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四川省廣安市2013年中考數(shù)學(xué)試卷
一、：每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意要求，請將符合要求的選項的代號填涂在機讀卡上（本大題共10個小題，每小題3分，共30分）
1．（3分）（2013?廣安）4的算術(shù)平方根是（　　）
　A．±2B． C．2D．?2
考點：算術(shù)平方根．
分析：根據(jù)算術(shù)平方根的定義即可得出答案．
解答：解：4的算術(shù)平方根是2，
故選C．
點評：本題主要考查了算術(shù)平方根，注意算術(shù)平方根與平方根的區(qū)別．
　
2．（3分）（2013?廣安）未來三年，國家將投入8450億元用于緩解群眾“看病難、看病貴”的問題．將8450億元用科學(xué)記數(shù)法表示為（　　）
　A．0.845×104億元B．8.45×103億元C．8.45×104億元D．84.5×102億元
考點：科學(xué)記數(shù)法―表示較大的數(shù)．
分析：科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤a＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值＞1時，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，n是負數(shù)．
解答：解：將8450億元用科學(xué)記數(shù)法表示為8.45×103億元．
故選B．
點評：此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤a＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．
　
3．（3分）（2013?廣安）下列運算正確的是（　�。�
　A．a(chǎn)2?a4=a8B．2a2+a2=3a4C．a(chǎn)6÷a2=a3D．（ab2）3=a3b6
考點：同底數(shù)冪的除法；合并同類項；同底數(shù)冪的；冪的乘方與積的乘方．
分析：分別利用合并同類項法則、同底數(shù)冪的除法、同底數(shù)冪的、積的乘方法則分的判斷得出即可．
解答：解：A、a2?a4=a6，故此選項錯誤；
B、2a2+a2=3a2，故此選項錯誤；
C、a6÷a2=a4，故此選項錯誤；
D、（ab2）3=a3b6，故此選項正確．
故選：D．
點評：本題考查了合并同類項法則、同底數(shù)冪的除法、同底數(shù)冪的乘法、積的乘方，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)運算的法則．
　
4．（3分）（2013?廣安）有五個相同的小正方體堆成的物體如圖所示，它的主視圖是（　�。�
考點：簡單組合體的三視圖．
分析：找到從正面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在主視圖中．
解答：解：從正面看易得第一層有3個正方形，第二層最左邊有一個正方形．
故選B．
點評：本題考查了三視圖的知識，主視圖是從物體的正面看得到的視圖．
　
5．（3分）（2013?廣安）數(shù)據(jù)21、12、18、16、20、21的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（　�。�
　A．21和19B．21和17C．20和19D．20和18
考點：眾數(shù)；中位數(shù)．
分析：根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義求解即可．
解答：解：在這一組數(shù)據(jù)中21是出現(xiàn)次數(shù)最多的，故眾數(shù)是21；
數(shù)據(jù)按從小到大排列：12、16、18、20、21、21，中位數(shù)是（18+20）÷2=19，故中位數(shù)為19．
故選A．
點評：本題考查了中位數(shù)，眾數(shù)的意義．找中位數(shù)的時候一定要先排好順序，然后再根據(jù)奇數(shù)和偶數(shù)個來確定中位數(shù)．如果數(shù)據(jù)有奇數(shù)個，則正中間的數(shù)字即為所求；如果是偶數(shù)個，則找中間兩位數(shù)的平均數(shù)．眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，注意眾數(shù)可以不止一個．
　
6．（3分）（2013?廣安）如果 a3xby與?a2ybx+1是同類項，則（　�。�
　A． B． C． D．
考點：解二元一次方程組；同類項．
專題：
分析：根據(jù)同類項的定義列出方程組，然后利用代入消元法求解即可．
解答：解：∵ a3xby與?a2ybx+1是同類項，
∴ ，
②代入①得，3x=2（x+1），
解得x=2，
把x=2代入②得，y=2+1=3，
所以，方程組的解是 ．
故選D．
點評：本題考查的是二元一次方程組的解法，方程組中未知數(shù)的系數(shù)較小時可用代入法，當(dāng)未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)時用加減消元法較簡單，根據(jù)同類項的“兩同”列出方程組是解題的關(guān)鍵．
　
7．（3分）（2013?廣安）等腰三角形的一條邊長為6，另一邊長為13，則它的周長為（　　）
　A．25B．25或32C．32D．19
考點：等腰三角形的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系．
分析：因為已知長度為6和13兩邊，沒有明確是底邊還是腰，所以有兩種情況，需要分類討論．
解答：解：①當(dāng)6為底時，其它兩邊都為13，
6、13、13可以構(gòu)成三角形，
周長為32；
②當(dāng)6為腰時，
其它兩邊為6和13，
∵6+6＜13，
∴不能構(gòu)成三角形，故舍去，
∴答案只有32．
故選C．
點評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應(yīng)驗證各種情況是否能構(gòu)成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關(guān)鍵．
　
8．（3分）（2013?廣安）下列命題中正確的是（　�。�
　A．函數(shù)y= 的自變量x的取值范圍是x＞3
　B．菱形是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形
　C．一組對邊平行，另一組對邊相等四邊形是平行四邊形
　D．三角形的外心到三角形的三個頂點的距離相等
考點：命題與定理．
分析：根據(jù)菱形、等腰梯形的性質(zhì)以及外心的性質(zhì)和二次根式的性質(zhì)分別判斷得出即可．
解答：解：A、函數(shù)y= 的自變量x的取值范圍是x≥3，故此選項錯誤；
B、菱形是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故此選項錯誤；
C、一組對邊平行，另一組對邊相等四邊形是也可能是等腰梯形，故此選項錯誤；
D、根據(jù)外心的性質(zhì)，三角形的外心到三角形的三個頂點的距離相等，故此選項正確．
故選：D．
點評：此題主要考查了菱形、等腰梯形的性質(zhì)以及外心的性質(zhì)和二次根式的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)定理和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
　
9．（3分）（2013?廣安）如圖，已知半徑OD與弦AB互相垂直，垂足為點C，若AB=8cm，CD=3cm，則圓O的半徑為（　�。�
　A． cmB．5cmC．4cmD． cm
考點：垂徑定理；勾股定理．
分析：連接AO，根據(jù)垂徑定理可知AC= AB=4cm，設(shè)半徑為x，則OC=x?3，根據(jù)勾股定理即可求得x的值．
解答：解：連接AO，
∵半徑OD與弦AB互相垂直，
∴AC= AB=4cm，
設(shè)半徑為x，則OC=x?3，
在Rt△ACO中，AO2=AC2+OC2，
即x2=42+（x?3）2，
解得：x= ，
故半徑為 cm．
故選A．
點評：本題考查了垂徑定理及勾股定理的知識，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握垂徑定理、勾股定理的內(nèi)容，難度一般．
　
10．（3分）（2013?廣安）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，對稱軸是直線x=1．下列結(jié)論：
①abc＞O，②2a+b=O，③b2?4ac＜O，④4a+2b+c＞O
其中正確的是（　�。�
　A．①③B．只有②C．②④D．③④
考點：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．
分析：由拋物線開口向下，得到a小于0，再由對稱軸在y軸右側(cè)，得到a與b異號，可得出b大于0，又拋物線與y軸交于正半軸，得到c大于0，可得出abc小于0，選項①錯誤；由拋物線與x軸有2個交點，得到根的判別式b2?4ac大于0，選項②錯誤；由x=?2時對應(yīng)的函數(shù)值小于0，將x=?2代入拋物線解析式可得出4a?2b+c小于0，最后由對稱軸為直線x=1，利用對稱軸公式得到b=?2a，得到選項④正確，即可得到正確結(jié)論的序號．
解答：解：∵拋物線的開口向上，∴a＞0，
∵? ＞0，∴b＜0，
∵拋物線與y軸交于正半軸，∴c＞0，
∴abc＜0，①錯誤；
∵對稱軸為直線x=1，∴? =1，即2a+b=0，②正確，
∵拋物線與x軸有2個交點，∴b2?4ac＞0，③錯誤；
∵對稱軸為直線x=1，
∴x=2與x=0時的函數(shù)值相等，而x=0時對應(yīng)的函數(shù)值為正數(shù)，
∴4a+2b+c＞0，④正確；
則其中正確的有②④．
故選C．
點評：此題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），a的符號由拋物線開口方向決定；b的符號由對稱軸的位置及a的符號決定；c的符號由拋物線與y軸交點的位置決定；拋物線與x軸的交點個數(shù)，決定了b2?4ac的符號，此外還要注意x=1，?1，2及?2對應(yīng)函數(shù)值的正負來判斷其式子的正確與否．
　
二、題：請將最簡答案直接填寫在題目后的橫線上（本大題共6個小題，每小題3分．共18分）
11．（3分）（2013?廣安）方程x2?3x+2=0的根是　1或2�。�
考點：解一元二次方程-因式分解法．
專題：因式分解．
分析：由題已知的方程進行因式分解，將原式化為兩式相乘的形式，再根據(jù)兩式相乘值為0，這兩式中至少有一式值為0，求出方程的解．
解答：解：因式分解得，（x?1）（x?2）=0，
解得x1=1，x2=2．
點評：本題考查了因式分解法解一元二次方程，當(dāng)把方程通過移項把等式的右邊化為0后方程的左邊能因式分解時，一般情況下是把左邊的式子因式分解，再利用積為0的特點解出方程的根，因式分解法是解一元二次方程的一種簡便方法，要會靈活運用．
　
12．（3分）（2013?廣安）將點A（?1，2）沿x軸向右平移3個單位長度，再沿y軸向下平移4個長度單位后得到點A′的坐標(biāo)為�。�2，?2）�。�
考點：坐標(biāo)與圖形變化-平移．
分析：根據(jù)點的平移規(guī)律，左右移，橫坐標(biāo)減加，縱坐標(biāo)不變；上下移，縱坐標(biāo)加減，橫坐標(biāo)不變即可解的答案．
解答：解：∵點A（?1，2）沿x軸向右平移3個單位長度，再沿y軸向下平移4個長度單位后得到點A′，
∴A′的坐標(biāo)是（?1+3，2?4），
即：（2，?2）．
故答案為：（2，?2）．
點評：此題主要考查了點的平移規(guī)律，正確掌握規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
　
13．（3分）（2013?廣安）如圖，若∠1=40°，∠2=40°，∠3=116°30′，則∠4=　63°30′�。�
考點：平行線的判定與性質(zhì)．
分析：根據(jù)∠1=∠2可以判定a∥b，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠3=∠5，再根據(jù)鄰補角互補可得答案．
解答：解：∵∠1=40°，∠2=40°，
∴a∥b，
∴∠3=∠5=116°30′，
∴∠4=180°?116°30′=63°30′，
故答案為：63°30′．
點評：此題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握同位角相等，兩直線平行．
　
14．（3分）（2013?廣安）解方程： ?1= ，則方程的解是　x=? 　．
考點：解分式方程．
專題：．
分析：分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．
解答：解：去分母得：4x?x+2=?3，
解得：x=? ，
經(jīng)檢驗是分式方程的解．
故答案為：x=?
點評：此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗根．
　
15．（3分）（2013?廣安）如圖，如果從半徑為5cm的圓形紙片上剪去 圓周的一個扇形，將留下的扇形圍成一個圓錐（接縫處不重疊），那么這個圓錐的高是　3　cm．
考點：圓錐的計算．
分析：因為圓錐的高，底面半徑，母線構(gòu)成直角三角形，則留下的扇形的弧長= =8π，所以圓錐的底面半徑r= =4cm，利用勾股定理求圓錐的高即可；
解答：解：∵從半徑為5cm的圓形紙片上剪去 圓周的一個扇形，
∴留下的扇形的弧長= =8π，
根據(jù)底面圓的周長等于扇形弧長，
∴圓錐的底面半徑r= =4cm，
∴圓錐的高為 =3cm
故答案為：3．
點評：此題主要考查了主要考查了圓錐的性質(zhì)，要知道（1）圓錐的高，底面半徑，母線構(gòu)成直角三角形，（2）此扇形的弧長等于圓錐底面周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．解此類題目要根據(jù)所構(gòu)成的直角三角形的勾股定理作為等量關(guān)系求解．
　
16．（3分）（2013?廣安）已知直線y= x+ （n為正整數(shù)）與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為Sn，則S1+S2+S3+…+S2014=　 　．
考點：一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征．
專題：規(guī)律型．
分析：令x=0，y=0分別求出與y軸、x軸的交點，然后利用三角形面積公式列式表示出Sn，再利用拆項法整理求解即可．
解答：解：令x=0，則y= ，
令y=0，則? x+ =0，
解得x= ，
所以，Sn= ? ? = （ ? ），
所以，S1+S2+S3+…+S2014= （ ? + ? + ? +…+ ? ）= （ ? ）= ．
故答案為： ．
點評：本題考查的是一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點，表示出Sn，再利用拆項法寫成兩個數(shù)的差是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．
　
三、解答題（本大題共4個小題，第17小題5分，第18、19、20小題各6分，共23分）
17．（6分）（2013?廣安）計算：（ ）?1+1? ? ?2sin60°．
考點：實數(shù)的運算；負整數(shù)指數(shù)冪；特殊角的三角函數(shù)值．
分析：分別進行負整數(shù)指數(shù)冪、絕對值、開立方、特殊角的三角函數(shù)值等運算，然后按照實數(shù)的運算法則計算即可．
解答：解：原式=2+ ?1+2?2× =3．
點評：本題考查了實數(shù)的運算，涉及了負整數(shù)指數(shù)冪、絕對值、開立方、特殊角的三角函數(shù)值等知識，屬于基礎(chǔ)題．
　
18．（6分）（2013?廣安）先化簡，再求值：（ ? ）÷ ，其中x=4．
考點：分式的化簡求值．
分析：先根據(jù)分式混合運算的法則把原式進行化簡，再把x的值代入進行計算即可．
解答：解：原式=（ ? ）÷
= ×
=? ，
當(dāng)x=4時，原式=? =? ．
點評：本題考查的是分式的混合運算，熟知分式混合運算的法則是解答此題的關(guān)鍵．
　
19．（6分）（2013?廣安）如圖，在平行四邊形ABCD中，AE∥CF，求證：△ABE≌△CDF．
考點：平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定．
專題：證明題．
分析：首先證明四邊形AECF是平行四邊形，即可得到AE=CF，AF=CF，再根據(jù)由三對邊相等的兩個三角形全等即可證明：△ABE≌△CDF．
解答：證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AE∥CF，AD=BC，AB=CD，
∵AE∥CF，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∴AE=CF，AF=CF，
∴BE=DE，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SSS）．
點評：此題主要考查學(xué)生對平行四邊形的判定與性質(zhì)和全等三角形的判定的理解和掌握，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．
　
20．（6分）（2013?廣安）已知反比例函數(shù)y= （k≠0）和一次函數(shù)y=x?6．
（1）若一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點P（2，m），求m和k的值．
（2）當(dāng)k滿足什么條件時，兩函數(shù)的圖象沒有交點？
考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題．
分析：（1）兩個函數(shù)交點的坐標(biāo)滿足這兩個函數(shù)關(guān)系式，因此將交點的坐標(biāo)分別代入反比例函數(shù)關(guān)系式和一次函數(shù)關(guān)系式即可求得待定的系數(shù)；
（2）函數(shù)的圖象沒有交點，即無解，用二次函數(shù)根的判別式可解．
解答：解：（1）∵一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象交于點（2，m），
∴m=2?6，
解得m=?4，
即點P（2，?4），
則k=2×（?4）=?8．
∴m=?4，k=?8；
（2）由聯(lián)立方程y= （k≠0）和一次函數(shù)y=x?6，
有 =x?6，即x2?6x?k=0．
∵要使兩函數(shù)的圖象沒有交點，須使方程x2?6x?k=0無解．
∴△=（?6）2?4×（?k）=36+4k＜0，
解得k＜?9．
∴當(dāng)k＜?9時，兩函數(shù)的圖象沒有交點．
點評：本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，注意先代入一次函數(shù)解析式，求得兩個函數(shù)的交點坐標(biāo)．
　
四、實踐應(yīng)用：（本大題共4個小題，其中第21小題6分，地22、23、24小題各8分，共30分）
21．（6分）（2013?廣安）6月5日是“世界環(huán)境日”，廣安市某校舉行了“潔美家園”的演講比賽，賽后整理參賽同學(xué)的成績，將學(xué)生的成績分成A、B、C、D四個等級，并制成了如下的條形統(tǒng)計圖和扇形圖（如圖1、圖2）．
（1）補全條形統(tǒng)計圖．
（2）學(xué)校決定從本次比賽中獲得A和B的學(xué)生中各選出一名去參加市中學(xué)生環(huán)保演講比賽．已知A等中男生有2名，B等中女生有3 名，請你用“列表法”或“樹形圖法”的方法求出所選兩位同學(xué)恰好是一名男生和一名女生的概率．
考點：條形統(tǒng)計圖；扇形統(tǒng)計圖；列表法與樹狀圖法．
專題：計算題
分析：（1）根據(jù)等級為A的人數(shù)除以所占的百分比求出總?cè)藬?shù)，進而求出等級B的人數(shù)，補全條形統(tǒng)計圖即可；
（2）列表得出所有等可能的情況數(shù)，找出一男一女的情況數(shù)，即可求出所求的概率．
解答：
解：（1）根據(jù)題意得：3÷15%=20（人），
故等級B的人數(shù)為20?（3+8+4）=5（人），
補全統(tǒng)計圖，如圖所示；
（2）列表如下：
男男女女女
男（男，男）（男，男）（女，男）（女，男）（女，男）
男（男，男）（男，男）（女，男）（女，男）（女，男）
女（男，女）（男，女）（女，女）（女，女）（女，女）
所有等可能的結(jié)果有15種，其中恰好是一名男生和一名女生的情況有8種，
則P恰好是一名男生和一名女生= ．
點評：此題考查了條形統(tǒng)計圖，扇形統(tǒng)計圖，以及列表法與樹狀圖法，弄清題意是解本題的關(guān)鍵．
　
22．（8分）（2013?廣安）某商場籌集資金12.8萬元，一次性購進空調(diào)、彩電共30臺．根據(jù)市場需要，這些空調(diào)、彩電可以全部銷售，全部銷售后利潤不少于1.5萬元，其中空調(diào)、彩電的進價和售價見表格．
空調(diào)彩電
進價（元/臺）54003500
售價（元/臺）61003900
設(shè)商場計劃購進空調(diào)x臺，空調(diào)和彩電全部銷售后商場獲得的利潤為y元．
（1）試寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）商場有哪幾種進貨方案可供選擇？
（3）選擇哪種進貨方案，商場獲利最大？最大利潤是多少元？
考點：一次函數(shù)的應(yīng)用．
分析：（1）y=（空調(diào)售價?空調(diào)進價）x+（彩電售價?彩電進價）×（30?x）；
（2）根據(jù)用于一次性購進空調(diào)、彩電共30臺，總資金為12.8萬元，全部銷售后利潤不少于1.5萬元．得到一元一次不等式組，求出滿足題意的x的正整數(shù)值即可；
（3）利用y與x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=150x+6000的增減性來選擇哪種方案獲利最大，并求此時的最大利潤即可．
解答：解：（1）設(shè)商場計劃購進空調(diào)x臺，則計劃購進彩電（30?x）臺，由題意，得
y=（6100?5400）x+（3900?3500）（30?x）=300x+12000；
（2）依題意，有 ，
解得10≤x≤12 ．
∵x為整數(shù)，
∴x=10，11，12．
即商場有三種方案可供選擇：
方案1：購空調(diào)10臺，購彩電20臺；
方案2：購空調(diào)11臺，購彩電19臺；
方案3：購空調(diào)12臺，購彩電18臺；
（3）∵y=300x+12000，k=300＞0，
∴y隨x的增大而增大，
即當(dāng)x=12時，y有最大值，y最大=300×12+12000=15600元．
故選擇方案3：購空調(diào)12臺，購彩電18臺時，商場獲利最大，最大利潤是15600元．
點評：本題主要考查了一次函數(shù)和一元一次不等式組的實際應(yīng)用，難度適中，得出商場獲得的利潤y與購進空調(diào)x的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．在解答一次函數(shù)的應(yīng)用問題中，要注意自變量的取值范圍還必須使實際問題有意義．
　
23．（8分）（2013?廣安）如圖，廣安市防洪指揮部發(fā)現(xiàn)渠江邊一處長400米，高8米，背水坡的坡角為45°的防洪大堤（橫截面為梯形ABCD）急需加固．經(jīng)調(diào)查論證，防洪指揮部專家組制定的加固方案是：背水坡面用土石進行加固，并使上底加寬2米，加固后，背水坡EF的坡比i=1：2．
（1）求加固后壩底增加的寬度AF的長；
（2）求完成這項工程需要土石多少立方米？
考點：解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題．
專題：．
分析：（1）分別過E、D作AB的垂線，設(shè)垂足為G、H．在Rt△EFG中，根據(jù)坡面的鉛直高度（即壩高）及坡比，即可求出FG的長，同理可在Rt△ADH中求出AH的長；由AF=FG+GH?AH求出AF的長．
（2）已知了梯形AFED的上下底和高，易求得其面積．梯形AFED的面積乘以壩長即為所需的土石的體積．
解答：解：（1）分別過點E、D作EG⊥AB、DH⊥AB交AB于G、H，
∵四邊形ABCD是梯形，且AB∥CD，
∴DH平行且等于EG，
故四邊形EGHD是矩形，
∴ED=GH，
在Rt△ADH中，AH=DH÷tan∠DAH=8÷tan45°=8（米），
在Rt△FGE中，i=1：2= ，
∴FG=2EG=16（米），
∴AF=FG+GH?AH=16+2?8=10（米）；
（2）加寬部分的體積V=S梯形AFED×壩長= ×（2+10）×8×400=19200（立方米）．
答：（1）加固后壩底增加的寬度AF為10米；（2）完成這項工程需要土石19200立方米．
點評：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是理解坡度、坡比的含義，構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)表示相關(guān)線段的長度，難度一般．
　
24．（8分）（2013?廣安）雅安蘆山發(fā)生7.0級地震后，某校師生準(zhǔn)備了一些等腰直角三角形紙片，從每張紙片中剪出一個半圓制作玩具，寄給災(zāi)區(qū)的小朋友．已知如圖，是腰長為4的等腰直角三角形ABC，要求剪出的半圓的直徑在△ABC的邊上，且半圓的弧與△ABC的其他兩邊相切，請作出所有不同方案的示意圖，并求出相應(yīng)半圓的半徑（結(jié)果保留根號）．
考點：作圖―應(yīng)用與設(shè)計作圖．
專題：作圖題．
分析：分直徑在直角邊AC、BC上和在斜邊AB上三種情況分別求出半圓的半徑，然后作出圖形即可．
解答：解：根據(jù)勾股定理，斜邊AB= =4 ，
①如圖1、圖2，直徑在直角邊BC或AC上時，
∵半圓的弧與△ABC的其它兩邊相切，
∴ = ，
解得r=4 ?4，
②如圖3，直徑在斜邊AB上時，∵半圓的弧與△ABC的其它兩邊相切，
∴ = ，
解得r=2，
作出圖形如圖所示：
點評：本題考查了應(yīng)用與設(shè)計作圖，主要利用了直線與圓相切，相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，分別求出半圓的半徑是解題的關(guān)鍵．
　
五、理論與論證（9分）
25．（9分）（2013?廣安）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作半圓⊙0，交BC于點D，連接AD，過點D作DE⊥AC，垂足為點E，交AB的延長線于點F．
（1）求證：EF是⊙0的切線．
（2）如果⊙0的半徑為5，sin∠ADE= ，求BF的長．
考點：切線的判定；等腰三角形的性質(zhì)；圓周角定理；解直角三角形．
分析：（1）連結(jié)OD，AB為⊙0的直徑得∠ADB=90°，由AB=AC，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得AD平分BC，即DB=DC，則OD為△ABC的中位線，所以O(shè)D∥AC，而DE⊥AC，則OD⊥DE，然后根據(jù)切線的判定方法即可得到結(jié)論；
（2）由∠DAC=∠DAB，根據(jù)等角的余角相等得∠ADE=∠ABD，在Rt△ADB中，利用解直角三角形的方法可計算出AD=8，在Rt△ADE中可計算出AE= ，然后由OD∥AE，
得△FDO∽△FEA，再利用相似比可計算出BF．
解答：（1）證明：連結(jié)OD，如圖，
∵AB為⊙0的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴AD平分BC，即DB=DC，
∵OA=OB，
∴OD為△ABC的中位線，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴EF是⊙0的切線；
（2）解：∵∠DAC=∠DAB，
∴∠ADE=∠ABD，
在Rt△ADB中，sin∠ADE=sin∠ABD= = ，而AB=10，
∴AD=8，
在Rt△ADE中，sin∠ADE= = ，
∴AE= ，
∵OD∥AE，
∴△FDO∽△FEA，
∴ = ，即 = ，
∴BF= ．
點評：本題考查了切線的判定定理：過半徑的外端點且與半徑垂直的直線為圓的切線．也考查了等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理和解直角三角形．
　
六、拓展探究（10分）
26．（9分）（2013?廣安）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A、B、C三點，已知點A（?3，0），B（0，3），C（1，0）．
（1）求此拋物線的解析式．
（2）點P是直線AB上方的拋物線上一動點，（不與點A、B重合），過點P作x軸的垂線，垂足為F，交直線AB于點E，作PD⊥AB于點D．
①動點P在什么位置時，△PDE的周長最大，求出此時P點的坐標(biāo)；
②連接PA，以AP為邊作圖示一側(cè)的正方形APMN，隨著點P的運動，正方形的大小、位置也隨之改變．當(dāng)頂點M或N恰好落在拋物線對稱軸上時，求出對應(yīng)的P點的坐標(biāo)．（結(jié)果保留根號）
考點：二次函數(shù)綜合題．
專題：代數(shù)幾何綜合題．
分析：（1）把點A、B、C的坐標(biāo)代入拋物線解析式，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答即可；
（2）①根據(jù)點A、B的坐標(biāo)求出OA=OB，從而得到△AOB是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠BAO=45°，然后求出△PED是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，PD越大，△PDE的周長最大，再判斷出當(dāng)與直線AB平行的直線與拋物線只有一個交點時，PD最大，再求出直線AB的解析式為y=x+3，設(shè)與AB平行的直線解析式為y=x+m，與拋物線解析式聯(lián)立消掉y，得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根的判別式△=0列式求出m的值，再求出x、y的值，從而得到點P的坐標(biāo)；
②先確定出拋物線的對稱軸，然后（i）分點M在對稱軸上時，過點P作PQ⊥對稱軸于Q，根據(jù)同角的余角相等求出∠APF=∠QPM，再利用“角角邊”證明△APF和△MPQ全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得PF=PQ，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為n，表示出PQ的長，即PF，然后代入拋物線解析式計算即可得解；（ii）點N在對稱軸上時，同理求出△APF和△ANQ全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得PF=AQ，根據(jù)點A的坐標(biāo)求出點P的縱坐標(biāo)，再代入拋物線解析式求出橫坐標(biāo)，即可得到點P的坐標(biāo)．
解答：解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A（?3，0），B（0，3），C（1，0），
∴ ，
解得 ，
所以，拋物線的解析式為y=?x2?2x+3；
（2）①∵A（?3，0），B（0，3），
∴OA=OB=3，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠BAO=45°，
∵PF⊥x軸，
∴∠AEF=90°?45°=45°，
又∵PD⊥AB，
∴△PDE是等腰直角三角形，
∴PD越大，△PDE的周長越大，
易得直線AB的解析式為y=x+3，
設(shè)與AB平行的直線解析式為y=x+m，
聯(lián)立 ，
消掉y得，x2+3x+m?3=0，
當(dāng)△=32?4×1×（m?3）=0，
即m= 時，直線與拋物線只有一個交點，PD最長，
此時x=? ，y=? + = ，
∴點P（? ， ）時，△PDE的周長最大；
②拋物線y=?x2?2x+3的對稱軸為直線x=? =?1，
（i）如圖1，點M在對稱軸上時，過點P作PQ⊥對稱軸于Q，
在正方形APMN中，AP=PM，∠APM=90°，
∴∠APF+∠FPM=90°，∠QPM+∠FPM=90°，
∴∠APF=∠QPM，
∵在△APF和△MPQ中，
，
∴△APF≌△MPQ（AAS），
∴PF=PQ，
設(shè)點P的橫坐標(biāo)為n（n＜0），則PQ=?1?n，
即PF=?1?n，
∴點P的坐標(biāo)為（n，?1?n），
∵點P在拋物線y=?x2?2x+3上，
∴?n2?2n+3=?1?n，
整理得，n2+n?4=0，
解得n1= （舍去），n2= ，
?1?n=?1? = ，
所以，點P的坐標(biāo)為（ ， ）；
（ii）如圖2，點N在對稱軸上時，設(shè)拋物線對稱軸與x軸交于點Q，
∵∠PAF+∠FPA=90°，∠PAF+∠QAN=90°，
∴∠FPA=∠QAN，
又∵∠PFA=∠AQN=90°，PA=AN，
∴△APF≌△NAQ，
∴PF=AQ，
設(shè)點P坐標(biāo)為P（x，?x2?2x+3），
則有?x2?2x+3=?1?（?3）=2，
解得x= ?1（不合題意，舍去）或x=? ?1，
此時點P坐標(biāo)為（? ?1，2）．
綜上所述，當(dāng)頂點M恰好落在拋物線對稱軸上時，點P坐標(biāo)為（ ， ），當(dāng)頂點N恰好落在拋物線對稱軸上時，點P的坐標(biāo)為（? ?1，2）．
點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，拋物線上點的坐標(biāo)特征，（2）確定出△PDE是等腰直角三角形，從而判斷出點P為平行于AB的直線與拋物線只有一個交點時的位置是解題的關(guān)鍵，（3）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)用點P的橫坐標(biāo)表示出縱坐標(biāo)或用縱坐標(biāo)求出橫坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．


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