第二十七章 相似
本章小結(jié)
小結(jié)1 本章概述
本章內(nèi)容是對三角形知識的進一步認識，是通過許多生活中的具體實例來研究相似圖形．在全等三角形的基礎(chǔ)上，總結(jié)出相似三角形的判定方法和性質(zhì)，使學(xué)過的知識得到鞏固和提高．在學(xué)習(xí)過程中，通過大量的實踐活動來探索三角形相似的條件，并應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)及判定方法來研究和解決實際問題．在研究相似三角形的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)位似圖形，知道位似變換是特殊的相似變換．
小結(jié)2 本章學(xué)習(xí)重難點
【本章重點】 通過具體實例認識圖形的相似，探索相似圖形的性質(zhì)，掌握相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，面積的比等于相似比的平方．了解兩個三角形相似的概念，探索兩個三角形相似的條件．
【本章難點】 通過具體實例觀察和認識生活中物體的相似，利用圖形的相似解決一些實際問題．
【學(xué)習(xí)本章應(yīng)注意的問題】
通過生活中的實例認識物體和圖形的相似，探索并認識相似圖形的特征，掌握相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例以及面積的比與相似比的關(guān)系，能利用相似三角形的性質(zhì)解決一些簡單的實際問題，了解圖形的位似，能利用位似將一個圖形放大或縮小，會建立坐標系描述點的位置，并能表示出點的坐標．
小結(jié)3 中考透視
圖形的相似在中考中主要考查：(1)了解比例的基本性質(zhì)，了解線段的比及成比例線段．(2)認識相似圖形，了解相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，面積比等于相似比的平方．(3)了解兩個三角形相似的概念，掌握兩個三角形相似的條件，能利用圖形的相似解決一些實際問題．(4)了解圖形的位似，能利用位似將一個圖形放大或縮�。�
相似是平面幾何中重要的內(nèi)容，在近幾年的中考中題量有所增加，分值有所增大，且題型新穎，如閱讀題、開放題、探究題等．由于相似圖形應(yīng)用廣泛，且與三角形、平行四邊形聯(lián)系緊密，估計在今后中考的填空題、選擇題中將會注重相似三角形的判定與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識的考查，并在解答題中加大知識的橫向與縱向聯(lián)系．具體考查的知識點有相似三角形的判定、相似三角形的性質(zhì)、相似三角形的實際應(yīng)用、圖形的放大與縮小等．
知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖
專題總結(jié)及應(yīng)用
一、知識性專題
專題1 比例線段
【專題解讀】 解決有關(guān)比例線段的問題時，常常利用三角形相似來求解．
例1 如圖27－96所示，A，B，D，E四點在⊙O上，AE，BD的延長線相交于點C，AE＝8，OC＝12，∠EDC＝∠BAO．
(1)求證 ；
(2)計算CD?CB的值，并指出CB的取值范圍．
分析 利用△CDE∽△CAB，可證明 ．
證明：(1)∵∠EDC＝∠BAO，∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CAB，∴ .
解：(2)∵AE＝8，OC＝12，
∴AC＝12+4＝16，CE=12－4＝8．
又∵ ，
∴CD?CB＝AC?CE＝16×8＝128．
連接OB，在△OBC中，OB＝ AE＝4，OC=12，
∴8＜BC＜16．
【解題策略】 將證 轉(zhuǎn)化為證明△CDE∽△CAB.
專題2 乘積式或比例式的證明
【專題解讀】 證明形如 ， 或 =1的式子，常將其轉(zhuǎn)化為若干個比例式之積來解決．如要證 ，可設(shè)法證 ， ，然后將兩式相乘即可，這里尋找線段x便是證題的關(guān)鍵。
例2 如圖27－97所示，在等腰三角形ABC中，過A作AD⊥BC，過C作CE⊥AB，又作DF⊥CE，F(xiàn)G⊥AD，求證 ．
分析 欲證 ，可將其分成三個比例式 ， ， ，再將三式相乘即可．不難得知x就是CD，而線段y在原圖中沒有，由相似關(guān)系可延長FG交AB于K，則y就是GK，只要證明 就可以了．
證明：延長FG交AB于K，連接DK，
∵DF⊥EC，BE⊥EC，∴DF∥BE，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC，∴EF＝CF．
∵FG∥BC，∴∠1＝∠2，
∴Rt△FDC≌Rt△EKF，
∴KF＝DC，∠3＝∠4，
∴四邊形KFCD是平行四邊形，∴∠2＝∠5，
∴∠EKD＝∠3+∠5＝∠4+∠2＝90°，
∴DK⊥AB，
∴DF∥AB，∴∠BAD＝∠FDG，
∴Rt△ADB∽Rt△DGF，∴ ．①
∵GK∥BD，∴△AKG∽△ABD，∴ ．②
在△ABD中，∠ADB＝90°，DK⊥AB，∴△ADB∽△AKD．
又△AKD∽△KGD,△ADB∽△KGD，∴ ．③
由①×②×③，得 ．
例3 如圖27－98所示，在△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=1：2：4，求證 .
分析 原式等價于 ＝1，也就是 ，在CA上取一點D，使CD＝BC，原式就變成 ，要證明這個比例式，需要構(gòu)造相似三角形，為此作∠ACB的平分線CE，交AB于點E，連接DE，顯然有△BCE≌△DCE，從而易證AD＝DE＝CE，于是只需證 即可．
證明：∵∠A：∠B：∠C＝1：2：4，
∴設(shè)∠A＝x，則∠B＝2x，∠C＝4x
作CE平分∠BCA，交AB于E，
在AC邊上取一點D，使CD＝CB，連接DE，
∴△DCE≌△BCE，
∴∠CDE＝∠B＝2x，∠DEC＝∠BEC=3x，
又∠CDE＝∠A+∠DEA，∴∠DEA＝x，∴AD＝DE，
又∵DE＝EC，∴AD＝CE．
在△ABC和△ACE中，∠CAB＝∠CAE，∠ACE＝∠B＝2x，
∴△ABC∽△ACE，∴ ，
即 ，
∴ ,∴ =1
即 .
二、規(guī)律方法專題
專題3：相似三角形的性質(zhì)
【專題解讀】 相似三角形是初中數(shù)學(xué)重要的內(nèi)容之一，其應(yīng)用廣泛，可以證明線段相等、平行、垂直，也可以計算圖形的面積及線段的比值等，解題的關(guān)鍵是識別(或構(gòu)造)相似三角形的基本圖形．
例4 如圖27－99所不，在△ABC中，看DE∥BC， ，DE＝4 cm，則BC的長為 ( )
A．8 cm B．12 cm
C．11 cm D．10 cm
分析 由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC， ．因為 ，所以 ,所以 ．因為DE=4 cm，所以BC=12 cm故選B.
例5 如圖27－100所示，在△ABC中，AB＝BC＝12 cm，∠ABC＝80°，BD是∠ABC的平分線，DE∥BC.
(1)求∠EDB的度數(shù)；
(2)求DE的長．
分析 (1)由DE∥BC，得∠EDB＝∠DBC＝ ∠ABC，可求∠EDB．(2)由DE∥BC，得△ADE△ACB，則 ，再證出BE＝DE，可求DE．
解：(1)∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBC.
∵BD平分∠ABC，
∴ ∠DBC＝ ∠ABC＝ ×80°＝40°，∴∠EDB＝40°．
(2)∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，
∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，
∴∠EDB＝∠EBD，∴BE＝DE．
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，
∴ .
∴ ，∴DE=6 cm
【解題策略】 將比例式中的AE轉(zhuǎn)化為AB－DE，逐步由未知轉(zhuǎn)化為已知，建立關(guān)于DE的關(guān)系式來求解．
例6 如圖27－101所示，點D，E在BC上，且FD∥AB，F(xiàn)E∥AC，求證△ABC∽△FDE．
分析 由已知可證∠FDE＝∠B，∠FED＝∠C，從而可證△ABC∽△FDE．
證明：∵FD∥AB，F(xiàn)E∥AC，
∴∠FDE＝∠B，∠FED＝∠C，
∴△ABC∽△FDE．
例7 （08?無錫）如圖27－102所示，已知點正是矩形ABCD的邊CD上一點，BF⊥AE于點F，求證△ABF∽△EAD．
分析 由矩形的性質(zhì)可知∠BAD＝∠D＝90°，再由BF⊥AE可證∠AFB＝∠D和∠DAE＝∠FBA，從而證明△ABF∽△EAD．
證明：在矩形ABCD中，∠BAD＝∠D=90°，
∵BF⊥AE，∴∠AFB＝∠D＝90°，
∴∠ABF+∠BAE＝90°．
又∵∠DAE+∠BAE＝∠BAD＝90°，
∴∠ABF＝∠EAD，
∴△ABF∽△EAD，
三、思想方法專題
專題4 分類討論思想
【專題解讀】 分類討論思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，我們在研究問題的解法時，應(yīng)把可能出現(xiàn)的各種情況都加以考慮，這樣才能全面、嚴謹?shù)厮伎紗栴}．
例8 在△ABC中，AB＞BC＞AC，D是AC的中點，過點D作直線l，使截得的三角形與原三角形相似，這樣的直線l有 條．
分析 如圖27－103所示，過點D作AB的平行線，或過點D作DF∥BC，或作∠CDH＝∠B，或作∠ADG＝∠B，故填4．
專題5 建模思想
【專題解讀】本章建模思想多用于將實際問題轉(zhuǎn)化為幾何圖形，然后根據(jù)相似的性質(zhì)解決問題．
例9 如圖27－104所示，小明想用皮尺測量池塘A，B間的距離，但現(xiàn)有皮尺無法直接測量池塘A，B間的距離，學(xué)習(xí)有關(guān)的數(shù)學(xué)知識后，他想出了一個主意，先在地面上取一個可以直接到達A，B兩點的點O，連接OA，OB，分別在OA，OB上取中點C，D，連接CD，并測得CD＝a，由此他知道A，B間的距離是( )
A． a B．2a C．a(chǎn) D．3a
分析 ∵D，C分別為OB，OA的中點，∴CD是△ABO的中位線，∴CD＝ AB，∴AB＝2CD＝2a．故選D．
【解題策略】 此題將所求問題轉(zhuǎn)化為三角形中位線的問題來解決．
例10 如圖27－105所示，九年級(1)班課外活動小組利用標桿測量學(xué)校旗桿的高度，已知標桿高度CD＝3 m，標桿與旗桿的水平距離BD＝15 m，人的眼睛與地面的高度EF＝1．6 m，人與標桿CD的水平距離DF＝2 m，求旗桿AB的高度．
分析 利用相似三角形得比例式，構(gòu)建線段關(guān)系求線段長．
解：因為CD⊥FB，AB⊥FB，所以CD∥AB，
所以△CGE∽△AHE，所以 ，
即 ，
所以 ，解得AH＝11．9，
所以AB＝AH+HB＝AH+EF＝11.9+1.6＝13.5(m)．
故旗桿AB的高度為13．5 m．
專題6 轉(zhuǎn)化思想
【專題解讀】 本章中的轉(zhuǎn)化思想主要用于解決一些比例線段的問題．
例11 如圖27－106所示，已知E為 ABCD的邊CD延長線上的一點，連接BE交AC于O，交AD于F．求證BO2＝OF?OE．
分析 要證BO2＝OF?OE，只需證 ，而OB，OE，OF在一條直線上，因此不能通過三角形相似證得，于是想到要用中間比，而由已知可證△AOF∽△COB和△AOB∽△COE，即有 ， ，從而得證．
證明：在 ABCD中，AB∥CE，AD∥BC，
∴△AOF∽△COB，△AOB∽△COE，
∴ ， ，
∴ ，
∴OB2＝OF?OE．
例12 在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，如果△ABC的周長是16，面積是12，那么△DEF的周長、面積依次為 ( )
A．8，3 B．8，6 C．4，3 D．4，6
分析 由AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，得△ABC∽△DEF，且相似比為2，則 ，所以S△DEF＝ ＝3，△DEF的周長為 ＝8．故選A．
例13 已知△ABC與△DEF相似且面積比為4：25，則△ABC與△DEF的相似比為 ．
分析 利用相似三角形的性質(zhì)求解．故填2：5．
例14 已知△ABC∽△A′B′C′，且S△ABC：S△A′B′C′＝1：2，則AB：A′B′＝ ．
分析 根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方，且S△ABC：S△A′B′C′＝1：2，得AB：A′B′＝1： .故填1： .
2011中考真題精選
1. （2010廣東，3，3分）將左下圖中的箭頭縮小到原來的 ，得到的圖形是（ ）
考點：相似圖形
分析：根據(jù)相似圖形的定義，結(jié)合圖形，對選項一一分析，排除錯誤答案．
解答：解：∵圖中的箭頭要縮小到原來的 ，∴箭頭的長、寬都要縮小到原來的 ；
選項B箭頭大小不變；選項C箭頭擴大；選項D的長縮小、而寬沒變．故選A．
點評：本題主要考查了相似形的定義，聯(lián)系圖形，即圖形的形狀相同，但大小不一定相同的變換是相似變換．
2. （2011，臺灣省，22,5分）某校每位學(xué)生上、下學(xué)期各選擇一個社團，下表為該校學(xué)生上、下學(xué)期各社團的人數(shù)比例．若該校上、下學(xué)期的學(xué)生人數(shù)不變，相較于上學(xué)期，下學(xué)期各社團的學(xué)生人數(shù)變化，下列敘述何者正確？（ ）
舞蹈社溜冰社魔?社
上?期345
下?期432
A、舞蹈社不變，溜冰社減少B、舞蹈社不變，溜冰社不變
C、舞蹈社增加，溜冰社減少D、舞蹈社增加，溜冰社不變
考點：比例的性質(zhì)。
專題：計算題。
分析：若甲：乙：丙=a：b：c，則甲占全部的 ，乙占全部的 ，丙占全部的 ．
解答：解：由表得知上、下學(xué)期各社團人數(shù)占全部人數(shù)的比例如下：
舞蹈社溜冰社魔?社
上?期 =
=
=
下?期 =
=
=
∴舞蹈社增加，溜冰社不變．
故選D．
點評：本題考查了比例的性質(zhì)：兩內(nèi)項之積等于兩外項之積．
3. （2011，臺灣省，33,5分）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，E、F兩點分別在AB、DC上．若AE=4，EB=6，DF=2，F(xiàn)C=3，且梯形AEFD與梯形EBCF相似，則AD與BC的長度比為何？（ �。�
A、1：2B、2：3
C、2：5D、4：9
考點：相似多邊形的性質(zhì)。
分析：根據(jù)兩個梯形相似，則對應(yīng)邊的比相等，即可求解．
解答：解：∵梯形AEFD∽梯形EBCF，且DF：FC=2：3
∴AD：EF=EF：BC=2：3?AD：EF：BC=4：6：9
∴AD：BC=4：9．
故選D．
點評：本題主要考查了相似多邊形的性質(zhì)，正確理解性質(zhì)是關(guān)鍵．
4. （2011貴州畢節(jié)，7，3分）兩個相似多邊形的面積比是 ，其中較小多邊形周長為36cm，則較大多邊形周長為( )
A．48cm B．54cm C．56cm D．64cm
考點：相似多邊形的性質(zhì)。
分析：根據(jù)相似多邊形對應(yīng)邊之比、周長之比等于相似比，而面積之比等于相似比的平方計算即可．
解答：解：兩個相似多邊形的面積比是9：16，面積比是周長比的平方，則大多邊形與小多邊形的相似比是4：3．相似多邊形周長的比等于相似比，因而設(shè)大多邊形的周長為x，則有 = ，解得：x=48．大多邊形的周長為48cm．故選A．
點評：本題考查相似多邊形的性質(zhì)．相似多邊形對應(yīng)邊之比、周長之比等于相似比，而面積之比等于相似比的平方．
（2011福建莆田，25，14分）已知菱形ABCD的邊長為1，∠ADC=60，等邊△AEF兩邊分別交DC、CB于點E、F。
（1）（4分）特殊發(fā)現(xiàn)：如圖1，若點E、F分別是DC、CB的中點，求證菱形ABCD對角母AC、BD的交點O即為等邊△AEF的外心；
（2）若點E、F始終分別在邊DC、CB上移動，記等邊△AEF的外心為點P。
①（4分）猜想驗證：如圖2，猜想△AEF的外心P落在哪一直線上，并加以證明；
②（5分）拓展運用：如圖3，猜想△AEF面積最小時，過點P任作一直線分別交邊DA于點M，交邊DC的延長線于點N，試判斷 是否為定值，若是，請求出該定值；若不是，請說明理由。
考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；菱形的性質(zhì)；三角形的外接圓與外心．
分析：（1）首先分別連接OE、0F，由四邊形ABCD是菱形，即可得AC⊥BD，BD平分∠ADC．AO=DC=BC，又由E、F分別為DC、CB中點，即可證得0E=OF=OA，則可得點O即為△AEF的外心；
（2）①首先分別連接PE、PA，過點P分別作PI⊥CD于I，PJ⊥AD于J，即可求得∠IPJ的度數(shù)，又由點P是等邊△AEF的外心，易證得△PIE≌△PJA，可得PI=PJ，即點P在∠ADC的平分線上，即點P落在直線DB上．
②當AE⊥DC時．△AEF面積最小，此時點E、F分別為DC、CB中點．連接BD、AC交于點P，由（1）可得點P即為△AEF的外心．由△GBP∽△MDP，即可 為定值2．
解答：（1）證明：如圖1，分別連接OE、0F，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BD平分∠ADC．AO=DC=BC，
∴∠COD=∠COB=∠AOD=90°．
∠ADO= ∠ADC= ×60°=30°，
又∵E、F分別為DC、CB中點，
∴OE= CD，OF= BC，AO= AD，
∴0E=OF=OA，
∴點O即為△AEF的外心．
（2）①猜想：外心P一定落在直線DB上．
證明：如圖 2，分別連接PE、PA，過點P分別作PI⊥CD于I，PJ⊥AD于J，
∴∠PIE=∠PJD=90°，
∵∠ADC=60°，
∴∠IPJ=360°-∠PIE-∠PJD-∠JDI=120°，
∵點P是等邊△AEF的外心，
∴∠EPA=120°，PE=PA，
∴∠IPJ=∠EPA，
∴∠IPE=∠JPA，
∴△PIE≌△PJA，
∴PI=PJ，
∴點P在∠ADC的平分線上，即點P落在直線DB上．
② 為定值2．
當AE⊥DC時．△AEF面積最小，
此時點E、F分別為DC、CB中點．
連接BD、AC交于點P，由（1）
可得點P即為△AEF的外心．
如圖3．設(shè)MN交BC于點G，
設(shè)DM=x，DN=y（x≠0．y≠O），則CN=y-1，
∵BC∥DA，
∴△GBP∽△MDP．
∴BG=DM=x．
∴CG=1-x
∵BC∥DA，
∴△GBP∽△NDM，
∴ ，
∴ ，
∴x+y=2xy，
∴ + =2，
即 =2
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外心的判定與性質(zhì)，以及菱形的性質(zhì)等知識．此題綜合性很強，圖形也比較復(fù)雜，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)
（2011甘肅蘭州，27，12分）已知：如圖所示的一張矩形紙片ABCD（AD>AB），將紙片折疊一次，使點A與點C重合，再展開，折痕EF交AD邊于點E，交BC邊于點F，分別連結(jié)AF和CE。
（1）求證：四邊形AFCE是菱形；
（2）若AE=10cm，△ABF的面積為24cm2，求△ABF的周長；
（3）在線段AC上是否存在一點P，使得2AE2=AC?AP？若存在，請說明點P的位置，并予以證明；若不存在，請說明理由.
考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；矩形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）.
分析：（1）通過證明△AOE≌△COF，可得四邊形AFCE是平行四邊形；由折疊的性質(zhì)，可得AE=EC，即可證明；（2）由勾股定理得AB2+FB2=100，△ABF的面積為24cm2可得，AB×BF=48；變換成完全平方式，即可解答；（3）過點E作AD的垂線，交AC于點P，通過證明△AOE∽△AEP，即可證明；
解答：（1）證明：由題意可知OA=OC，EF⊥AO，
∵AD∥BC，∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，∴△AOE≌△COF，∴AE=CF，又AE∥CF，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵AC⊥EF，∴四邊形AECF是菱形；
（2）∵四邊形AECF是菱形，∴AF=AE=10cm，
設(shè)AB=a，BF=b，∵△ABF的面積為24cm2，
∴a2+b2=100，ab=48，∴（a+b）2=196，
∴a+b=14或a+b=?14（不合題意，舍去），
∴△ABF的周長為14+10=24cm；
（3）存在，過點E作AD的垂線，交AC于點P，點P就是符合條件的點；
證明：∵∠AEP=∠AOE=90°，∠EAO=∠EAP，
∴△AOE∽△AEP，∴ = ，∴AE2=AO?AP，
∵四邊形AECF是菱形，∴AO= AC，∴AE2= AC?AP，∴2AE2=AC?AP．
點評：本題考查了相似和全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理及矩形的性質(zhì)，考查了知識點較多，綜合性較強，考查了學(xué)生綜合運用所學(xué)知識解決問題的能力．
（2011湖南益陽,21,12分）如圖是小紅設(shè)計的鉆石形商標，△ABC是邊長為2的等邊三角形，四邊形ACDE是等腰梯形，AC∥ED，∠EAC=60°，AE=1．
（1）證明：△ABE≌△CBD；
（2）圖中存在多對相似三角形，請你找出一對進行證明，并求出其相似比（不添加輔助線，不找全等的相似三角形）；
（3）小紅發(fā)現(xiàn)AM=MN=NC，請證明此結(jié)論；
（4）求線段BD的長．
考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角形；勾股定理；等腰梯形的性質(zhì)．
專題：證明題．
分析：（1）由△ABC是等邊三角形，得AB=BC，∠BAC=∠BCA=60°，由四邊形ACDE是等腰梯形，得AE=CD，∠ACD=∠CAE=60°，利用“SAS”判定△ABE≌△CBD；
（2）存在．可利用AB∥CD或AE∥BC得出相似三角形；
（3）由（2）的結(jié)論得 = =2，即CN= AC，同理，得AM= AC，可證AM=MN=NC；
（4）作DF⊥BC交BC的延長線于F，在Rt△CDF中，由∠CDF=30°，CD=AE=1，可求CF，DF，在Rt△BDF中，由勾股定理求BD．
解答：（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC，∠BAC=∠BCA=60°．�。�1分）
∵四邊形ACDE是等腰梯形，∠EAC=60°，
∴AE=CD，∠ACD=∠CAE=60°，
∴∠BAC+∠CAE=120°=∠BCA+∠ACD，
即∠BAE=∠BCD．（2分）
在△ABE和△BCD中，AB=BC，∠BAE=∠BCD，AE=CD，
∴△ABE≌△CBD．（3分）
（2）存在．答案不唯一．如△ABN∽△CDN．
證明：∵∠BAN=60°=∠DCN，∠ANB=∠DNC，
∴△ANB∽△CND．（5分）
其相似比為： = =2；（6分）
（3）由（2）得 = =2，
∴CN= AN= AC，（8分）
同理AM= AC，
∴AM=MN=NC．（9分）
（4）作DF⊥BC交BC的延長線于F，
∵∠BCD=120°，
∴∠DCF=60°．（1O分）
在Rt△CDF中，∴∠CDF=30°，
∴CF= CD= ，
∴DF= = = ；�。�11分）
在Rt△BDF中，∵BF=BC+CF=2+ = ，DF= ，
∴BD= = = ．（12分）
點評：本題考查了相似三角形．全等三角形的判定與性質(zhì)，特殊三角形，等腰梯形的性質(zhì)，勾股定理的運用．關(guān)鍵是根據(jù)等邊三角形，等腰梯形的特殊性質(zhì)得出平行線，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理解題．
（2011?江西，25，10）某課題學(xué)習(xí)小組在一次活動中對三角形的內(nèi)接正方形的有關(guān)問題進行了探討：
定義：如果一個正方形的四個頂點都在一個三角形的邊上，那么我們就把這個正方形叫做三角形的內(nèi)接正方形．
結(jié)論：在探討過程中，有三位同學(xué)得出如下結(jié)果：
甲同學(xué)：在鈍角、直角、不等邊銳角三角形中分別存在 個、 個、 個大小不同的內(nèi)接正方形．
乙同學(xué)：在直角三角形中，兩個頂點都在斜邊上的內(nèi)接正方形的面積較大．
丙同學(xué)：在不等邊銳角三角形中，兩個頂點都在較大邊上的內(nèi)接正方形的面積反而較�。�
任務(wù)：（1）填充甲同學(xué)結(jié)論中的數(shù)據(jù)；
（2）乙同學(xué)的結(jié)果正確嗎？若不正確，請舉出一個反例并通過計算給予說明，若正確，請給出證明；
（3）請你結(jié)合（2）的判定，推測丙同學(xué)的結(jié)論是否正確，并證明．
考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)。
分析：（1）分別畫一下即可得出答案；
（2）先判斷，再舉一個例子；例如：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=1，則 ．
（3）先判斷，再舉一個例子：設(shè)△ABC的三條邊分別為a，b，c，不妨設(shè)a＞b＞c，三條邊上的對應(yīng)高分別為ha，hb，hc，內(nèi)接正方形的邊長分別為xa，xb，xc．
解答：解：（1）1，2，3．（3分）
（2）乙同學(xué)的結(jié)果不正確．（4分）
例如：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=1，則 ．
如圖①，四邊形DEFB是只有一個頂點在斜邊上的內(nèi)接正方形．
設(shè)它的邊長為a，則依題意可得： ，∴ ，
如圖②，四邊形DEFH兩個頂點都在斜邊上的內(nèi)接正方形．
設(shè)它的邊長為b，則依題意可得： ，∴ ．
∴a＞b．（7分）
（3）丙同學(xué)的結(jié)論正確．
設(shè)△ABC的三條邊分別為 不妨設(shè) ，三條邊上的對應(yīng)高分別為 ，內(nèi)接正方形的邊長分別為 .
依題意可得： ， ∴ .同理 .
=
=
=
又∵ ， ∴ ，
∴ ，即 .
∴在不等邊銳角三角形中，兩個頂點都在較大邊上的內(nèi)接正方形的面積反而較小. (10分)
點評：本題是一道難度較大的題目，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，舉出例子是解此題的關(guān)鍵．
（2011年江西省，25，10分）某數(shù)學(xué)興趣小組開展了一次活動，過程如下：
設(shè)∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）小棒依次擺放在兩射線之間，并使小棒兩端分別落在兩射線上．
活動一：
如圖甲所示，從點A1開始，依次向右擺放小棒，使小棒與小棒在端點處互相垂直，A1A2為第1根小棒．
數(shù)學(xué)思考：
（1）小棒能無限擺下去嗎？答：能（填“能“或“不能”）
（2）設(shè)AA1=A1A2=A2A3=1．
①θ= 22.5度；
②若記小棒A2n-1A2n的長度為an（n為正整數(shù)，如A1A2=a1，A3A4=a2，…），求出此時a2，a3的值，并直接寫出an（用含n的式子表示）．
活動二：
如圖乙所示，從點A1開始，用等長的小棒依次向右擺放，其中A1A2為第1根小棒，且A1A2=AA1．
數(shù)學(xué)思考：
（3）若已經(jīng)向右擺放了3根小棒，則θ1= 2θ，θ2= 3θ，θ3= 4θ（用含θ的式子表示）；
（4）若只能擺放4根小棒，求θ的范圍．
考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；一元一次不等式組的應(yīng)用；平行線的判定與性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形．
專題：規(guī)律型．
分析：（1）本題需先根據(jù)已知條件∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）小棒兩端分別落在兩射線上，從而判斷出能繼續(xù)擺下去．
（2）本題需先根據(jù)已知條件AA1=A1A2=A2A3=1，A1A2⊥A2A3，得出A2A3和AA3的值，判斷出A1A2∥A3A4、A3A4∥A5A6，即可求出∠A=∠AA2A1=∠AA4A3=∠AA6A，從而此時a2，a3的值和出an．
（3）本題需先根據(jù)A1A2=AA1，得出∠A1AA2和∠AA2A1相等，即可得出θ1的值，同樣道理得出θ2、θ3的值．
（4）本題需先根據(jù)已知條件，列出不等式組，解出θ的取值范圍，即可得出正確答案．
解答：解：（1）∵根據(jù)已知條件∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）小棒兩端能分別落在兩射線上，
∴小棒能繼續(xù)擺下去．
（2）①∵A1A2=A2A3，A1A2⊥A2A3，
∴∠A2A1A3=45°
∴∠AA2A1+∠θ=45°
∵∠AA2A1=∠θ
∴∠θ=22.5°
②∵AA1=A1A2=A2A3=1，A1A2⊥A2A3
∴A2A3= ，AA3=1+
又∵A2A3⊥A3A4
A1A2∥A3A4
同理；A3A4∥A5A6
∴∠A=∠AA2A1=∠AA4A3=∠AA6A5
∴AA3A3A4，AA5=A5A6
∴a2=A3A4=AA3=1+
a3?AA3+A3A5=a2+A3A5
∵A3A5=
∴a3=A5A6=AA5=a2 + a2=
∴an=
（3）∵A1A2=AA1
∴∠A1AA2=∠AA2A1=θ
∴∠A2A1A3=θ1=θ+θ
∴θ1=2θ
同理可得：θ2=3θ θ3=4
（4）由題意得：
∴15°＜θ≤18°。
點評：本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，在解題時要注意根據(jù)題意找出規(guī)律并與相似三角形的性質(zhì)相結(jié)合是本題的關(guān)鍵．
綜合驗收評估測試題
(時間：120分鐘 滿分：120分)
一、選擇題
1．要做甲、乙兩個形狀相同(相似)．的三角形框架，已知三角形框架甲的三邊長分別為50 cm，60 cm，80 cm，三角形框架乙的一邊長為20 cm，那么符合條件的三角形框架乙共有 ( )
A．1種 B．2種 C．3種 D．4種
2．如圖27－107所示，在△ABC中，已知∠AED＝∠B，DE＝6，AB＝10，AE＝8，則BC的長為 ( )
A. B．7 C． D.
3．如圖27－108所示，在△ABC中，D，E分別為AB，AC的中點，若△ABC的面積為12cm2，則△ADE的面積為 ( )
A．2 cm2 B．3 cm2 C．4 cm2 D．6 cm2
4．廚房角柜的臺面是三角形，如果把各邊中點的連線所圍成的三角形鋪上黑色大理石，如圖27?109所示，其余部分鋪上白色大理石，那么黑色大理石與白色大理石的面積比為 ( )
A．1：4 B．4：1 C．1：3 D．3：4
5．如圖27－110所示，D是△ABC的邊AB上一點，過D作DE∥BC交AC于E，若AD： DB＝2：3，則S△ADE：S四邊形BCED等于 ( )
A．2：3 B．4：9 C．4；5 D．4：21
6．如圖27－111所示，DE是△ABC的中位線，F(xiàn)是DE的中點，BF的延長線交AC于點H，則AH：HE等于 ( )
A．1：1 B．2：1 C．1： D．3：2
7．△ABC的三邊長分別為 ， ，2，△A′B′C′的兩邊長分別為1和 ，如果△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的第三邊長應(yīng)為 ( )
A. B． C. D．
8．如圖27－112所示，在△ABC中，DE∥BC，且S△ADE＝S四邊形BDEC，則DE：BC等于( )
A．1:2 B． ：2 C．1：4 D．2：3
9．如圖27－113所示，在 ABCD中，CE是∠DCB的平分線，F(xiàn)是AB的中點，AB＝6，BC＝4，則AE：EF：FB等于 ( )
A．1：2：3 B．2：1：3 C．3：2：1 D．3：1：2
10．點P是△ABC中AB邊上的一點，過點P作直線(不與直線AB重合)截△ABC，使截得的三角形與原三角形相似，則滿足這樣條件的直線最多有 ( )
A．2條 B．3條 C．4條 D．5條
二、填空題
11．如圖27－114所示，在△ABC中，DE∥BC交AB于D，交AC于E，若AD＝3.2，DB＝2.4，AE＝2.8，則AC＝ ．
12．一根2米長的竹竿直立在操場上，影長為1.6米，在同一時刻，測得旗桿的影長為17．6米，則旗桿高 米．
13．若△ABC∽△A′B′C′，AC＝5，A′C′＝8，則 S△ABC：S△A′B′C′
= ．
14．已知兩個相似多邊形的一組對應(yīng)邊長分別為3 cm和4 cm，如果它們的面積和為50 cm2，則較大多邊形的面積為 cm2．
15．若一個多邊形在圖上的面積為4 cm2，比例尺為1：1000，則該多邊形的實際面積為 m2．
16．已知△ABC∽△DEF，相似比為3，△ABC的周長為54 cm，若△DEF的三邊長之比為2：3：4，則△DEF的最短邊長為 cm．
三、解答題
17．如圖27－115所示，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，點D在AC上，且AD＝2，在AB上找一點E，使得△ADE與原三角形相似，這樣的點E有幾個?求出AE的長．
18．如圖27－116所示，已知在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝20，點M分BC為BM：MC＝1：2，DE⊥AM于點E，求DE的長．
19．如圖27－117所示，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，M是BC的中點，DE⊥AM，垂足為E，求DE的長．
20．如圖27－118所示，在△ABC中，已知AB＝AC＝8，BC＝6，BD⊥AC于D，AE⊥BC于E，求CD的長．
21．如圖27－119所示，已知CD是Rt△ABC的斜邊AB上的高，若AD＝10，BD＝5，求CD的長．
22．如圖27－120所示，在△ABC中，DE∥BC，且S△ADE：S四邊形BCED＝1：3，求AD：DB．
23．在Rt△ABC中，CD為斜邊上的高，試確定AC是哪兩條線段的比例中項，用比例式或等積式寫出你的結(jié)論，并加以證明．
24．如圖27－121所示，在正方形ABCD中，E是AB上一點，EF⊥CE交AD于F．
(1)求證△AEF∽△BCE；
(2)求證 .
25．如圖27－122所示，已知∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a，BC＝b．
(1)當BD與a，b之間滿足怎樣的關(guān)系時，△ABC∽△CDB；
(2)過A作BD的垂線，與DB的延長線交于點E，若△ABC∽△CDB，試判斷四邊形AEDC是什么四邊形．
26．如圖27－123所示，在△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，PQ∥AB，點P在AC上，點Q在BC上．
(1)當△PQC的面積與四邊形PABQ的面積相等時，求CP的長；
(2)當△PQC的周長與四邊形PABQ的周長相等時，求CP的長；
(3)在AB上是否存在點M，使△PQM為等腰直角三角形?若存在，求出PQ的長；若不存在，請說明理由．
參考答案
1．C[提示：由題意知兩個三角形相似，三角形乙中20 cm的邊可以和三角形甲中的三邊任何一邊是對應(yīng)邊，所以符合條件的三角形共有3種．]
2．C[提示：∵∠A＝∠A，∠AED＝∠B，∴△ADE∽△ACB，∴ ，∴ ，∴BC＝ .故選C．]
3．B[提示：∵D，E分別為AB，AC的中點，∴DE∥BC，∴△AED∽△ACB，∴ ，∴ ．∴S△ADE＝3．故選B.]
4．C[提示：由題意得被分割成的4個小三角形的面積相等，所以黑色大理石與白色大理石的面積比為1：3．]
5．D[提示：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ = ，∴ .故選D.]
6.B[提示：∵DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，∴△HFE∽△HBC，∴ ，∴ .∵AE=EC，∴ ,∴AH：HE＝2：1．]
7．A[提示：∵ ＝ ，設(shè)第三邊長為x，∵ ，∴x＝ .故選A．]
8．B[提示：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∵S△ADE＝S四邊形BDEC，∴ ，∴ ．]
9．B[提示：∵CE平分∠DCB，∴∠DCE＝∠BCE．又∵DC∥AB，∴∠DCE＝∠CEB，∴∠CEB＝∠BCE，∴BE＝BC＝4，∴AE＝2．∵AF＝3，∴EF＝1，又BF＝3，∴AE：EF：FB＝2：1：3．]
10．C[提示：過點P的直線可以分別與AC，BC平行，也可以與AC，BC不平行．]
11．4．9[提示：∵DE∥BC,△ADE∽△ABC，∴ ，∴ ，∴AC=4．9．] 12．22[提示：在同一時刻物高與影長成正比，∴ ，x＝22．]
13．25：64[提示：相似三角形的面積比等于相似比的平方．]
14．32[提示：設(shè)較大多邊形的面積為x cm2，則 ，∴x=32．]
15．400[提示： ，∴x=4000000 cm2，即400 m2．]
16．4[提示：△ABC的最短邊長為54× ＝12，∵相似比為3，∴△DEF的最短邊長為4 cm．]
17．解：這樣的點正有兩個．若△AED∽△ABC，則 ，∴ ，∴AE = ；△AED∽△ACB，則 ，∴ ，∴AE＝ .
18．解：∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AMB，又∵∠E＝∠ABM＝90°，∴△ABM∽△DEA，∴ ．∵BM= ，AB=5，∴AM= ，∴ ，∴DE＝12．
19．解：∵四邊形ABCD為矩形，∴AD∥BC，∴△ABM∽△DEA，∴ ．在Rt△ABM中，AM= =5，∴ ，∴DE= ．
20．解：∵AE⊥BC，BD⊥AC，∴∠AEC＝∠BDC＝90°．又∵∠C＝∠C，∴△BCD∽△ACE，∴ ，∴ ，∴CD＝ ．
21．解：∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∴∠B+∠DCB＝90°．又∵∠A+∠B＝90°，∴∠A＝∠DCB，∴△ADC∽△CDB，∴ ，∴CD2=AD?BD=50，∴CD=5 .
22．解：∵S△ADE：S四邊形BCED=1：3，∴S△ADE：S△ABC：1：4，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴AD：AB＝1：2，∴AD：DB＝1：1．
23．解：AC2＝AB?AD或 ．證明過程如下．∵∠A＋∠ACD＝90°，∠A＋∠B＝90°，∴∠B＝∠ACD．又∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，∴ ，即AC2＝AB?AD．
24．證明：(1)∵∠AEF＋∠BEC＝90°，∠BEC＋∠ECB＝90°，∴∠AEF＝∠BCE，又∠A＝∠B＝90°，∴△AEF∽△BCE．
(2)∴△AEF∽△BCE，∴ ，又CD=BC，∴ .
25．解：(1)若△ABC∽△CDB，則 ，∴BD＝ ，∴當BD＝ 時，△ABC∽△CDB． (2)∵△ABC∽△CDB，∴∠ACD＝90°．又∵∠D＝∠E＝90°，∴四邊形AEDC為矩形．
26．解：(1)∵S△PQC＝ S四邊形PABQ，∴S△PQC：S△ABC＝1：2．∵PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC，∴ ＝1：2，∴PC2＝ ?AC2＝ ×42＝8，∴PC＝2
(2)∵△PQC的周長與四邊形PABQ的周長相等，∴PC+CQ＝PA+AB+QB＝△ABC的周長的一半＝6．又∵PQ∥AB，∴ ，即 ，∴CP＝ ．
(3)存在點M使△PQM為等腰直角三角形．①如圖27－124所示，當∠MPQ＝90°，PM＝PQ時，∠C＝90°，△ABC中AB邊上的高為 ，設(shè)PM＝PQ＝x．∵PQ∥AB，∴△CPQ∽△CAB，∴ ，∴x＝ ，即PQ＝ ．當∠M′QP＝90°，QP＝QM′時，同理可得PQ＝ ．
②如圖27－125所示，當∠PMQ＝90°，MP＝MQ時，可得點M到PQ的距離為 PQ.設(shè)PQ＝x，∵PQ∥AB，∴△CPQ∽△CAB，∴ ＝ ，解得x= ，即PQ= .
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