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高考要求
要使學(xué)生理解空間向量、空間點(diǎn)的坐標(biāo)的意義，掌握向量加法、減法、數(shù)乘、點(diǎn)乘的坐標(biāo)表示以及兩點(diǎn)間的距離、夾角公式 通過(guò)解題，會(huì)應(yīng)用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決立體幾何中有關(guān)平行、垂直、夾角、距離等問(wèn)題
知識(shí)點(diǎn)歸納
1 空間直角坐標(biāo)系：
（1）若空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長(zhǎng)為 ，這個(gè)基底叫單位正交基底，用 表示；
（2）在空間選定一點(diǎn) 和一個(gè)單位正交基底 ，以點(diǎn) 為原點(diǎn)，分別以 的方向?yàn)檎�方向建立三條數(shù)軸： 軸、 軸、 軸，它們都叫坐標(biāo)軸．我們稱建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系 ，點(diǎn) 叫原點(diǎn)，向量 都叫坐標(biāo)向量．通過(guò)每?jī)蓚�(gè)坐標(biāo)軸的平面叫坐標(biāo)平面，分別稱為 平面， 平面， 平面；
2．空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：
在空間直角坐標(biāo)系 中，對(duì)空間任一點(diǎn) ，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組 ，使 ，有序?qū)崝?shù)組 叫作向量 在空間直角坐標(biāo)系 中的坐標(biāo)，記作 ， 叫橫坐標(biāo)， 叫縱坐標(biāo)， 叫豎坐標(biāo)．
3．空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律：
（1）若 ， ，
則 ，
，
，
， ，
．
（2）若 ， ，則 ．
一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)
4 模長(zhǎng)公式：若 ， ，
則 ， ．
5．夾角公式： ．
6．兩點(diǎn)間的距離公式：若 ， ，
則 ，
或
題型講解
例1 已知 =（2，2，1）， =（4，5，3），求平面ABC的單位法向量
解：設(shè)面ABC的法向量 ，
則 ⊥ 且 ⊥ ，即 ? =0，且 ? =0，
即2x+2y+z=0且4x+5y+3z=0，解得
∴ =z（ ，－1，1），單位法向量 =±（ ，－ ， ）
點(diǎn)評(píng)：一般情況下求法向量用待定系數(shù)法 由于法向量沒(méi)規(guī)定長(zhǎng)度，僅規(guī)定了方向，所以有一個(gè)自由度，可把 的某個(gè)坐標(biāo)設(shè)為1，再求另兩個(gè)坐標(biāo) 平面法向量是垂直于平面的向量，故法向量的相反向量也是法向量，所以本題的單位法向量應(yīng)有兩解
例2 已知A（3，2，1）、B（1，0，4），求：
（1）線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)和長(zhǎng)度；
（2）到A、B兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)P（x，y，z）的坐標(biāo)滿足的條件
解：（1）設(shè)P（x，y，z）是AB的中點(diǎn)，
則 = （ + ）= ［（3，2，1）+（1，0，4）］=（2，1， ），∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，1， ），
dAB= =
（2）設(shè)點(diǎn)P（x，y，z）到A、B的距離相等，
則 =
化簡(jiǎn)得4x+4y－6z+3=0（線段AB的中垂面方程，其法向量的坐標(biāo)就是方程中x,y,z的系數(shù)），即為P的坐標(biāo)應(yīng)滿足的條件
點(diǎn)評(píng)：空間兩點(diǎn)P1（x1，y1，z1）、P2（x2，y2，z2）的中點(diǎn)為（ ， ， ），且P1P2=
例3 棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD?A1B1C1D1中，在棱DD1上是否存在點(diǎn)P使B1D⊥面PAC？
解：以D為原點(diǎn)建立如圖所示的坐標(biāo)系，
設(shè)存在點(diǎn)P（0，0，z），
=（－a，0，z），
=（－a，a，0），
=（a，a，a），
∵B1D⊥面PAC，∴ ? =0， ? =0
∴－a2+az=0 ∴z=a，即點(diǎn)P與D1重合
∴點(diǎn)P與D1重合時(shí)，DB1⊥面PAC
例4 在三棱錐S?ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC= ，SB=
（1）求證：SC⊥BC；
（2）求SC與AB所成角的余弦值
解法一：如圖，取A為原點(diǎn)，AB、AS分別為y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則有AC=2，BC= ，SB= ，
得B（0， ，0）、S（0，0，2 ）、C（2 ， ，0），
∴ =（2 ， ，－2 ）， =（－2 ， ，0）
（1）∵ ? =0，∴SC⊥BC
（2）設(shè)SC與AB所成的角為α，
∵ =（0， ，0）， ? =4， =4 ，
∴cosα= ，即為所求
解法二：（1）∵SA⊥面ABC，AC⊥BC，AC是斜線SC在平面ABC內(nèi)的射影，∴SC⊥BC
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD∥AB，過(guò)點(diǎn)A作AD∥BC交CD于點(diǎn)D，連結(jié)SD、SC，則∠SCD為異面直線SC與AB所成的角
∵四邊形ABCD是平行四邊形，CD= ，SA=2 ，SD= = =5，
∴在△SDC中，由余弦定理得cos∠SCD= ，即為所求
點(diǎn)評(píng)：本題（1）采用的是“定量”與“定性”兩種證法 題（2）的解法一應(yīng)用向量的數(shù)量積直接計(jì)算，避免了作輔助線、平移轉(zhuǎn)化的麻煩，但需建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；解法二雖然避免了建系，但要選點(diǎn)、平移、作輔助線、解三角形
例5 如圖，直棱柱ABC?A1B1C1的底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分別是A1B1、A1A的中點(diǎn)
（1）求 的長(zhǎng)；
（2）求cos〈 ， 〉的值；
（3）求證：A1B⊥C1M
（1）解：如圖建立坐標(biāo)系，依題意得B（0，1，0），N（1，0，1），
∴｜ ｜= =
（2）解：A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2），
∴ =（1，－1，2）， =（0，1，2），
∴ ? =3，｜ ｜= ，｜ ｜=
∴cos〈 ， 〉= =
（3）證明：∵C1（0，0，2），M（ ， ，2），
∴ =（－1，1，－2）， =（ ， ，0），
∴ ? =0，∴A1B⊥C1M
例6 如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點(diǎn)
（1）證明AD⊥D1F；
（2）求AE與D1F所成的角；
（3）證明面AED⊥面A1D1F
解：取D為原點(diǎn)，DA、DC、DD1為x軸、y軸、z軸建立直角坐標(biāo)系，取正方體棱長(zhǎng)為2，
則A（2，0，0）、A1（2，0，2）、
D1（0，0，2）、E（2，2，1）、F（0，1，0）
（1）∵ ? =（2，0，0）?（0，1，－2）=0，∴AD⊥D1F
（2）∵ ? =（0，2，1）?（0，1，－2）=0，
∴AE⊥D1F，即AE與D1F成90°角
（3）∵ ? =（2，2，1）?（0，1，－2）=0，
∴DE⊥D1F ∵AE⊥D1F，∴D1F⊥面AED
∵D1F 面A1D1F，∴面AED⊥面A1D1F
點(diǎn)評(píng)：①通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)用三維坐標(biāo)表示，向量用坐標(biāo)表示，進(jìn)行向量的運(yùn)算，輕而易舉地解決立體幾何問(wèn)題，不需要添加輔助線 一個(gè)需要經(jīng)過(guò)嚴(yán)密推理論證的問(wèn)題就這樣被簡(jiǎn)單機(jī)械的運(yùn)算代替了
②本題是高考題，標(biāo)準(zhǔn)答案的解法較為復(fù)雜，而運(yùn)用代數(shù)向量求解則輕而易舉，充分顯示出代數(shù)化方法研究幾何圖形的優(yōu)越性，這應(yīng)作為立體幾何復(fù)習(xí)的一個(gè)重點(diǎn)去掌握 通過(guò)坐標(biāo)法計(jì)算數(shù)量積去證垂直，求夾角、距離，是高考的重點(diǎn)
例7 如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的底邊長(zhǎng)為a,側(cè)棱長(zhǎng)為 a
建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，⑴寫(xiě)出A，B，A1，B1的坐標(biāo)；⑵求AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角
分析：（1）所謂“建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系”，一般應(yīng)使盡量多的點(diǎn)在數(shù)軸上或便于計(jì)算，（2）首先要找出所求的角，或找出平面的法向量與直線所成的角，然后再求之
解：（1）建系如圖，則A（0，0，0） B（0，a,0）
A1（0，0， a),C1（- a, )
(2)解法一：在所建的坐標(biāo)系中，取A1B1的中點(diǎn)M，
于是M（0， ），連結(jié)AM，MC1
則有
， ，
∴ ， ，
所以，MC1⊥平面ABB1A1
因此，AC1與AM所成的角就是AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角
， ，
,而
由cos< >= , < >=30°
解法二： ，
平面ABB1A1的一個(gè)法向量
∴AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角 的正弦為：
=
∴AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角為30°
例8 棱長(zhǎng)為2的正方體A1B1C1D1-ABCD中，E、F分別是C1C和D1A1的中點(diǎn)，（1）求EF長(zhǎng)度；（2）求< >；3）求點(diǎn)A到EF的距離
分析：一般來(lái)說(shuō)，與長(zhǎng)方體的棱或棱上的點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題，建立空間直角坐標(biāo)系比較方便，適當(dāng)建立坐標(biāo)系后，正確地寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)及向量然后進(jìn)行運(yùn)算即可得解
解：以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1分別為x軸，
y軸，z軸建立直角坐標(biāo)系，
則A（2，0，0），B（2，2，0），
E（0，2，1），F(xiàn)（1，0，2）
由此可得： =（0，2，0）， =（1，-2，1）
=（1，0，-2）， =2， = ， = - 4, =1-2=-1，
所以
（1） =
（2）cos< >= =- ,所以< >= -arccos
(3) 在 上的射影的數(shù)量 cos< >= =
A到EF的距離=
點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)到直線的距離的向量求法，就是先求出該點(diǎn)與直線上某點(diǎn)連線在直線上的射影，再用勾股定理求對(duì)應(yīng)的距離
例9 平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且 G是EF的中點(diǎn)，
（1）求證平面AGC⊥平面BGC；
（2）求GB與平面AGC所成角正弦值；
（3）求二面角B?AC?G的大小
解：如圖，以A為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），B（0，2a，0），C（0，2a，2a），
G（a，a，0），F(xiàn)（a，0，0）
（1）證明： ，
，
設(shè)平面AGC的法向量為 ，

設(shè)平面BGC的法向量為 ，

∴ 即 ∴平面AGC⊥平面BGC；
（2）由⑴知平面AGC的法向量為
，
∴
（3）因 是平面AGC的法向量，又AF⊥平面ABCD，
平面ABCD的法向量 ， 得
∴二面角B?AC?G的大小為
求平面法向量的另一種方法：
由 A（0，0，0），B（0，2a，0），C（0，2a，2a），
G（a，a，0），F(xiàn)（a，0，0）
設(shè)平面AGC的方程為：
則
∴平面AGC的法向量為
設(shè)平面BGC的方程為：
則 ∴平面BGC的法向量為
點(diǎn)評(píng)：①平面平行于哪一個(gè)軸，其法向量的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)就是0；
②平面經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)平面方程中的常數(shù)項(xiàng)等于0；
③平面法向量的兩種求法的區(qū)別
小結(jié)：
1 運(yùn)用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決幾何問(wèn)題時(shí)，首先要恰當(dāng)建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而寫(xiě)出向量的坐標(biāo)，再結(jié)合公式進(jìn)行論證、計(jì)算，最后轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論
2 本節(jié)知識(shí)是代數(shù)化方法研究幾何問(wèn)題的基礎(chǔ)，向量運(yùn)算分為向量法與坐標(biāo)法兩類，以通過(guò)向量運(yùn)算推理，去研究幾何元素的位置關(guān)系為重點(diǎn) 利用兩個(gè)向量（非零）垂直 數(shù)量積為零，可證明空間直線垂直；利用數(shù)量積可計(jì)算兩異面直線的夾角，可求線段的長(zhǎng)度；運(yùn)用共面向量定理可證點(diǎn)共面、線面平行等；利用向量的射影、平面的法向量，可求點(diǎn)面距、線面角、異面直線的距離等
學(xué)生練習(xí)
1 若 =（2x，1，3）， =（1，－2y，9），如果 與 為共線向量，則
A x=1，y=1 B x= ，y=－ C x= ，y=－ D x=－ ，y=
解析：∵ =（2x，1，3）與 =（1，－2y，9）共線，故有 = =
∴x= ，y=－ 應(yīng)選C 答案：C
2 在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P（x，y，z），下列敘述中正確的個(gè)數(shù)是①點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是P1（x，－y，z） ②點(diǎn)P關(guān)于yOz平面對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是P2（x，－y，－z） ③點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是P3（x，－y，z） ④點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是P4（－x，－y，－z）
A 3 B 2 C 1 D 0
解析：P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為P1（x，－y，－z），關(guān)于yOz平面的對(duì)稱點(diǎn)為P2（－x，y，z），關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為P3（－x，y，－z） 故①②③錯(cuò)誤 答案：C
3 已知向量 =（1，1，0）， =（－1，0，2），且k ＋ 與2 － 互相垂直，則k值是
A 1B C D
解析：k + =k（1，1，0）＋（－1，0，2）=（k－1，k，2），2 － =2（1，1，0）－（－1，0，2）=（3，2，－2）
∵兩向量垂直，∴3（k－1）＋2k－2×2=0 ∴k= 答案：D
4 設(shè)OABC是四面體，G1是△ABC的重心，G是OG1上一點(diǎn)，且OG=3GG1，若 =x +y +z ，則（x，y，z）為
A （ ， ， ） B （ ， ， ）
C （ ， ， ） D （ ， ， ）
解析：∵ = = （ + ）= + ? ［ （ + ）］= + ［（ － ）+（ － ）］= + + ，而 =x +y +z ，∴x= ，y= ，z=
答案：A
5 在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，M、N分別為A1B1和BB1的中點(diǎn)，那么直線AM與CN所成的角為
A arccos B arccos C arccos D arccos
解：建立坐標(biāo)系，把D點(diǎn)視作原點(diǎn)O，分別沿 、 、 方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向，則A（1，0，0），M（1， ，1），C（0，1，0），N（1，1， ）
∴ =（1， ，1）－（1，0，0）=（0， ，1），
=（1，1， ）－（0，1，0）=（1，0， ）
故 ? =0×1+ ×0+1× = ，
= = ， = =
∴cosα= = = ∴α=arccos 答案：D
6 已知空間三點(diǎn)A（1，1，1）、B（－1，0，4）、C（2，－2，3），則 與 的夾角θ的大小是_________
解析： =（－2，－1，3）， =（－1，3，－2），
cos〈 ， 〉= = =－ ，
∴θ=〈 ， 〉=120° 答案：120°
7 已知點(diǎn)A（1，2，1）、B（－1，3，4）、D（1，1，1），若 =2 ，則 的值是__________
解析：設(shè)點(diǎn)P（x，y，z），則由 =2 ，得
（x－1，y－2，z－1）=2（－1－x，3－y，4－z），
即
則 = = 答案：
8 設(shè)點(diǎn)C（2a+1，a+1，2）在點(diǎn)P（2，0，0）、A（1，－3，2）、B（8，－1，4）確定的平面上，求a的值
解： =（－1，－3，2）， =（6，－1，4）
根據(jù)共面向量定理，設(shè) =x +y （x、y∈R），
則（2a－1，a+1，2）=x（－1，－3，2）+y（6，－1，4）=（－x+6y，－3x－y，2x+4y），∴ 解得x=－7，y=4，a=16
另法：先求出三點(diǎn)確定的平面方程，然后代入求a的值
9 已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，P、Q分別是BC、CD上的動(dòng)點(diǎn)，且PQ= ，建立坐標(biāo)系，把D點(diǎn)視作原點(diǎn)O，分別沿 、 、 方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向，
（1）確定P、Q的位置，使得B1Q⊥D1P；
（2）當(dāng)B1Q⊥D1P時(shí)，求二面角C1?PQ?A的大小
解：（1）設(shè)BP=t，則CQ= ，DQ=2－
∴B1（2，0，2），D1（0，2，2），P（2，t，0），Q（2－ ，2，0），
∴ =（ ，－2，2）， =（－2，2－t，2）
∵B1Q⊥D1P等價(jià)于 ? =0，
即－2 －2（2－t）+2×2=0，
整理得 =t，解得t=1
此時(shí)，P、Q分別是棱BC、CD的中點(diǎn)，即P、Q分別是棱BC、CD的中點(diǎn)時(shí)，B1Q⊥D1P；
（2）二面角C1?PQ?A的大小是π－arctan2
10 已知三角形的頂點(diǎn)是A（1，－1，1），B（2，1，－1），C（－1，－1，－2） 試求這個(gè)三角形的面積
解：S = ABACsinα，其中α是AB與AC這兩條邊的夾角
則S =
= =
在本題中， =（2，1，－1）－（1，－1，1）=（1，2，－2），
=（－1，－1，－2）－（1，－1，1）=（－2，0，－3），
∴ 2=12+22+（－2）2=9，
2=（－2）2+02+（－3）2=13，
? =1?（－2）+2?0+（－2）?（－3）=－2+6=4，
∴S = =
11 證明正三棱柱的兩個(gè)側(cè)面的異面對(duì)角線互相垂直的充要條件是它的底面邊長(zhǎng)與側(cè)棱長(zhǎng)的比為 ∶1
證明：如圖，以正三棱柱的頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，棱OC、OB為y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正三棱柱底面邊長(zhǎng)與棱長(zhǎng)分別為2a、b，則A（ a，a，b）、B（0，0，b）、C（0，2a，0） 因?yàn)楫惷鎸?duì)角線OA⊥BC ? =0 （ a，a，b）?（0，2a，－b）=2a2－b2=0 b= a，即2a∶b= ∶1，所以O(shè)A⊥BC的充要條件是它的底面邊長(zhǎng)與側(cè)棱長(zhǎng)的比為 ∶1
12 如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為a的菱形，且∠BAD=60°，△PAD為正三角形，且面PAD⊥面ABCD
（1）求cos〈 ， 〉的值；
（2）若E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為PD的中點(diǎn)，求 的值；
（3）求二面角P?BC?D的大小
解：（1）選取AD中點(diǎn)O為原點(diǎn)，OB、AD、OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，－ ，0），B（ a，0，0），P（0，0， a），D（0， ，0）
∴ =（ a， ，0）， =（0， ，－ a），
則cos〈 ， 〉=
= =
（2）∵E、F分別為AB、PD的中點(diǎn)，
∴E（ a，－ ，0），F(xiàn)（0， ， a）
則 = = a
（3）∵面PAD⊥面ABCD，PO⊥AD，
∴PO⊥面ABCD
∵BO⊥AD，AD∥BC，∴BO⊥BC
連結(jié)PB，則PB⊥BC，
∴∠PBO為二面角P?BC?D的平面角
在Rt△PBO中，PO= a，BO= a，
∴tan∠PBO= = =1 則∠PBO=45°
故二面角P?BC?D的大小為45°

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