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1.5 電場強(qiáng)度與電勢(shì)差的關(guān)系 學(xué)案2（粵教版選修3-1）


1．一個(gè)電荷只在電場力作用下從電場中的A點(diǎn)移到B點(diǎn)時(shí)，電場力做了5×10－6 J的正功，那么此過程中電荷的電勢(shì)能________(填“增加”或“減少”)5×10－6 J.
2．如果把q＝1.0×10－8 C的電荷從無窮遠(yuǎn)處移至電場中的A點(diǎn)，需要克服電場力做功W＝1.2×10－4 J，規(guī)定無窮遠(yuǎn)處的電勢(shì)為零．則電荷在A點(diǎn)的電勢(shì)能是________ J，A點(diǎn)的電勢(shì)φA是________ V.
3．UAB＝φA－φB，UBA＝φB－φA，因此UAB＝________ UBA，可見電勢(shì)差可以是正值，也可以是負(fù)值．
4． 如圖1所示，把電荷量q＝＋2×10－11 C的點(diǎn)電荷由A點(diǎn)移動(dòng)到B點(diǎn)，電場力所做的功WAB＝4×10－11 J．A、B兩點(diǎn)間的電勢(shì)差UAB＝______________ V；B、A兩點(diǎn)間的電勢(shì)差UBA＝________________V．如果將電荷量q′＝－2×10－11 C的點(diǎn)電荷由B點(diǎn)移到A點(diǎn)，則電場力所做的功WBA′＝__________ ____ J.

圖1
答案　1.減少　2.1.2×10－4　1.2×104　3.－　4.2�。�2　4×10－11
5．對(duì)公式E＝Uabd的理解，下列說法正確的是(　　)
A．此公式適用于計(jì)算任何電場中a、b兩點(diǎn)間的電勢(shì)差
B．a(chǎn)點(diǎn)和b點(diǎn)距離越大，則這兩點(diǎn)的電勢(shì)差越大
C．公式中的d是指a點(diǎn)和b點(diǎn)之間的距離
D．公式中的 d是a、b兩點(diǎn)所在的兩個(gè)等勢(shì)面間的垂直距離
答案　D
解析　本題考查對(duì)電場強(qiáng)度與電勢(shì)差的關(guān)系式U＝Ed的理解．該式成立的前提條件是勻強(qiáng)電場，所以A項(xiàng)錯(cuò)；在勻強(qiáng)電場中，沿電場線方向，兩點(diǎn)間距離越大，則兩點(diǎn)間的電勢(shì)差越大，B項(xiàng)錯(cuò)；該式中，d是指兩點(diǎn)距離在電場線方向上的投影或兩點(diǎn)所在的等勢(shì)面間的距離，所以C項(xiàng)錯(cuò)，D項(xiàng)正確．

一、帶電粒子在電場中的運(yùn)動(dòng)軌跡問題
電場線是為研究電場而假想的理想模型，帶電粒子在電場中的運(yùn)動(dòng)軌跡是帶電粒子在電場力作用下的實(shí)際路線，電場力在電場線的切線方向上，電場線與等勢(shì)面垂直，且電場線由高電勢(shì)指向低電勢(shì)．粒子在電場中的運(yùn)動(dòng)軌跡由力和初速度的方向決定，既可以與電場線重合也可以與等勢(shì)面重合，一定要分清它們的區(qū)別與聯(lián)系．
方法總結(jié)　①粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡曲線必彎向合外力一側(cè)，力的方向、彎曲方向、速率方向一一對(duì)應(yīng)．
②電場線和等勢(shì)面都是假想的曲線，在電場中兩者相互垂直，且電場線由高電勢(shì)指向低電勢(shì)．
③根據(jù)電場線的方向以及疏密情況，確定場強(qiáng)及帶電性質(zhì)，定性判斷電場力(或加速度)的大小和方向．再根據(jù)電場力方向與速度方向的關(guān)系來判斷速度的變化情況和運(yùn)動(dòng)情況．
④利用電場力做功情況來判斷電勢(shì)能的變化情況，可以通過能量轉(zhuǎn)化和守恒確定電勢(shì)能及動(dòng)能的變化情況．
例1　如圖2所示，平行線代表電場線，但未標(biāo)明方向，一個(gè)帶正電、電荷量為10－6 C的粒子在電場中僅受電場力作用，當(dāng)它從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)動(dòng)能減少了10－5 J．已知A點(diǎn)的電勢(shì)為－10 V，則以下判斷正確的是(　　)

圖2
A．粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖虛線1所示
B．粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖虛線2所示
C．B點(diǎn)電勢(shì)為零
D．B點(diǎn)電勢(shì)為－20 V
解析　粒子只受到電場力，當(dāng)它從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)動(dòng)能減少了，說明它從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)電場力做了負(fù)功，所以偏轉(zhuǎn)的情況應(yīng)該如軌跡1所示，因而選項(xiàng)A正確、B錯(cuò)誤；根據(jù)電場力做功W＝qU，WAB＝－10－5 J，電勢(shì)差UAB＝WABq＝－10 V＝φA－φB，得φB＝0，故C正確、D錯(cuò)誤．
答案　AC
變式訓(xùn)練1　某靜電場中的電場線如圖3所示，帶電粒子在電場中僅受電場力作用，其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖中虛線所示，由M運(yùn)動(dòng)到N，以下說法正確的是(　　)

圖3
A．粒子必定帶負(fù)電荷
B．粒子在M點(diǎn)的加速度大于它在N點(diǎn)的加速度
C．粒子在M點(diǎn)的加速度小于它在N點(diǎn)的加速度
D．粒子在M點(diǎn)的動(dòng)能小于它在N點(diǎn)的動(dòng)能
答案　CD
解析　分析帶電粒子在電場中的運(yùn)動(dòng)軌跡問題時(shí)注意：做曲線運(yùn)動(dòng)的粒子所受合外力指向曲線凹側(cè)，另外粒子的速度方向沿軌跡的切線方向，再結(jié)合電場線、電場力的知識(shí)來分析問題．
二、勻強(qiáng)電場中電場線與等勢(shì)面的問題
在勻強(qiáng)電場中U＝E?d，d是沿電場線方向上的距離．電場中等勢(shì)面與電場線垂直，沿電場線方向上等距離的點(diǎn)之間電勢(shì)差相等．在與電場線有夾角θ(0＜θ＜90°)的直線上，等間距點(diǎn)電勢(shì)差同樣相等．
方法總結(jié)　對(duì)有關(guān)電場 線與等勢(shì)面的問題，要注意應(yīng)用電場線與等勢(shì)面垂直等結(jié)論．通過等勢(shì)面可以確定電場線的方向．在勻強(qiáng)電場中，同一直 線上等距離的點(diǎn)之間對(duì)應(yīng)的電勢(shì)差相等，這也是尋找等勢(shì)面的突破口．
例2　如圖4所示，虛線方框內(nèi)為一勻強(qiáng)電場區(qū)域，電場線與紙面平行，A、B、C為電場中的三個(gè)點(diǎn)，三點(diǎn)電勢(shì)分別為φA＝12 V，φB＝6 V，φC＝－6 V．試在方框內(nèi)作出該電場的示意圖(即畫出幾條電場線)，要保留作圖時(shí)所用的輔助線．

圖4

解析　作圖方法：①將A、C連接，并將其三等分，靠近A點(diǎn)的等分點(diǎn)D 與B點(diǎn)等電勢(shì)，φD＝φB＝6 V．② 用虛線連接B、D，BD為該電場中的等勢(shì)面(如下圖所示)．③作一簇垂直于BD、間距相等的平行線，使其方向斜向下，這些平行線即可表示所要作的勻強(qiáng)電場．

答案　見解析
變式訓(xùn)練2　 a、b、c、d是勻強(qiáng)電場中的四個(gè)點(diǎn)，它們正好是一個(gè)矩形的四個(gè)頂點(diǎn)．電場線與矩形所在平面平行．已知a點(diǎn)的電勢(shì)為20 V，b點(diǎn)的電勢(shì)為24 V，d點(diǎn)的電勢(shì)為4 V，如圖5所示，由此可知c點(diǎn)的電勢(shì)為(　　)

圖5
A．4 V B．8 V C．12 V D．24 V
答案　B
解析　解法一：沿勻強(qiáng)電場中的電場線，電勢(shì)應(yīng)均勻變化，如右圖，連接bd兩點(diǎn)，并將連線五等分，則每一

等分的兩端點(diǎn)間電勢(shì)差為4 V，則各點(diǎn)電勢(shì)如圖所示，連接a點(diǎn)與bd上20 V的點(diǎn)，連線為一條等勢(shì)線，根據(jù)勻強(qiáng)電場的等勢(shì)線相互平行的規(guī)律，過c點(diǎn)作等勢(shì)線的平行線，線上所有點(diǎn)的電勢(shì)應(yīng)與c點(diǎn)電勢(shì)相等，用幾何關(guān)系證明得：該線過電勢(shì)為8 V的點(diǎn)，故c點(diǎn)電勢(shì)為8 V.
解法二：由 公式U＝E?d可知，在勻強(qiáng)電場中相互平行的兩線段端點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的電勢(shì)差之比恰好等于兩線段長度之比．則由圖知ab∥dc，必有Uab/Udc＝ab/dc＝1/1，故(20－24) V＝(4－φc)V，則φc＝8 V.
三、電場中涉及能量(動(dòng)能)問題的應(yīng)用
處理電場中涉及能量的動(dòng)力學(xué)問題一般用動(dòng)能定理、功能關(guān)系求解．在求解電場力的功時(shí)，方法很多，一般采 取WAB＝qUAB，而且WAB＝－ΔEAB.
方法總結(jié)　動(dòng)能定理適用于各種運(yùn)動(dòng)、各種場合，與做功和能量相關(guān)的問題可先考慮使用動(dòng)能定理解決問題．
例3　如圖6所示，光滑絕緣桿豎直放置，它與以正電荷Q為圓心的某圓交于B、C兩點(diǎn)，質(zhì)量為m、電荷量為－q的有孔小球從桿上A點(diǎn)無初速下滑，已知q?Q，AB＝h，小球滑到B點(diǎn)時(shí)的速度大小為3gh.求：

圖6
(1)小球由A點(diǎn)到B點(diǎn)的過程中電場力做的功；
(2)A、C兩點(diǎn)的電勢(shì)差．
解析　因?yàn)镼是點(diǎn)電荷，所以以Q為圓 心的圓面是一個(gè)等勢(shì)面，這是一個(gè)重要的隱含條件．由A到B過程中電場力是變力，所以不能直接用W＝Fl來求解，只能考慮應(yīng)用功能關(guān)系．
(1)因?yàn)闂U是光滑的，所以小球從A到B過程中只有兩個(gè)力做功：電場力做的功WAB和重力做的功mgh.由動(dòng)能定理得WAB＋mgh＝12mv2B，代入已知條件vB＝3gh得電場力做功
WAB＝12m?3gh－mgh＝12mgh.
(2)因?yàn)锽、C在同一個(gè)等勢(shì)面上，所以φB＝φC，即UAB＝UAC.由W＝qU，得UAB＝UAC＝WAB－q＝－mgh2q.故A、C兩點(diǎn)電勢(shì)差為－mgh2q.
答案　(1)12mgh　(2)－mgh2q
變式訓(xùn)練3　靜電場中，帶電粒子在電場力作用下從電勢(shì)為φa的 a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至電勢(shì)為φb的b點(diǎn)，若 帶電粒子在a、b兩點(diǎn)的速率分別為va、vb，不計(jì)重力，則帶電粒子的比荷qm為(　　)
A.v2a－v2bφb－φa B.v2b－v2aφb－φa
C.v2a－v2b2?φb－φa? D.v2b－v2a2?φb－φa?[
答案　C
解析　帶電粒子在電場中運(yùn)動(dòng)，因不知是否為勻強(qiáng)電場，所以動(dòng)能定理比較好用．
根據(jù)動(dòng)能定理：Wab＝ΔEk列式得：q(φa－φb)＝12mv2b－12mv2a
整理得：qm＝v2b－v2a2?φa－φb?.
【即學(xué)即練】
1．一帶電粒子從電場中的A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，軌跡如圖7中虛線所示，不計(jì)粒子所受重力，則(　　)

圖7
A．粒子帶正電荷
B．粒子的加速度逐漸減小
C．A點(diǎn)的速度大于B點(diǎn)的速度
D．粒子的初速度為零
答案　BC
解析　帶電粒子所受合外力(即靜電力)指向軌跡凹側(cè)，知靜電力方向向左，粒子帶負(fù)電荷．根據(jù)電場強(qiáng)度EA＞EB，知B項(xiàng)正確；粒子從A運(yùn)動(dòng)到B受到的靜電力為阻力，C項(xiàng)正確；若粒子的初速度為零，它會(huì)在電場力作用下向左運(yùn)動(dòng)，與題中所給條件不符，故D項(xiàng)錯(cuò)誤．
2．如圖8所示，帶正電的點(diǎn)電荷固定于點(diǎn)Q，電子在庫侖力作用下，做以Q為焦點(diǎn)的橢圓運(yùn)動(dòng)，M、P、N為 橢圓上的三點(diǎn)，P點(diǎn)是軌道上離Q最近的點(diǎn)，電子在從M經(jīng)P到達(dá)N點(diǎn)的過程中(　　)

圖8
A．速率先增大后減小 B．速率先減小后增大
C．電勢(shì)能先減小后增大 D．電勢(shì)能先增大后減小
答案　ACP→P→N的過程中，電勢(shì)先升高后降低，電子在P點(diǎn)的電勢(shì)能最小，故電勢(shì)能先減小后增大，因動(dòng)能和電勢(shì)能互相轉(zhuǎn)化，故動(dòng)能先增大后減小，速率也就先增大后減小，A、C正確．對(duì)電場力做功判斷不準(zhǔn)是本題易錯(cuò)的原因．
3．圖9中實(shí)線是一簇未標(biāo)明方向的由點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場線，虛線是某一帶電粒子通過該電場區(qū)域時(shí)的運(yùn)動(dòng)軌跡，a、b是軌跡上的兩點(diǎn)，若帶電粒子在運(yùn)動(dòng)中只受電場力作用，根據(jù)此圖能判斷(　　)

圖9
A．帶電粒子所帶電荷的符號(hào)
B．帶電粒子在a、b兩點(diǎn)的受力方向
C．帶電粒子在a、b兩點(diǎn)的速度何處 較大
D．帶電粒子在a、b兩點(diǎn)的電勢(shì)何處較大
答案　BC
解析　盡管本題不涉及計(jì)算，但對(duì)我們的分析能力要求較高．由于本題中的帶電粒子沒有告訴是正還是負(fù)，似乎給分析帶來一定的難度，但從帶電粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡知必與源電荷為異種電荷，即知B正確，這也是解決本題的突破口；然后無論帶電粒子從a運(yùn)動(dòng)到b，還是從b運(yùn)動(dòng)到a，均可判斷出C正確．
4．一個(gè)帶正電的質(zhì)點(diǎn)，電荷量q＝2.0×10－9 C，在靜電場中由a點(diǎn)移到b點(diǎn)，在此過程中，除電場力外，其他力做的功為6.0×10－5 J，質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能增加了8.0×10－5 J，則a、b兩點(diǎn)間電勢(shì)差Uab為(　　)
A．3.0×104 V B．1.0×104 V
C．4.0×104 V D．7.0×104 V
答案　B
解析　根據(jù)動(dòng)能定理W總＝ΔEk， 得W電＋W外＝ΔEk，W電＝ΔEk－W外＝8.0×10－5 J－6.0×10－5 J＝2.0×10－5 J．又電勢(shì)能的改變量ΔEp在數(shù)值上等于電場力做的功，a、b兩點(diǎn)間的電勢(shì)差：φa－φb＝ΔEpq＝2.0×10－52.0×10－9 V＝1.0×104 V.

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