AOM和△CON中 ，
∴△AOM≌△CON（ASA），
∴MO=NO，
∴四邊形ANCM是平行四邊形，
∵AC⊥MN，
∴四邊形ANCM是菱形；
乙的作法正確；
∵AD∥BC，
∴∠1=∠2，∠6=∠7，
∵BF平分∠ABC，AE平分∠BAD，
∴∠2=∠3，∠5=∠6，
∴∠1=∠3，∠5=∠7，
∴AB=AF，AB=BE，
∴AF=BE
∵AF∥BE，且AF=BE，
∴四邊形ABEF是平行四邊形，
∵AB=AF，
∴平行四邊形ABEF是菱形；
故選：C．
點評：此題主要考查了菱形形的判定，關鍵是掌握菱形的判定方法：①菱形定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（平行四邊形+一組鄰邊相等=菱形）；
②四條邊都相等的四邊形是菱形．
③對角線互相垂直的平行四邊形是菱形（或“對角線互相垂直平分的四邊形是菱形”）．
　
11．（3分）（2013?玉林）一列數(shù)a1，a2，a3，…，其中a1= ，an= （n為不小于2的整數(shù)），則a100=（　�。�
　A． B．2C．?1D．?2
考點：規(guī)律型：數(shù)字的變化類．
專題：規(guī)律型．
分析：根據(jù)表達式求出前幾個數(shù)不難發(fā)現(xiàn)，每三個數(shù)為一個循環(huán)組依次循環(huán)，用100除以3，根據(jù)商和余數(shù)的情況確定a100的值即可．
解答：解：根據(jù)題意得，a2= =2，
a3= =?1，
a4= = ，
a5= =2，
…，
依此類推，每三個數(shù)為一個循環(huán)組依次循環(huán)，
∵100÷3=33…1，
∴a100是第34個循環(huán)組的第一個數(shù)，與a1相同，
即a100= ．
故選A．
點評：本題是對數(shù)字變化規(guī)律的考查，計算并觀察出每三個數(shù)為一個循環(huán)組依次循環(huán)是解題的關鍵．
　
12．（3分）（2013?玉林）均勻地向一個瓶子注水，最后把瓶子注滿．在注水過程 中，水面高度h隨時間t的變化規(guī)律如圖所示，則這個瓶子的形狀是下列的（　�。�
　A． B． C． D．
考點：函數(shù)的圖象．
分析：根據(jù)圖象可得水面高度開始增加的快，后來增加的慢，從而可判斷容器下面粗，上面細，結合選項即可得出答案．
解答：解：因為水面高度開始增加的快，后來增加的慢，
所以容器下面粗，上面細．
故選B．
點評：本題考查了函數(shù)的圖象，要能根據(jù)函數(shù)圖象的性質和圖象上的數(shù)據(jù)分析得出函數(shù)的類型和所需要的條件，結合實際意義得到正確的結論．
　
二、題（共6小題，每小題3分，滿分18分）
13．（3分）（2013?玉林）?1=　1�。�
考點：絕對值．
分析：計算絕對值要根據(jù)絕對值定義去掉這個絕對值的符號．
解答：解：?1=1．
故答案為：1．
點評：此題考查了絕對值的性質，要求掌握絕對值的性質及其定義，并能熟練運用到實際運算當中．
絕對值規(guī)律總結：一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0．
　
14．（3分）（2013?玉林）化簡： =　 �。畑kb1.com
考點：分母有理化．
分析：根據(jù) 的有理化因式是 ，進而求出即可．
解答：解： = = ．
故答案為： ．
點評：此題主要考查了分母有理化，正確根據(jù)定理得出有理化因式是解題關鍵．
　
15．（3分）（2013?平涼）分解因式：x2?9=　（x+3）（x?3）　．
考點：因式分解-運用公式法．
分析：本題中兩個平方項的符號相反，直接運用平方差公式分解因式．
解答：解：x2?9=（x+3）（x?3）．
點評：主要考查平方差公式分解因式，熟記能用平方差公式分解因式的多項式的特征，即“兩項、異號、平方形式”是避免錯用平方差公式的有效方法．
　
16．（3分）（2013?玉林）如圖，實線部分是半徑為15m的兩條等弧組成的游泳池，若每條弧所在的圓都經過另一個圓的圓心，則游泳池的周長是　40π　m．
考點：弧長的計算．
分析：如圖，連接O1O2，CD，可求得∠C02O1=60°，∠C02D=120°，再由弧長公式l= 求得答案．
解答：解：：如圖，連接O1O2，CD，CO2，
∵O1O2=C02=CO1=15cm，
∴∠C02O1=60°，
∴∠C02D=120°，
則圓O1，O2的圓心角為360°?120°=240°，
則游泳池的周長為=2× =2× =40π（m）．
故答案為：40π．
點評：本題考查了弧長的計算，解答本題的關鍵是根據(jù)弧長公式計算，在計算的過程中首先要利用圓的半徑的關系求出圓心角．
　
17．（3分）（2013?玉林）如圖，在直角坐標系中，O是原點，已知A（4，3），P是坐標軸上的一點，若以O，A，P三點組成的三角形為等腰三角形，則滿足條件的點P共有　6　個，寫出其中一個點P的坐標是�。�5，0）　．
考點：等腰 三角形的判定；坐標與圖形性質．
專題：數(shù)形結合．
分析：作出圖形，然后利用數(shù)形結合的思想求解，再根據(jù)平面直角坐標系寫出點P的坐標即可．
解答：解：如圖所示，滿足條件的點P有6個，
分別為（5，0）（8，0）（0，5）（0，6）（?5，0）（0，?5）．
故答案為：6；（5，0）（答案不唯一，寫出6個中的一個即可）．
點評：本題考查了等腰三角形的判定，坐標與圖形的性質，利用數(shù)形結合的思想求解更簡便．
　
18．（3分）（2013?玉林）如圖，△ABC是⊙O內接正三角形，將△ABC繞點O順時針旋轉30°得到△DEF，DE分別交AB，AC于點M，N，DF交AC于點Q，則有以下結論：①∠DQN=30°；②△DNQ≌△ANM；③△DNQ的周長等于AC的長；④NQ=QC．其中正確的結論是�、佗冖邸。�（把所有正確的結論的序號都填上）
考點：圓的綜合題．
分析：連結OA、OD、OF、OC、DC、AD、CF，根據(jù)旋轉的性質得∠AOD=∠COF=30°，再根據(jù)圓周角定理得∠ACD=∠FDC=15°，然后根據(jù)三角形外角性質得∠DQN=∠QCD+∠QDC=30°；
同理可得∠AMN=30°，由△DEF為等邊三角形得DE=DF，則弧DE=弧DF，得到弧AE=弧DC，所以∠ADE=∠DAC，根據(jù)等腰三角形的性質有ND=NA，于是可根據(jù)“AAS”判斷△DNQ≌△ANM；利用QD=QC，ND=NA可判斷△DNQ的周長等于AC的長；由于∠NDQ=60°，∠DQN=30°，則∠DNQ=90°，所以QD＞NQ，而QD=QC，所以QC＞NQ．
解答：解：連結OA、OD、OF、OC、DC、AD、CF，如圖 ，
∵△ABC繞點O順時針旋轉30°得到△DEF，
∴∠AOD=∠COF=30°，
∴∠ACD= ∠AOD=15°，∠FDC= ∠COF=15°，
∴∠DQN=∠QCD+∠QDC=15°+15°=30°，所以①正確；
同理可得∠AMN=30°，
∵△DEF為等邊三角形，
∴DE=DF，
∴弧DE=弧DF，
∴弧AE+弧AD=弧DC+弧CF，
而弧AD=弧CF，
∴弧AE=弧DC，
∴∠ADE=∠DAC，
∴ND=NA，
在△DNQ和△ANM中
，
∴△DNQ≌△ANM（AAS），所以②正確；
∵∠ACD=15°，∠FDC=15°，
∴QD=QC，
而ND=NA，
∴ND+QD+NQ=NA+QC+NQ=AC，
即△DNQ的周長等于AC的長，所以③正確；
∵△DEF為等邊三角形，
∴∠NDQ=60°，
而∠DQN=30°，
∴∠DNQ=90°，
∴QD＞NQ，
∵QD=QC，
∴QC＞NQ，所以④錯誤．
故答案為①②③．
點評：本題考查了圓的綜合題：弧、弦和圓心角之間的關系以及圓周角定理在有關圓的幾何證明中經常用到，同時熟練掌握三角形全等的判定、等邊三角形的性質以及旋轉的性質．
　
三、解答題（共8小題，滿分66分）
19．（6分）（2013?玉林）計算： +2cos60°?（π?2?1）0．
考點：實數(shù)的運算；零指數(shù)冪；負整數(shù)指數(shù)冪；特殊角的三角函數(shù)值．
分析：分別進行三次根式的化簡、零指數(shù)冪的運算， 然后特殊角的三角函數(shù)值后合并即可得出答案．
解答：解：原式=2+2× ?1=2．
點評：本題考查了實數(shù)的運算，涉及了零指數(shù)冪及特殊角的三角函數(shù)值，特殊角的三角函數(shù)值是需要我們熟練記憶的內容．
　
20．（6分）（2013?玉林）如圖，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．
求證：△ABC≌△AED．
考點：全等三角形的判定．
專題：證明題．
分析：首先根據(jù)∠1=∠2可得∠BAC=∠EAD，再加上條件AB=AE，∠C=∠D可證明△ABC≌△AED．
解答：證明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC，
即∠BAC=∠EAD，
∵在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（AAS）．
點評：此題主要考查了三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．
　
21．（6分）（2013?玉林）已知關于x的方程x2+x+n=0有兩個實數(shù)根?2，m．求m，n的值．
考點：根與系數(shù)的關系．
分析：利用根與系數(shù)的關系知?2+m=?1，?2m=n，據(jù)此易求m、n的值．
解答：解：∵關于x的方程x2+x+n=0有兩個實數(shù)根?2，m，
∴ ，
解得， ，即m，n的值分別是1、?2．
點評：本題考查了根與系數(shù)的關系，屬于基礎題．解題過程中，需要熟記公式x1+x2=? ，x1?x2= ．
　
22．（8分）（2013?玉林）某小區(qū)為了促進生活垃圾的分類處理，將生活垃圾分為：可回垃圾、廚余垃圾、其他垃圾三類，分別記為A，B，C：并且設置了相應的垃圾箱，依次記為a，b，c．
（1）若將三類垃圾隨機投入三個垃圾箱，請你用樹形圖的方法求垃圾投放正確的概率：
（2）為了調查小區(qū)垃圾分類投放情況，現(xiàn)隨機抽取了該小區(qū)三類垃圾箱中總重500kg生活垃圾，數(shù)據(jù)如下（單位：）
abc
A401510
B6025040
C151555
試估計“廚余垃圾”投放正確的概率．
考點：列表法與樹狀圖法；利用頻率估計概率．
分析：（1）根據(jù)題意畫出樹狀圖，由樹狀圖可知總數(shù)為9，投放正確有3種，進而求出垃圾投放正確的概率；
（2）由題意和概率的定義易得所求概率．
解答：解：（1）如圖所示：共有9種情況，其中投放正確的有3種情況，故垃圾投放正確的概率： = ；
（2）“廚余垃圾”投放正確的概率為： = ．
點評：本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)：總情況數(shù)．
　
23．（9分）（2013?玉林）如圖，以△ABC的BC邊上一點O為圓心的圓，經過A，B兩點，且與BC邊交于點E，D為BE的下半圓弧的中點，連接AD交BC于F，若AC=FC．
（1）求證：AC是⊙O的切線：
（2）若BF=8，DF= ，求⊙O的半徑r．
考點：切線的判定．
分析：（1）連接OA、OD，求出∠D+∠OFD=90°，推出∠CAF= ∠CFA，∠OAD=∠D，求出∠OAD+∠CAF=90°，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）OD=r，OF=8?r，在Rt△DOF中根據(jù)勾股定理得出方程r2+（8?r）2=（ ）2，求出即可．
解答：（1）證明：
連接OA、OD，
∵D為弧BE的中點，
∴OD⊥BC，
∠DOF=90°，
∴∠D+∠OFD=90°，
∵AC=AF，OA=OD，
∴∠CAF=∠CFA，∠OAD=∠D，
∵∠CFA=∠OFD，
∴∠OAD+∠CAF=90°，
∴OA⊥AC，
∵OA為半徑，
∴AC是⊙O切線；
（2）解：∵⊙O半徑是r，
當F在半徑OE上時，
∴OD=r，OF=8?r，
在Rt△DOF中，r2+（8?r）2=（ ）2，
r= ，r= （舍去）；
當F在半徑OB上時，
∴OD=r，OF=r?8，
在Rt△DOF中，r2+（r?8）2=（ ）2，
r= ，r= （舍去）；
即⊙O的半徑r為 ．
點評：本題考查了切線的判定，等腰三角形的性質和判定，勾股定理等知識點的應用，主要考查學生的推理和計算的能力．
　
24． （9分）（2013?玉林）工匠制作某種金屬工具要進行材料煅燒和鍛造兩個工序，即需要將材料燒到800℃，然后停止煅燒進行鍛造操作，經過8min時，材料溫度降為600℃．煅燒時溫度y（℃）與時間x（min）成一次函數(shù)關系；鍛造時，溫度y（℃）與時間x（min）成反比例函數(shù)關系（如圖）．已知該材料初始溫度是32℃．
（1）分別求出材料煅燒和鍛造時y與x的函數(shù)關系式，并且寫出自變量x的取值范圍；
（2）根據(jù)工藝要求，當材料溫度低于480℃時，須停止操作．那么鍛造的操作時間有多長？
考點：反比例函數(shù)的應用；一次函數(shù)的應用．
分析：（1）首先根據(jù)題意，材料加熱時，溫度y與時間x成一次函數(shù)關系；停止加熱進行操作時，溫度y與時間x成反比例關系；
將題中數(shù)據(jù)代入用待定系數(shù)法可得兩個函數(shù)的關系式；
（2）把y=480代入y= 中，進一步求解可得答案．
解答：解：（1）停止加熱時，設y= （k≠0），
由題意得600= ，
解得k=4800，
當y=800時，
解得x=6，
∴點B的坐標為（6，800）
材料加熱時，設y=ax+32（a≠0），
由題意得800=6a+32，
解得a=128，
∴材料加熱時，y與x的函數(shù)關系式為y=128x+32（0≤x≤5）．
∴停止加熱進行操作時y與x的函數(shù)關系式為y= （5＜ x≤20）；
（2）把y=480代入y= ，得x=10，
故從開始加熱到停止操作，共經歷了10分鐘．
答：從開始加熱到停止操作，共經歷了10分鐘．
點評：考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的應用，現(xiàn)實生活中存在大量成反比例函數(shù)的兩個變量，解答該類問題的關鍵是確 定兩個變量之間的函數(shù)關系，然后利用待定系數(shù)法求出它們的關系式．
　
25．（10分）（2013?玉林）如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，點A關于對角線BD的對稱點F剛好落在腰DC上，連接AF交BD于點E，AF的延長線與BC的延長線交于點G，M，N分別是BG，DF的中點．
（1）求證：四邊形EMCN是矩形；
（2）若AD=2，S梯形ABCD= ，求矩形EMCN的長和寬．
考點：直角梯形；矩形的判定與性質
專題：幾何綜合題．
分析：（1）根據(jù)軸對稱的性質可得AD=DF，DE⊥AF，然后判斷出△ADF、△DEF是等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質求出∠DAF=∠EDF=45°，根據(jù)兩直線平行，內錯角相等求出∠BCE=45°，然后判斷出△ BGE是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質可得EM⊥BC，EN⊥CD，再根據(jù)矩形的判定證明即可；
（2）判斷出△BCD是等腰直角三角形，然后根據(jù)梯形的面積求出CD的長，再根據(jù)等腰直角三角形的性質求出DN，即可得解．
解答：（1）證明：∵點A、F關于BD對稱，
∴AD=DF，DE⊥AF，
又∵AD⊥DC，
∴△ADF、△DEF是等腰直角三角形，
∴∠DAF=∠EDF=45°，
∵AD∥BC，
∴∠G=∠GAF=45°，
∴△BGE是等腰直角三角形，
∵M，N分別是BG，DF的中點，
∴EM⊥BC，EN⊥CD，
又∵AD∥BC，AD⊥DC，
∴BC⊥CD，
∴四邊形EMCN是矩形；
（2）解：由（1）可知，∠EDF=45°，BC⊥CD，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BC=CD，
∴S梯形ABCD= （AD+BC）?CD= （2+CD）?CD= ，
即CD2+2CD?15=0，
解得CD=3，CD=?5（舍去），
∵△ADF、△DEF是等腰直角三角形，
∴DF=AD=2，
∵N是DF的中點，
∴EN=DN= DF= ×2=1，
∴CN=CD?DN=3?1=2，
∴矩形EMCN的長和寬分別為2，1．
點評：本題考查了直角梯形的性質，軸對稱的性質，矩形的判定，等腰直角三角形的判定與性質，熟練掌握軸對稱的性質判斷出相關的等腰直角三角形是解題的關鍵，也是本題的難點．
　
26．（12分）（2013?玉林）如圖，拋物線y=?（x?1）2+c與x軸交于A，B（A，B分別在y軸的左右兩側）兩點，與y軸的正半軸交于點C，頂點為D，已知A（?1，0）．
（1）求點B，C的坐標；
（2）判斷△CDB的形狀并說明理由；
（3）將△COB沿x軸向右平移t個單位長度（0＜t＜3）得到△QPE．△QPE與△CDB重疊部分（如圖中陰影部分）面積為S，求S與t的函數(shù)關系式，并寫出自變量t的取值范圍．
考點：二次函數(shù)綜合題．
分析：（1）首先用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，然后進一步確定點B，C的坐標；
（2）分別求出△CDB三邊的長度，利用勾股定理的逆定理判定△CDB為直角三角形；
（3）△COB沿x軸向右平移過程中，分兩個階段：
（I）當0＜t≤ 時，如答圖2所示，此時重疊部分為一個四邊形；
（II）當 ＜t＜3時，如答圖3所示，此時重疊部分為一個三角形．
解答：解：（1）∵點A（?1，0）在拋物線y=?（x?1）2+c上，
∴0=?（?1?1）2+c，得c=4，
∴拋物線解析式為：y=?（x?1）2+4，
令x=0，得y=3，∴C（0，3）；
令y=0，得x=?1或x=3，∴B（3，0）．
（2）△CDB為直角三角形．理由如下：
由拋物線解析式，得頂點D的坐標為（1，4）．
如答圖1所示，過點D作DM⊥x軸于點M，則OM=1，DM=4，BM=OB?OM=2．
過點C作CN⊥DM于點N，則CN=1，DN=DM?MN=DM?OC=1．
在Rt△OBC中，由勾股定理得：BC= = = ；
在Rt△CND中，由勾股定理得：CD= = = ；
在Rt△BMD中，由勾股定理得：BD= = = ．
∵BC2+CD2=BD2，
∴△CDB為直角三角形（勾股定理的逆定理）．
（3）設直線BC的解析式為y=kx+b，∵B（3，0），C（0，3），
∴ ，
解得k=?1，b=3，
∴y=?x+3，
直線QE是直線BC向右平移t個單位得到，
∴直線QE的解析式為：y=?（x?t）+3=?x+3+t；
設直線BD的解析式為y=mx+m，∵B（3，0），D（1，4），
∴ ，
解得：m=?2，n=6，
∴y=?2x+6．
連接CQ并延長，射線CQ交BD于點G，則G（ ，3）．
在△COB向右平移的過程中：
（I）當0＜t≤ 時，如答圖2所示：
設PQ與BC交于點K，可得QK=CQ=t，PB=PK=3?t．
設QE與BD的交點為F，則： ，解得 ，∴F（3?t，2t）．
S=S△QPE?S△PBK?S△FBE= PE?PQ? PB?PK? BE?yF= ×3×3? （3?t）2? t?2t= t2+3t；
（II）當 ＜t＜3時，如答圖3所示：
設PQ分別與BC、BD交于點K、點J．
∵CQ=t，
∴KQ=t，PK=PB=3?t．
直線BD解析式為y=?2x+6，令x=t，得y=6?2t，
∴J（t，6?2t）．
S=S△PBJ?S△PBK= PB?PJ? PB?PK= （3?t）（6?2t）? （3?t）2= t2?3t+ ．
綜上所述，S與t的函數(shù)關系式為：
S= ．


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