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湖北省咸寧市中考2013年數(shù)學(xué)試卷
一、（共8小題，每小題3分，滿(mǎn)分24分）在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．（3分）（2013?咸寧）如果溫泉河的水位升高0.8m時(shí)水位變化記作+0.8m，那么水位下降0.5m時(shí)水位變化記作（　�。�
　A．0mB．0.5mC．?0.8mD．?0.5m
考點(diǎn)：正數(shù)和負(fù)數(shù)．
分析：首先根據(jù)題意，明確“正”和“負(fù)”所表示的意義，再根據(jù)題意作答即可．
解答：解：∵水位升高0.8m時(shí)水位變化記作+0.8m，
∴水位下降0.5m時(shí)水位變化記作?05m；
故選D．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)，解題關(guān)鍵是理解“正”和“負(fù)”的相對(duì)性，明確什么是一對(duì)具有相反意義的量．在一對(duì)具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個(gè)為正，則另一個(gè)就用負(fù)表示．
　
2．（3分）（2013?咸寧）2014年，咸寧全面推進(jìn)“省級(jí)戰(zhàn)略，咸寧實(shí)施”，經(jīng)濟(jì)持續(xù)增長(zhǎng)，全市人均GDP再攀新高，達(dá)到約24000元．將24000用科學(xué)記數(shù)法表示為（　�。�
　A．2.4×104B．2.4×103C．0.24×105D．2.4×105
考點(diǎn)：科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)．
分析：科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤a＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值＞1時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．
解答：解：將24000用科學(xué)記數(shù)法表示為2.4×104．
故選A．
點(diǎn)評(píng)：此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤a＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．
　
3．（3分）（2013?咸寧）下列學(xué)習(xí)用具中，不是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（　　）
　A． B． C． D．
考點(diǎn)：軸對(duì)稱(chēng)圖形．
分析：根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念：把一個(gè)圖形沿著某條直線折疊，兩邊能夠重合的圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)各選項(xiàng)判斷即可．
解答：解：A、是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不合題意，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不合題意，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，符合題意，故本選項(xiàng)正確；
D、是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不合題意，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了軸對(duì)稱(chēng)圖形的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題，判斷軸對(duì)稱(chēng)圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱(chēng)軸．
4．（3分）（2013?咸寧）下列運(yùn)算正確的是（　�。�
　A．a(chǎn)6÷a2=a3B．3a2b?a2b=2C．（?2a3）2=4a6D．（a+b）2=a2+b2
考點(diǎn)：同底數(shù)冪的除法；合并同類(lèi)項(xiàng)；冪的乘方與積的乘方；完全平方公式．
分析：根據(jù)同底數(shù)冪的除法、合并同類(lèi)項(xiàng)、冪的乘方及完全平方公式，結(jié)合各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．
解答：解：A、a6÷a2=a4，原式計(jì)算錯(cuò)誤，故本選線錯(cuò)誤；
B、3a2b?a2b=2a2b，原式計(jì)算錯(cuò)誤，故本選線錯(cuò)誤；
C、（?2a3）2=4a6，計(jì)算正確，故本選線正確；
D、（a+b）2=a2+2ab+b2，計(jì)算錯(cuò)誤，故本選線錯(cuò)誤；
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了同底數(shù)冪的除法、合并同類(lèi)項(xiàng)、冪的乘方運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題，掌握各部分的運(yùn)算法則是關(guān)鍵．
　
5．（3分）（2013?咸寧）如圖，過(guò)正五邊形ABCDE的頂點(diǎn)A作直線l∥BE，則∠1的度數(shù)為（　�。�
　A．30°B．36°C．38°D．45°
考點(diǎn)：平行線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；多邊形內(nèi)角與外角．
分析：首先根據(jù)多邊形內(nèi)角和計(jì)算公式計(jì)算出每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)計(jì)算出∠AEB，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得答案．
解答：解：∵ABCDE是正五邊形，
∴∠BAE=（5?2）×180°÷5=108°，
∴∠AEB=（180°?108°）÷2=36°，
∵l∥BE，
∴∠1=36°，
故選：B．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了正多邊形的內(nèi)角和定理，以及三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握多邊形內(nèi)角和定理：（n?2）．180° （n≥3）且n為整數(shù)）．
　
6．（3分）（2013?咸寧）關(guān)于x的一元二次方程（a?1）x2?2x+3=0有實(shí)數(shù)根，則整數(shù)a的最大值是（　�。�
　A．2B．1C．0D．?1
考點(diǎn)：根的判別式．
分析：根據(jù)方程有實(shí)數(shù)根，得到根的判別式的值大于等于0，且二次項(xiàng)系數(shù)不為0，即可求出整數(shù)a的最大值．
解答：解：根據(jù)題意得：△=4?12（a?1）≥0，且a?1≠0，
解得：a≤，a≠1，
則整數(shù)a的最大值為0．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了根的判別式，一元二次方程的定義，弄清題意是解本題的關(guān)鍵．
　
7．（3分）（2013?咸寧）如圖，正方形ABCD是一塊綠化帶，其中陰影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飛翔的小鳥(niǎo)，將隨機(jī)落在這塊綠化帶上，則小鳥(niǎo)在花圃上的概率為（　�。�
　A． B．
C． D．
考點(diǎn)：相似三角形的應(yīng)用；正方形的性質(zhì)；幾何概率．
分析：求得陰影部分的面積與正方形ABCD的面積的比即可求得小鳥(niǎo)在花圃上的概率；
解答：解：設(shè)正方形的ABCD的邊長(zhǎng)為a，
則BF=BC=，AN=NM=MC=a，
∴陰影部分的面積為（）2+（a）2= a2，
∴小鳥(niǎo)在花圃上的概率為 =
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)及幾何概率，關(guān)鍵是表示出大正方形的邊長(zhǎng)，從而表示出兩個(gè)陰影正方形的邊長(zhǎng)，最后表示出面積．
　
8．（3分）（2013?咸寧）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以O(shè)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交x軸于點(diǎn)M，交y軸于點(diǎn)N，再分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在第二象限交于點(diǎn)P．若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2a，b+1），則a與b的數(shù)量關(guān)系為（　�。�
　A．a(chǎn)=bB．2a+b=?1C．2a?b=1D．2a+b=1
考點(diǎn)：作圖—基本作圖；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)．
分析：根據(jù)作圖過(guò)程可得P在第二象限角平分線上，有角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得2a=b+1，再根據(jù)P點(diǎn)所在象限可得橫縱坐標(biāo)的和為0，進(jìn)而得到a與b的數(shù)量關(guān)系．
解答：解：根據(jù)作圖方法可得點(diǎn)P在第二象限角平分線上，
則P點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的和為0，
故2a+b+1=0，
整理得：2a+b=?1，
故選：B．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了每個(gè)象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，以及角平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握各象限角平分線上的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)橫坐標(biāo)=縱坐標(biāo)．
　
二、題（共8小題，每小題3分，滿(mǎn)分24分）
9．（3分）（2013?咸寧）?3的倒數(shù)為　? 　．
考點(diǎn)：倒數(shù)．
分析：根據(jù)倒數(shù)的定義：若兩個(gè)數(shù)的乘積是1，我們就稱(chēng)這兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)．
解答：解：∵（?3）×（? ）=1，∴?3的倒數(shù)是? ．
故答案為? ．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查倒數(shù)的定義，要求熟練掌握．需要注意的是：
倒數(shù)的性質(zhì)：負(fù)數(shù)的倒數(shù)還是負(fù)數(shù)，正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，0沒(méi)有倒數(shù)．
倒數(shù)的定義：若兩個(gè)數(shù)的乘積是1，我們就稱(chēng)這兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)．
　
10．（3分）（2013?咸寧）化簡(jiǎn) + 的結(jié)果為　x　．
考點(diǎn)：分式的加減法．
分析：先把兩分?jǐn)?shù)化為同分母的分?jǐn)?shù)，再把分母不變，分子相加減即可．
解答：解：原式= ?
=
=x．
故答案為：x．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是分式的加減法，即把分母不相同的幾個(gè)分式化成分母相同的分式，叫做通分，經(jīng)過(guò)通分，異分母分式的加減就轉(zhuǎn)化為同分母分式的加減．
　
11．（3分）（2013?咸寧）如圖是正方體的一種平面展開(kāi)圖，它的每個(gè)面上都有一個(gè)漢字，那么在原正方體的表面上，與漢字“香”相對(duì)的面上的漢字是　泉�。�
考點(diǎn)：專(zhuān)題：正方體相對(duì)兩個(gè)面上的文字．
分析：正方體的表面展開(kāi)圖，相對(duì)的面之間一定相隔一個(gè)正方形，根據(jù)這一特點(diǎn)作答．
解答：解：正方體的表面展開(kāi)圖，相對(duì)的面之間一定相隔一個(gè)正方形，
“力”與“城”是相對(duì)面，
“香”與“泉”是相對(duì)面，
“魅”與“都”是相對(duì)面．
故答案為泉．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正方體相對(duì)兩個(gè)面上的文字，注意正方體的空間圖形，從相對(duì)面入手，分析及解答問(wèn)題．
　
12．（3分）（2013?咸寧）已知 是二元一次方程組 的解，則m+3n的立方根為　2�。�
考點(diǎn)：二元一次方程組的解；立方根．
分析：將 代入方程組 ，可得關(guān)于m、n的二元一次方程組，解出m、n的值，代入代數(shù)式即可得出m+3n的值，再根據(jù)立方根的定義即可求解．
解答：解：把 代入方程組 ，
得： ，解得 ，
則m+3n= +3×=8，
所以 = =2．
故答案為2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二元一次方程組的解，解二元一次方程組及立方根的定義等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題，注意“消元法”的運(yùn)用．
　
13．（3分）（2013?咸寧）在數(shù)軸上，點(diǎn)A（表示整數(shù)a）在原點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)B（表示整數(shù)b）在原點(diǎn)的右側(cè)．若a?b=2013，且AO=2BO，則a+b的值為　?671�。�
考點(diǎn)：數(shù)軸；絕對(duì)值；兩點(diǎn)間的距離．
分析：根據(jù)已知條件可以得到a＜0＜b．然后通過(guò)取絕對(duì)值，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離定義知b?a=2013，a=?2b，則易求b=671．所以a+b=?2b+b=?b=?671．
解答：解：如圖，a＜0＜b．
∵a?b=2013，且AO=2BO，
∴b?a=2013，①
a=?2b，②
由①②，解得b=671，
∴a+b=?2b+b=?b=?671．
故答案是：?671．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)軸、絕對(duì)值以及兩點(diǎn)間的距離．根據(jù)已知條件得到a＜0＜b是解題的關(guān)鍵．
　
14．（3分）（2013?咸寧）跳遠(yuǎn)運(yùn)動(dòng)員李剛對(duì)訓(xùn)練效果進(jìn)行測(cè)試，6次跳遠(yuǎn)的成績(jī)?nèi)缦拢?.6，7.8，7.7，7.8，8.0，7.9．（單位：m）這六次成績(jī)的平均數(shù)為7.8，方差為 ．如果李剛再跳兩次，成績(jī)分別為7.7，7.9．則李剛這8次跳遠(yuǎn)成績(jī)的方差　變大�。ㄌ睢白兇蟆�、“不變”或“變小”）．
考點(diǎn)：方差．
分析：根據(jù)平均數(shù)的定義先求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，再根據(jù)方差公式求出這組數(shù)據(jù)的方差，然后進(jìn)行比較即可求出答案．
解答：解：∵李剛再跳兩次，成績(jī)分別為7.7，7.9，
∴這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是 =7.8，
∴這8次跳遠(yuǎn)成績(jī)的方差是：
S2= [（7.6?7.8）2+（7.8?7.8）2+2×（7.7?7.8）2+（7.8?7.8）2+（8.0?7.8）2+2×（7.9?7.8）2]= ，
，
∴方差變大；
故答案為：變大．
點(diǎn)評(píng)：本題考查方差的定義，一般地設(shè)n個(gè)數(shù)據(jù)，x1，x2，…xn的平均數(shù)為，則方差S2= [（x1?）2+（x2?）2+…+（xn?）2]，它反映了一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，方差越大，波動(dòng)性越大，反之也成立．
　
15．（3分）（2013?咸寧）如圖，在Rt△AOB中，OA=OB=3 ，⊙O的半徑為1，點(diǎn)P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的一條切線PQ（點(diǎn)Q為切點(diǎn)），則切線PQ的最小值為　2 　．
考點(diǎn)：切線的性質(zhì)；等腰直角三角形．
分析：首先連接OP、OQ，根據(jù)勾股定理知PQ2=OP2?OQ2，可得當(dāng)OP⊥AB時(shí)，線段OP最短，即線段PQ最短，然后由勾股定理即可求得答案．
解答：解：連接OP、OQ．
∵PQ是⊙O的切線，
∴OQ⊥PQ；
根據(jù)勾股定理知PQ2=OP2?OQ2，
∴當(dāng)PO⊥AB時(shí)，線段PQ最短，
∵在Rt△AOB中，OA=OB=3 ，
∴AB= OA=6，
∴OP= =3，
∴PQ= = =2 ．
故答案為：2 ．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意得到當(dāng)PO⊥AB時(shí)，線段PQ最短是關(guān)鍵．
　
16．（3分）（2013?咸寧）“龜兔首次賽跑”之后，輸了比賽的兔子沒(méi)有氣餒，總結(jié)反思后，和烏龜約定再賽一場(chǎng)．圖中的函數(shù)圖象刻畫(huà)了“龜兔再次賽跑”的故事（x表示烏龜從起點(diǎn)出發(fā)所行的時(shí)間，y1表示烏龜所行的路程，y2表示兔子所行的路程）．有下列說(shuō)法：
①“龜兔再次賽跑”的路程為1000米；
②兔子和烏龜同時(shí)從起點(diǎn)出發(fā)；
③烏龜在途中休息了10分鐘；
④兔子在途中750米處追上烏龜．
其中正確的說(shuō)法是�、佗邰堋。�（把你認(rèn)為正確說(shuō)法的序號(hào)都填上）
考點(diǎn)：函數(shù)的圖象．
分析：結(jié)合函數(shù)圖象及選項(xiàng)說(shuō)法進(jìn)行判斷即可．
解答：解：根據(jù)圖象可知：
龜兔再次賽跑的路程為1000米，故①正確；
兔子在烏龜跑了40分鐘之后開(kāi)始跑，故②錯(cuò)誤；
烏龜在30??40分鐘時(shí)的路程為0，故這10分鐘烏龜沒(méi)有跑在休息，故③正確；
y1=20x?200（40≤x≤60），y2=100x?4000（40≤x≤50），當(dāng)y1=y2時(shí)，兔子追上烏龜，
此時(shí)20x?200=100x?4000，
解得：x=47.5，
y1=y2=750米，即兔子在途中750米處追上烏龜，故④正確．
綜上可得①③④正確．
故答案為：①③④．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的圖象，讀函數(shù)的圖象時(shí)首先要理解橫縱坐標(biāo)表示的含義，理解問(wèn)題敘述的過(guò)程，有一定難度．
　
三、解答題（共8小題，滿(mǎn)分72分）
17．（10分）（2013?咸寧）（1）計(jì)算： +2? ?（ ）?1
（2）解不等式組： ．
考點(diǎn)：解一元一次不等式組；實(shí)數(shù)的運(yùn)算；負(fù)整數(shù)指數(shù)冪．
分析：（1）此題涉及到二次根式的化簡(jiǎn)、絕對(duì)值、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，根據(jù)各知識(shí)點(diǎn)計(jì)算后，再計(jì)算有理數(shù)的加減即可；
（2）分別計(jì)算出兩個(gè)不等式的解集，再根據(jù)大小小大中間找確定不等式組的解集即可．
解答：解：（1）原式=2 +2? ?2= ．
（2）解不等式x+6≤3x+4，得；x≥1．
解不等式 ＞x?1，得：x＜4．
原不等式組的解集為：1≤x＜4．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)、絕對(duì)值、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，以及解一元一次不等式組，關(guān)鍵是掌握解集的規(guī)律：同大取大；同小取��；大小小大中間找；大大小小找不到．
　
18．（7分）（2013?咸寧）在咸寧創(chuàng)建”國(guó)家衛(wèi)生城市“的活動(dòng)中，市園林公司加大了對(duì)市區(qū)主干道兩旁植“景觀樹(shù)”的力度，平均每天比原計(jì)劃多植5棵，現(xiàn)在植60棵所需的時(shí)間與原計(jì)劃植45棵所需的時(shí)間相同，問(wèn)現(xiàn)在平均每天植多少棵樹(shù)？
考點(diǎn)：分式方程的應(yīng)用．
分析：設(shè)現(xiàn)在平均每天植樹(shù)x棵，則原計(jì)劃平均每天植樹(shù)（x?5）棵．根據(jù)現(xiàn)在植60棵所需的時(shí)間與原計(jì)劃植45棵所需的時(shí)間相同建立方程求出其解即可．
解答：解：設(shè)現(xiàn)在平均每天植樹(shù)x棵，則原計(jì)劃平均每天植樹(shù)（x?5）棵．依題意得：
，
解得：x=20，
經(jīng)檢驗(yàn)，x=20是方程的解，且符合題意．
答：現(xiàn)在平均每天植樹(shù)20棵．
點(diǎn)評(píng)：本題是一道工程問(wèn)題的運(yùn)用題，考查了工作總量÷工作效率=工作時(shí)間的運(yùn)用，列分式方程解實(shí)際問(wèn)題的運(yùn)用，解答時(shí)根據(jù)植60棵所需的時(shí)間與原計(jì)劃植45棵所需的時(shí)間相同建立方程是關(guān)鍵．
　
19．（8分）（2013?咸寧）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=2x+b（b＜0）與坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)，與雙曲線y=（x＞0）交于D點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DC⊥x軸，垂足為G，連接OD．已知△AOB≌△ACD．
（1）如果b=?2，求k的值；
（2）試探究k與b的數(shù)量關(guān)系，并寫(xiě)出直線OD的解析式．
考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題．
分析：（1）首先求出直線y=2x?2與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后由△AOB≌△ACD得到CD=DB，AO=AC，即可求出D坐標(biāo)，由點(diǎn)D在雙曲線y=（ x＞0）的圖象上求出k的值；
（2）首先直線y=2x+b與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為A（?，0），B（0，b），再根據(jù)△AOB≌△ACD得到CD=DB，AO=AC，即可求出D坐標(biāo)，把D點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式求出k和b之間的關(guān)系，進(jìn)而也可以求出直線OD的解析式．
解答：解：（1）當(dāng)b=?2時(shí)，
直線y=2x?2與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為A（1，0），B（0，?2）．
∵△AOB≌△ACD，
∴CD=DB，AO=AC，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，2）．
∵點(diǎn)D在雙曲線y=（ x＞0）的圖象上，
∴k=2×2=4．
（2）直線y=2x+b與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為A（?，0），B（0，b）．
∵△AOB≌△ACD，
∴CD=OB，AO=AC，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（?b，?b）．
∵點(diǎn)D在雙曲線y=（ x＞0）的圖象上，
∴k=（?b）?（?b）=b2．
即k與b的數(shù)量關(guān)系為：k=b2．
直線OD的解析式為：y=x．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查反比例函數(shù)的綜合題的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)以及反比例函數(shù)圖象的特征，此題難度不大，是一道不錯(cuò)的中考試題．
　
20．（8分）（2013?咸寧）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，OC和AB相交于點(diǎn)E，點(diǎn)D在OC的延長(zhǎng)線上，且∠B=∠D=∠BAC=30°．
（1）試判斷直線AD與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）AB=6 ，求⊙O的半徑．
考點(diǎn)：切線的判定；解直角三角形．
分析：（1）連接OA，求出∠AOC=2∠B=60°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠OAD，根據(jù)切線判定推出即可；
（2）求出∠AEC=90°，根據(jù)垂徑定理求出AE，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出AC，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)推出即可．
解答：解：（1）直線AD與⊙O相切．理由如下：
如圖，連接OA．
∵∠B=30°，
∴∠AOC=2∠B=60°，
∴∠OAD=180°?∠AOD?∠D=90°，
即OA⊥AD，
∵OA為半徑，
∴AD是⊙O的切線．
（2）∵OA=OC，∠AOC=60°，
∴△ACO是等邊三角形，
∴∠ACO=60°，AC=OA，
∴∠AEC=180°?∠EAC?∠ACE=90°，
∴OC⊥AB，
又∵OC是⊙O的半徑，
∴AE=AB= 6 =3 ，
在Rt△ACE中，sin∠ACE= =sin 60°，
∴AC=6，
∴⊙O的半徑為6．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定，含30度角的直角三角形，銳角三角函數(shù)的定義，等邊三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查了學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力．
　
21．（8分）（2013?咸寧）在對(duì)全市初中生進(jìn)行的體質(zhì)健康測(cè)試中，青少年體質(zhì)研究中心隨機(jī)抽取的10名學(xué)生的坐位體前屈的成績(jī)（單位：厘米）如下：
11.2，10.5，11.4，10.2，11.4，11.4，11.2，9.5，12.0，10.2
（1）通過(guò)計(jì)算，樣本數(shù)據(jù)（10名學(xué)生的成績(jī)）的平均數(shù)是10.9，中位數(shù)是　11.2　，眾數(shù)是　11.4　；
（2）一個(gè)學(xué)生的成績(jī)是11.3厘米，你認(rèn)為他的成績(jī)?nèi)绾�？說(shuō)明理由；
（3）研究中心確定了一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)成績(jī)，等于或大于這個(gè)成績(jī)的學(xué)生該項(xiàng)素質(zhì)被評(píng)定為“優(yōu)秀”等級(jí)，如果全市有一半左右的學(xué)生能夠達(dá)到“優(yōu)秀”等級(jí)，你認(rèn)為標(biāo)準(zhǔn)成績(jī)定為多少？說(shuō)明理由．
考點(diǎn)：用樣本估計(jì)總體；加權(quán)平均數(shù)；中位數(shù)；眾數(shù)．
分析：（1）利用中位數(shù)、眾數(shù)的定義進(jìn)行解答即可；
（2）將其成績(jī)與中位數(shù)比較即可得到答案；
（3）用中位數(shù)作為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)即可衡量是否有一半學(xué)生達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)．
解答：解：（1）中位數(shù)是11.2，眾數(shù)是11.4．
（2）方法1：根據(jù)（1）中得到的樣本數(shù)據(jù)的結(jié)論，可以估計(jì)，在這次坐位體前屈的成績(jī)測(cè)試中，全市大約有一半學(xué)生的成績(jī)大于11.2厘米，有一半學(xué)生的成績(jī)小于11.2厘米，這位學(xué)生的成績(jī)是11.3厘米，大于中位數(shù)11.2厘米，可以推測(cè)他的成績(jī)比一半以上學(xué)生的成績(jī)好．（5分）
方法2：根據(jù)（1）中得到的樣本數(shù)據(jù)的結(jié)論，可以估計(jì)，在這次坐位體前屈的成績(jī)測(cè)試中，全市學(xué)生的平均成績(jī)是10.9厘米，這位學(xué)生的成績(jī)是11.3厘米，大于平均成績(jī)10.9厘米，可以推測(cè)他的成績(jī)比全市學(xué)生的平均成績(jī)好．（5分）
（3）如果全市有一半左右的學(xué)生評(píng)定為“優(yōu)秀”等級(jí)，標(biāo)準(zhǔn)成績(jī)應(yīng)定為11.2厘米（中位數(shù)）．因?yàn)閺臉颖厩闆r看，成績(jī)?cè)?1.2厘米以上（含11.2厘米）的學(xué)生占總?cè)藬?shù)的一半左右．可以估計(jì)，如果標(biāo)準(zhǔn)成績(jī)定為11.2厘米，全市將有一半左右的學(xué)生能夠評(píng)定為“優(yōu)秀”等級(jí)．（8分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查了加權(quán)平均數(shù)、中位數(shù)及眾數(shù)的定義，屬于統(tǒng)計(jì)中的基本題型，需重點(diǎn)掌握．
22．（9分）（2013?咸寧）為鼓勵(lì)大學(xué)畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)，某市政府出臺(tái)了相關(guān)政策：由政府協(xié)調(diào)，本市企業(yè)按成本價(jià)提供產(chǎn)品給大學(xué)畢業(yè)生自主銷(xiāo)售，成本價(jià)與出廠價(jià)之間的差價(jià)由政府承擔(dān)．李明按照相關(guān)政策投資銷(xiāo)售本市生產(chǎn)的一種新型節(jié)能燈．已知這種節(jié)能燈的成本價(jià)為每件10元，出廠價(jià)為每件12元，每月銷(xiāo)售量y（件）與銷(xiāo)售單價(jià)x（元）之間的關(guān)系近似滿(mǎn)足一次函數(shù)：y=?10x+500．
（1）李明在開(kāi)始創(chuàng)業(yè)的第一個(gè)月將銷(xiāo)售單價(jià)定為20元，那么政府這個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)為多少元？
（2）設(shè)李明獲得的利潤(rùn)為w（元），當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)定為多少元時(shí)，每月可獲得最大利潤(rùn)？
（3）物價(jià)部門(mén)規(guī)定，這種節(jié)能燈的銷(xiāo)售單價(jià)不得高于25元．如果李明想要每月獲得的利潤(rùn)不低于300元，那么政府為他承擔(dān)的總差價(jià)最少為多少元？
考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用．
分析：（1）把x=20代入y=?10x+500求出銷(xiāo)售的件數(shù)，然后求出政府承擔(dān)的成本價(jià)與出廠價(jià)之間的差價(jià)；
（2）由利潤(rùn)=銷(xiāo)售價(jià)?成本價(jià)，得w=（x?10）（?10x+500），把函數(shù)轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)坐標(biāo)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大利潤(rùn)；
（3）令?10x2+600x?5000=3000，求出x的值，結(jié)合圖象求出利潤(rùn)的范圍，然后設(shè)設(shè)政府每個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)為p元，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求出總差價(jià)的最小值．
解答：解：（1）當(dāng)x=20時(shí)，y=?10x+500=?10×20+500=300，
300×（12?10）=300×2=600，
即政府這個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)為600元．
（2）依題意得，w=（x?10）（?10x+500）
=?10x2+600x?5000
=?10（x?30）2+4000
∵a=?10＜0，∴當(dāng)x=30時(shí)，w有最大值4000．
即當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)定為30元時(shí)，每月可獲得最大利潤(rùn)4000．
（3）由題意得：?10x2+600x?5000=3000，
解得：x1=20，x2=40．
∵a=?10＜0，拋物線開(kāi)口向下，
∴結(jié)合圖象可知：當(dāng)20≤x≤40時(shí)，w≥3000．
又∵x≤25，
∴當(dāng)20≤x≤25時(shí)，w≥3000．
設(shè)政府每個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)為p元，
∴p=（12?10）×（?10x+500）
=?20x+1000．
∵k=?20＜0．
∴p隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x=25時(shí)，p有最小值500．
即銷(xiāo)售單價(jià)定為25元時(shí)，政府每個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)最少為500元．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)最大值的求解，此題難度不大．
　
23．（10分）（2013?咸寧）理解：
如圖1，在四邊形ABCD的邊AB上任取一點(diǎn)E（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合），分別連接ED，EC，可以把四邊形ABCD分成三個(gè)三角形，如果其中有兩個(gè)三角形相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn)；如果這三個(gè)三角形都相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的強(qiáng)相似點(diǎn)．解決問(wèn)題：
（1）如圖1，∠A=∠B=∠DEC=55°，試判斷點(diǎn)E是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn)，并說(shuō)明理由；
（2）如圖2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格（網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1）的格點(diǎn)（即每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)）上，試在圖2中畫(huà)出矩形ABCD的邊AB上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)E；
拓展探究：
（3）如圖3，將矩形ABCD沿CM折疊，使點(diǎn)D落在AB邊上的點(diǎn)E處．若點(diǎn)E恰好是四邊形ABCM的邊AB上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)，試探究AB和BC的數(shù)量關(guān)系．
考點(diǎn)：相似形綜合題．
分析：（1）要證明點(diǎn)E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點(diǎn)，只要證明有一組三角形相似就行，很容易證明△ADE∽△BEC，所以問(wèn)題得解．
（2）根據(jù)兩個(gè)直角三角形相似得到強(qiáng)相似點(diǎn)的兩種情況即可．
（3）因?yàn)辄c(diǎn)E是梯形ABCD的AB邊上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)，所以就有相似三角形出現(xiàn)，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)線段成比例，可以判斷出AE和BE的數(shù)量關(guān)系，從而可求出解．
解答：解：（1）點(diǎn)E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn)．
理由：∵∠A=55°，
∴∠ADE+∠DEA=125°．
∵∠DEC=55°，
∴∠BEC+∠DEA=125°．
∴∠ADE=∠BEC．（2分）
∵∠A=∠B，
∴△ADE∽△BEC．
∴點(diǎn)E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點(diǎn)．
（2）作圖如下：
（3）∵點(diǎn)E是四邊形ABCM的邊AB上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)，
∴△AEM∽△BCE∽△ECM，
∴∠BCE=∠ECM=∠AEM．
由折疊可知：△ECM≌△DCM，
∴∠ECM=∠DCM，CE=CD，
∴∠BCE=∠BCD=30°，
∴BE=CE=AB．
在Rt△BCE中，tan∠BCE= =tan30°，
∴ ，
∴ ．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，梯形的性質(zhì)以及理解相似點(diǎn)和強(qiáng)相似點(diǎn)的概念等，從而可得到結(jié)論．
　
24．（12分）（2013?咸寧）如圖，已知直線y=x+1與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，將△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△COD．
（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)是　（0，3）　線段AD的長(zhǎng)等于　4��；
（2）點(diǎn)M在CD上，且CM=OM，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)G，M，求拋物線的解析式；
（3）如果點(diǎn)E在y軸上，且位于點(diǎn)C的下方，點(diǎn)F在直線AC上，那么在（2）中的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以C，E，F(xiàn)，P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)求出該菱形的周長(zhǎng)l；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．
分析：（1）首先求出圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而得出C點(diǎn)坐標(biāo)以及線段AD的長(zhǎng)；
（2）首先得出點(diǎn)M是CD的中點(diǎn)，即可得出M點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；
（3）分別根據(jù)當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)C的左邊時(shí)以及當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)C的右邊時(shí)，分析四邊形CFPE為菱形得出即可．
解答：（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0,3），線段AD的長(zhǎng)等于4；3分
（說(shuō)明：前一個(gè)空為1分，后一個(gè)空為2分）
（2）∵ ,
∴ .
∵ ,
∴ ,
∴ ,
∴點(diǎn) 是 的中點(diǎn)，4分
∴點(diǎn) 的坐標(biāo)為 .5分
（說(shuō)明：由CM＝OM得到點(diǎn)M在OC在垂直平分線上，所以點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為 ，再求出直線CD的解析式，進(jìn)而求出點(diǎn)M的坐標(biāo)也可.）
∵拋物線 經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，M，
∴ ，解得： .6分
∴拋物線 的解析式為： .7分
（3）拋物線上存在點(diǎn)P，使得以C，E，F(xiàn)，P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形. 8分
情形1：如圖1，當(dāng)點(diǎn) 在點(diǎn) 的左邊時(shí)，四邊形 為菱形.
　　　　　　∴ ,
　　　　　　由題意可知，
　　　　　　∴ ,
　　　　　　∴ ,
　　　　　　∴菱形 為正方形.
　　　　　　 過(guò)點(diǎn) 作 ,垂足為 ,
則Rt△ 為等腰直角三角形.
∴ .9分
設(shè)點(diǎn) 為（ ， ），則 , ，
∵ ,
∴3-( )= ，
解得：
∴ ，
∴菱形 的周長(zhǎng)為： .10分
情形2：如圖2，當(dāng)點(diǎn) 在點(diǎn) 的右邊時(shí)，四邊形CFPE為菱形.
　　　　　　 ∴ ， ∥ .
　　　　　　∵直線 過(guò)點(diǎn) （-3,0），點(diǎn) （0,3），
　　　　　　 ∴直線 的解析式為： .
　　　　　　過(guò)點(diǎn) 作 ，垂足為 ,
　　　　　　則Rt△CMF為等腰直角三角形, .
　　　　　　延長(zhǎng) 交x軸于點(diǎn) ,
　　　　　　 則 x軸, ∴ .11分
設(shè)點(diǎn) 為（ ， ），則點(diǎn) 為（ ， ），
∴ ， ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∴菱形 的周長(zhǎng)為：（ ） .
綜上所述，這樣的菱形存在，它的周長(zhǎng)為 或 . 12分


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