高考數(shù)學(xué)備考之 放縮技巧
證明數(shù)列型不等式，因其思維跨度大、構(gòu)造性強(qiáng)，需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰(zhàn)性，能全面而綜合地考查學(xué)生的潛能與后繼學(xué)習(xí)能力，因而成為高考?jí)狠S題及各級(jí)各類競(jìng)賽試題命題的極好素材。這類問題的求解策略往往是：通過(guò)多角度觀察所給數(shù)列通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，深入剖析其特征，抓住其規(guī)律進(jìn)行恰當(dāng)?shù)胤趴s；其放縮技巧主要有以下幾種：
一、裂項(xiàng)放縮
例1.(1)求 的值; (2)求證: .
解析:(1)因?yàn)?,所以
(2)因?yàn)?,所以
技巧積累:(1) (2)
(3)
例2.(1)求證:
(2)求證: (3)求證:
(4) 求證：
解析:(1)因?yàn)?,所以
(2)
(3)先運(yùn)用分式放縮法證明出 ,再結(jié)合 進(jìn)行裂項(xiàng),最后就可以得到答案
(4)首先 ,所以容易經(jīng)過(guò)裂項(xiàng)得到
再證 而由均值不等式知道這是顯然成立的，
所以
例3.求證:
解析: 一方面: 因?yàn)?,所以
另一方面:
當(dāng) 時(shí), ,當(dāng) 時(shí), ,
當(dāng) 時(shí), ,
所以綜上有
例4.(2008年全國(guó)一卷)設(shè)函數(shù) .數(shù)列 滿足 . .
設(shè) ，整數(shù) .證明: .
解析: 由數(shù)學(xué)歸納法可以證明 是遞增數(shù)列,
故 若存在正整數(shù) , 使 , 則 ,
若 ,則由 知 , ,
因?yàn)?,于是
例5.已知 ,求證: .
解析:首先可以證明:
所以要證
只要證:
故只要證 ,
即等價(jià)于 ,
即等價(jià)于 而正是成立的,所以原命題成立.
例6.已知 , ,求證: .
解析:
所以
從而
例7.已知 , ,求證:
證明: ,
因?yàn)?,所以
所以
二、函數(shù)放縮
例8.求證： .
解析:先構(gòu)造函數(shù)有 ,從而
cause
所以
例9.求證:(1)
解析:構(gòu)造函數(shù) ,得到 ,再進(jìn)行裂項(xiàng) ,求和后可以得到答案
函數(shù)構(gòu)造形式: ,
例10.求證:
解析:提示:
函數(shù)構(gòu)造形式:
當(dāng)然本題的證明還可以運(yùn)用積分放縮
如圖,取函數(shù) ,
首先: ,從而,
取 有, ,
所以有 , ,…, , ,相加后可以得到:
另一方面 ,從而有
取 有, ,
所以有 ,所以綜上有
例11.求證: 和 .解析:構(gòu)造函數(shù)后即可證明
例12.求證: 解析: ,疊加之后就可以得到答案
函數(shù)構(gòu)造形式: (加強(qiáng)命題)
例13.證明:
解析:構(gòu)造函數(shù) ,求導(dǎo),可以得到:
,令 有 ,令 有 ,
所以 ,所以 ,令 有,
所以 ,所以
例14. 已知 證明 .
解析: ,
然后兩邊取自然對(duì)數(shù),可以得到
然后運(yùn)用 和裂項(xiàng)可以得到答案)
放縮思路：
。于是 ，
即
注：題目所給條 （ ）為一有用結(jié)論，可以起到提醒思路與探索放縮方向的作用；當(dāng)然，本題還可用結(jié)論 放縮：
，
即
例16.(2008年福州市質(zhì)檢)已知函數(shù) 若
解析:設(shè)函數(shù)
∴函數(shù) ）上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減.∴ 的最小值為 ，即總有
而
即
令 則
例15.(2008年廈門市質(zhì)檢) 已知函數(shù) 是在 上處處可導(dǎo)的函數(shù),若 在 上恒成立.
(I)求證：函數(shù) 上是增函數(shù)； (II)當(dāng) ；
(III)已知不等式 時(shí)恒成立，
求證：
解析:(I) ,所以函數(shù) 上是增函數(shù)
(II)因?yàn)?上是增函數(shù),所以
兩式相加后可以得到
(3)
……
相加后可以得到:
所以
令 ,有
所以
(方法二)
所以
又 ,所以
三、分式放縮
姐妹不等式: 和
記憶口訣”小者小,大者大”
解釋:看b,若b小,則不等號(hào)是小于號(hào),反之.
例19. 姐妹不等式: 和
也可以表示成為
和
解析: 利用假分?jǐn)?shù)的一個(gè)性質(zhì) 可得
即
例20.證明:
解析: 運(yùn)用兩次次分式放縮:
(加1)
(加2)
相乘,可以得到:
所以有
四、分類放縮
例21.求證:
解析:
例22.(2004年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試改編) 在平面直角坐標(biāo)系 中, 軸正半軸上的點(diǎn)列 與曲線 （ ≥0）上的點(diǎn)列 滿足 ，直線 在x軸上的截距為 .點(diǎn) 的橫坐標(biāo)為 , .
(1)證明 > >4， ; (2)證明有 ，使得對(duì) 都有 < .
解析:(1) 依題設(shè)有： ，由 得：
,又直線 在 軸上的截距為 滿足
顯然，對(duì)于 ，有
(2)證明：設(shè) ，則
設(shè) ，則當(dāng) 時(shí)，
。
所以，取 ，對(duì) 都有：
故有 < 成立。
例23.(2007年泉州市高三質(zhì)檢) 已知函數(shù) ，若 的定義域?yàn)閇－1，0]，值域也為[－1，0].若數(shù)列 滿足 ，記數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，問是否存在正常數(shù)A，使得對(duì)于任意正整數(shù) 都有 ？并證明你的結(jié)論。
解析:首先求出 ,∵
∴ ,∵ , ,…
,故當(dāng) 時(shí), ,
因此，對(duì)任何常數(shù)A，設(shè) 是不小于A的最小正整數(shù)，
則當(dāng) 時(shí),必有 .
故不存在常數(shù)A使 對(duì)所有 的正整數(shù)恒成立.
例24.(2008年中學(xué)教學(xué)參考)設(shè)不等式組 表示的平面區(qū)域?yàn)?,
設(shè) 內(nèi)整數(shù)坐標(biāo)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 .設(shè) , 當(dāng) 時(shí),求證: .
解析:容易得到 ,所以,要證 只要證 ,因?yàn)?,所以原命題得證
五、迭代放縮
例25. 已知 ,求證:當(dāng) 時(shí),
解析:通過(guò)迭代的方法得到 ,然后相加就可以得到結(jié)論
例26. 設(shè) ,求證:對(duì)任意的正整數(shù)k,若k≥n恒有:Sn+k－Sn<1n
解析:
又 所以
六、借助數(shù)列遞推關(guān)系
例27.求證:
解析: 設(shè) 則
,從而
,相加后就可以得到
所以
例28. 求證:
解析: 設(shè) 則
,從而
,相加后就可以得到
例29. 若 ,求證:
解析:
所以就有
七、分類討論
例30.已知數(shù)列 的前 項(xiàng)和 滿足 證明：對(duì)任意的整數(shù) ，有
解析:容易得到 ,
由于通項(xiàng)中含有 ，很難直接放縮，考慮分項(xiàng)討論：
當(dāng) 且 為奇數(shù)時(shí)
（減項(xiàng)放縮），于是
①當(dāng) 且 為偶數(shù)時(shí)
②當(dāng) 且 為奇數(shù)時(shí) （添項(xiàng)放縮）由①知 由①②得證。
八、線性規(guī)劃型放縮
例31. 設(shè)函數(shù) .若對(duì)一切 ， ，求 的最大值。
解析:由 知 即
由此再由 的單調(diào)性可以知道 的最小值為 ，最大值為
因此對(duì)一切 ， 的充要條是， 即 ， 滿足約束條 ，
由線性規(guī)劃得， 的最大值為5．
九、均值不等式放縮
例32.設(shè) 求證
解析: 此數(shù)列的通項(xiàng)為
， ，
即
注：①應(yīng)注意把握放縮的“度”：上述不等式右邊放縮用的是均值不等式 ，若放成 則得 ，就放過(guò)“度”了！
②根據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)特征選取所需要的重要不等式，這里
其中， 等的各式及其變式公式均可供選用。
例33.已知函數(shù) ，若 ，且 在[0，1]上的最小值為 ，求證：
解析:
例34.已知 為正數(shù)，且 ，試證：對(duì)每一個(gè) ， .
解析: 由 得 ，又 ，故 ，而 ，
令 ，則 = ，因?yàn)?，倒序相加得 = ，
而 ，
則 = ，所以 ，即對(duì)每一個(gè) ， .
例35.求證
解析: 不等式左 = ，
原結(jié)論成立.
例36.已知 ,求證:
解析:
經(jīng)過(guò)倒序相乘,就可以得到
例37.已知 ,求證:
解析:
其中: ,因?yàn)?
所以
從而 ,所以 .
例38.若 ,求證: .
解析:
因?yàn)楫?dāng) 時(shí), ,所以 ,所以 ,當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取到等號(hào).
所以
所以 所以
例39.已知 ,求證: .
解析: .
例40.已知函數(shù)f(x)=x2－(－1)k•2lnx(k∈N*).k是奇數(shù), n∈N*時(shí),
求證: [f’(x)]n－2n－1•f’(xn)≥2n(2n－2).
解析: 由已知得 ，
(1)當(dāng)n=1時(shí)，左式= 右式=0.∴不等式成立.
(2) , 左式=
令
由倒序相加法得：
，
所以
所以 綜上，當(dāng)k是奇數(shù)， 時(shí)，命題成立
例41. （2007年?yáng)|北三校）已知函數(shù)
（1）求函數(shù) 的最小值，并求最小值小于0時(shí)的 取值范圍；
（2）令 求證：
★例42. (2008年江西高考試題)已知函數(shù) , .對(duì)任意正數(shù) ,證明： ．
解析:對(duì)任意給定的 , ,由 ,
若令 ，則 ① ,而 ②
（一）、先證 ；因?yàn)?， ， ，
又由 ，得 ．
所以
．
（二）、再證 ；由①、②式中關(guān)于 的對(duì)稱性，不妨設(shè) ．則
（?）、當(dāng) ，則 ，所以 ，因?yàn)?，
，此時(shí) ．
（?）、當(dāng) ③，由①得 , ， ，
因?yàn)?所以 ④
同理得 ⑤ ，于是 ⑥
今證明 ⑦, 因?yàn)?，
只要證 ，即 ，也即 ，據(jù)③，此為顯然．
因此⑦得證．故由⑥得 ．
綜上所述，對(duì)任何正數(shù) ，皆有 ．
例43.求證:
解析:一方面:
(法二)
另一方面:
十、二項(xiàng)放縮
, ,
例44. 已知 證明
解析:
，
即
45.設(shè) ，求證：數(shù)列 單調(diào)遞增且
解析: 引入一個(gè)結(jié)論：若 則 （證略）
整理上式得 （ ）
以 代入（ ）式得
即 單調(diào)遞增。
以 代入（ ）式得
此式對(duì)一切正整數(shù) 都成立，即對(duì)一切偶數(shù)有 ，又因?yàn)閿?shù)列 單調(diào)遞增，所以對(duì)一切正整數(shù) 有 。
注：①上述不等式可加強(qiáng)為 簡(jiǎn)證如下：
利用二項(xiàng)展開式進(jìn)行部分放縮：
只取前兩項(xiàng)有 對(duì)通項(xiàng)作如下放縮：
故有
②上述數(shù)列 的極限存在，為無(wú)理數(shù) ；同時(shí)是下述試題的背景：已知 是正整數(shù)，且 （1）證明 ；（2）證明 （01年全國(guó)卷理科第20題）
簡(jiǎn)析 對(duì)第（2）問：用 代替 得數(shù)列 是遞減數(shù)列；借鑒此結(jié)論可有如下簡(jiǎn)捷證法：數(shù)列 遞減，且 故 即 。
當(dāng)然，本題每小題的證明方法都有10多種,如使用上述例5所提供的假分?jǐn)?shù)性質(zhì)、貝努力不等式、甚至構(gòu)造“分房問題”概率模型、構(gòu)造函數(shù)等都可以給出非常漂亮的解決！詳見[1]。
例46.已知a+b=1,a>0,b>0,求證：
解析: 因?yàn)閍+b=1,a>0,b>0,可認(rèn)為 成等差數(shù)列，設(shè) ，
從而
例47.設(shè) ，求證 .
解析: 觀察 的結(jié)構(gòu)，注意到 ，展開得
，即 ，得證.
例48.求證: . 解析:參見上面的方法,希望讀者自己嘗試!)
例42.(2008年北京海淀5月練習(xí)) 已知函數(shù) ，滿足：
①對(duì)任意 ，都有 ；
②對(duì)任意 都有 .
（I）試證明： 為 上的單調(diào)增函數(shù)；
（II）求 ；
（III）令 ，試證明：.
解析:本題的亮點(diǎn)很多,是一道考查能力的好題.
(1)運(yùn)用抽象函數(shù)的性質(zhì)判斷單調(diào)性:
因?yàn)?,所以可以得到 ,
也就是 ,不妨設(shè) ,所以,可以得到 ,也就是說(shuō) 為 上的單調(diào)增函數(shù).
(2)此問的難度較大,要完全解決出需要一定的能力!
首先我們發(fā)現(xiàn)條不是很足,,嘗試探索看看按(1)中的不等式可以不可以得到什么結(jié)論,一發(fā)現(xiàn)就有思路了!
由(1)可知 ,令 ,則可以得到
,又 ,所以由不等式可以得到 ,又
,所以可以得到 ①
接下要運(yùn)用迭代的思想:
因?yàn)?,所以 , , ②
, , ,
在此比較有技巧的方法就是:
,所以可以判斷 ③
當(dāng)然,在這里可能不容易一下子發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)論,所以還可以列項(xiàng)的方法,把所有項(xiàng)數(shù)盡可能地列出,然后就可以得到結(jié)論.
所以,綜合①②③有 =
(3)在解決 的通項(xiàng)公式時(shí)也會(huì)遇到困難.
,所以數(shù)列 的方程為 ,從而 ,
一方面 ,另一方面
所以 ,所以,綜上有
.
例49. 已知函數(shù)fx的定義域?yàn)閇0,1]，且滿足下列條：
① 對(duì)于任意 [0,1]，總有 ，且 ；② 若 則有
（Ⅰ）求f0的值；（Ⅱ）求證：fx≤4；
（Ⅲ）當(dāng) 時(shí)，試證明： .
解析: （Ⅰ）解：令 ，由①對(duì)于任意 [0,1]，總有 ， ∴
又由②得 即 ∴
（Ⅱ）解：任取 且設(shè) 則
因?yàn)?，所以 ，即 ∴ .
∴當(dāng) [0,1]時(shí)， .
（Ⅲ）證明：先用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（1）當(dāng)n=1時(shí)， ，不等式成立；
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，
由
得
即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立
由（1）、（2）可知，不等式 對(duì)一切正整數(shù)都成立.
于是，當(dāng) 時(shí)， ，
而 [0,1]， 單調(diào)遞增 ∴ 所以，
例50. 已知： 求證：
解析:構(gòu)造對(duì)偶式：令
則 ＝
又 （
十一、積分放縮
利用定積分的保號(hào)性比大小
保號(hào)性是指，定義在 上的可積函數(shù) ，則 .
例51.求證： .
解析: ，∵ ，
時(shí)， ， ， ∴ ， .
利用定積分估計(jì)和式的上下界
定積分產(chǎn)生和應(yīng)用的一個(gè)主要背景是計(jì)算曲邊梯形的面積，現(xiàn)在用它估計(jì)小矩形的面積和.
例52. 求證： ， .
解析: 考慮函數(shù) 在區(qū)間 上的定積分.
如圖，顯然 -①
對(duì) 求和，
.
例53. 已知 .求證： .
解析:考慮函數(shù) 在區(qū)間 上的定積分.
∵ -②
∴ .
例54. （2003年全國(guó)高考江蘇卷）設(shè) ，如圖，已知直線 及曲線 ： ， 上的點(diǎn) 的橫坐標(biāo)為 （ ）.從 上的點(diǎn) 作直線平行于 軸，交直線 于點(diǎn) ，再?gòu)狞c(diǎn) 作直線平行于 軸，交曲線 于點(diǎn) . 的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列 .
（Ⅰ）試求 與 的關(guān)系，并求 的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）當(dāng) 時(shí)，證明 ；
（Ⅲ）當(dāng) 時(shí)，證明 .
解析: （過(guò)程略）.
證明（II）：由 知 ，∵ ，∴ .
∵當(dāng) 時(shí)， ，
∴ .
證明（Ⅲ）：由 知 .
∴ 恰表示陰影部分面積，
顯然 ④
∴ .
奇巧積累: 將定積分構(gòu)建的不等式略加改造即得“初等”證明，如：
① ；
② ；
③ ；
④ .
十二、部分放縮(尾式放縮)
例55.求證:
解析:
例56. 設(shè) 求證：
解析:
又 （只將其中一個(gè) 變成 ，進(jìn)行部分放縮）， ，
于是
例57.設(shè)數(shù)列 滿足 ，當(dāng) 時(shí)
證明對(duì)所有 有 ；
解析: 用數(shù)學(xué)歸納法：當(dāng) 時(shí)顯然成立，假設(shè)當(dāng) 時(shí)成立即 ，則當(dāng) 時(shí)
，成立。
利用上述部分放縮的結(jié)論 放縮通項(xiàng)，可得
注：上述證明 用到部分放縮，當(dāng)然根據(jù)不等式的性質(zhì)也可以整體放縮： ；證明 就直接使用了部分放縮的結(jié)論
十三、三角不等式的放縮
例58.求證: .
解析:(i)當(dāng) 時(shí),
(ii)當(dāng) 時(shí),構(gòu)造單位圓,如圖所示:
因?yàn)槿切蜛OB的面積小于扇形OAB的面積
所以可以得到
當(dāng) 時(shí)
所以當(dāng) 時(shí) 有
(iii)當(dāng) 時(shí), ,由(ii)可知:
所以綜上有
十四、使用加強(qiáng)命題法證明不等式
(i)同側(cè)加強(qiáng)
對(duì)所證不等式的同一方向(可以是左側(cè),也可以是右側(cè))進(jìn)行加強(qiáng).如要證明 ,只要證明 ,其中 通過(guò)尋找分析,歸納完成.
例59.求證:對(duì)一切 ,都有 .
解析:
從而
當(dāng)然本題還可以使用其他方法,如:
所以 .
(ii)異側(cè)加強(qiáng)(數(shù)學(xué)歸納法)
(iii)雙向加強(qiáng)
有些不等式,往往是某個(gè)一般性命題的特殊情況,這時(shí),不妨”返璞歸真”,通過(guò)雙向加強(qiáng)還原其本面目,從而順利解決原不等式.其基本原理為:
欲證明 ,只要證明: .
例60.已知數(shù)列 滿足: ,求證:
解析: ,從而 ,所以有
,所以
又 ,所以 ,所以有
所以
所以綜上有
引申:已知數(shù)列 滿足: ,求證: .
解析:由上可知 ,又 ,所以
從而
又當(dāng) 時(shí), ,所以綜上有 .
同題引申: (2008年浙江高考試題)已知數(shù)列 , , , .
記 , .求證:當(dāng) 時(shí).
(1) ; (2) ; ★(3) .
解析:(1) ,猜想 ,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:
(i)當(dāng) 時(shí), ,結(jié)論成立;
(ii)假設(shè)當(dāng) 時(shí), ,則 時(shí),
從而 ,所以
所以綜上有 ,故
(2)因?yàn)?則 , ,…, ,相加后可以得到: ,所以
,所以
(3)因?yàn)?,從而 ,有 ,所以有
,從而
,所以
,所以
所以綜上有 .
例61.(2008年陜西省高考試題)已知數(shù)列 的首項(xiàng) , , ．
(1)證明:對(duì)任意的 , , ;
(2)證明: .
解析:(1)依題,容易得到 ,要證 , , ,
即證
即證 ,設(shè) 所以即證明
從而 ,即 ,這是顯然成立的.
所以綜上有對(duì)任意的 , ,
(法二)
, 原不等式成立．
(2)由(1)知，對(duì)任意的 ，有
．
取 ，
則 ．
原不等式成立．
十四、經(jīng)典題目方法探究
探究1.(2008年福建省高考)已知函數(shù) .若 在區(qū)間 上的最小值為 ,
令 .求證: .
證明:首先:可以得到 .先證明
(方法一) 所以
(方法二)因?yàn)?,相乘得:
,從而 .
(方法三)設(shè)A= ,B= ,因?yàn)锳<B,所以A2<AB,
所以 , 從而 .
下面介紹幾種方法證明
(方法一)因?yàn)?,所以 ,所以有
(方法二) ,因?yàn)?,所以
令 ,可以得到 ,所以有
(方法三)設(shè) 所以 ,
從而 ,從而
又 ,所以
(方法四)運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明:
(i)當(dāng) 時(shí),左邊= ,右邊= 顯然不等式成立;
(ii)假設(shè) 時(shí), ,則 時(shí), ,
所以要證明 ,只要證明 ,這是成立的.
這就是說(shuō)當(dāng) 時(shí),不等式也成立,所以,綜上有
探究2.(2008年全國(guó)二卷)設(shè)函數(shù) .如果對(duì)任何 ，都有 ，求 的取值范圍．
解析:因?yàn)?,所以
設(shè) ,則 ,
因?yàn)?,所以
(i)當(dāng) 時(shí), 恒成立,即 ,所以當(dāng) 時(shí), 恒成立.
(ii)當(dāng) 時(shí), ,因此當(dāng) 時(shí),不符合題意.
(iii)當(dāng) 時(shí),令 ，則 故當(dāng) 時(shí), .
因此 在 上單調(diào)增加.故當(dāng) 時(shí), ,
即 .于是，當(dāng) 時(shí)，
所以綜上有 的取值范圍是
變式：若 ,其中
且 , ,求證:
.
證明：容易得到
由上面那個(gè)題目知道
就可以知道
★同型衍變:(2006年全國(guó)一卷)已知函數(shù) .若對(duì)任意 x∈(0,1) 恒有 f (x) >1, 求 a的取值范圍.
解析:函數(shù)f (x)的定義域?yàn)?-∞, 1)∪(1, +∞), 導(dǎo)數(shù)為 .
(?) 當(dāng)0< a≤2時(shí), f (x) 在區(qū)間 (-∞, 1) 為增函數(shù), 故對(duì)于任意x∈(0, 1) 恒有 f (x) > f (0) =1, 因而這時(shí)a滿足要求.
(?) 當(dāng)a>2時(shí), f (x) 在區(qū)間 (- , )為減函數(shù), 故在區(qū)間(0, ) 內(nèi)任取一點(diǎn), 比如取 , 就有 x0∈(0, 1) 且 f (x0) < f (0) =1, 因而這時(shí)a不滿足要求.
(?) 當(dāng)a≤0時(shí), 對(duì)于任意x∈(0, 1) 恒有
≥ , 這時(shí)a滿足要求.
綜上可知, 所求 a的取值范圍為 a≤2.
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