第二節(jié) 推理與證明
【高考目標(biāo)導(dǎo)航】
一、合情推理與演繹推理
1、考綱點(diǎn)擊
（1）了解合情推理的含義，能利用歸納和類(lèi)比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理，了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用；
（2）了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡(jiǎn)單推理；
（3）了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異。
2、熱點(diǎn)提示
（1）歸納推理與數(shù)列相結(jié)合問(wèn)題是考查重點(diǎn)；
（2）類(lèi)比推理、演繹推理是重點(diǎn)，也是難點(diǎn)；
（3）以選擇題、填空題的形式考查合情推理；考查演繹推理的各種題型都有，難度不大，多以中低檔題為主。
二、直接證明與間接證明
1、考綱點(diǎn)擊
（1）了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn)；
（2）了解間接證明的一種基本方法——反證法，了解反證法的思考過(guò)程、特點(diǎn)；
2、熱點(diǎn)提示
（1）本考點(diǎn)在歷年高考中均有體現(xiàn)，主要以考查直接證明中的綜合法為主；
（2）分析法的思想應(yīng)用廣泛，反證法僅作為客觀題的判官方法，一般不會(huì)單獨(dú)命題；
（3）題型以解答題為主，主要在與其他知識(shí)點(diǎn)交匯處命題。
三、數(shù)學(xué)歸納法
1、考綱點(diǎn)擊
（1）了解數(shù)學(xué)歸納法的原理；
（2）能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題。
2、熱點(diǎn)提示
（1）歸納——猜想——證明仍是高考重點(diǎn)；
（2）常與函數(shù)、數(shù)列、不等式等知識(shí)結(jié)合，在知識(shí)的交匯處命題是熱點(diǎn)；
（3）題型以解答題為主，難度中等偏上。
【考綱知識(shí)梳理】
一、合情推理與演繹推理
注：歸納推理和類(lèi)比推理的特點(diǎn)與區(qū)別：類(lèi)比推理和歸納推理的結(jié)論都是有待于證明的。歸納推理是由特殊到一般的推理，類(lèi)比推理是由特殊到特殊的推理。
二、直接證明與間接證明
1、直接證明
注：分析法的特點(diǎn)是：從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理，實(shí)際上尋求它的充分條件；綜合法的特點(diǎn)是：從“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，實(shí)際上是尋找它的必要條件。分析法與綜合法各有其特點(diǎn)，有些具體的待證命題，用分析法或綜合法均能證明出來(lái)，往往選擇較簡(jiǎn)單的一種。
2、間接證明
反證法：假設(shè)原命題不成立（即在原命題的條件下，結(jié)論不成立），經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出矛盾，因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫反證法。
三、數(shù)學(xué)歸納法
數(shù)學(xué)歸納證題的步驟：
（1）證明當(dāng)n取第一值 時(shí)命題成立：
（2）假設(shè)n=k(k≥ ,k∈ )時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立。
只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從 開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立。
注：1、第一個(gè)值 是否一定為1呢？不一定，要看題目中n的要求，如當(dāng)n≥3時(shí)，則第一個(gè)值 應(yīng)該為3。
2、數(shù)學(xué)歸納法兩個(gè)步驟有何關(guān)系？數(shù)學(xué)歸納法中兩個(gè)步驟體現(xiàn)了遞推思想，第一步是遞推基礎(chǔ)，也叫歸納奠基，第二步是遞推的依據(jù)，也叫歸納遞推。兩者缺一不可。
【要點(diǎn)名師透析】
一、合情推理與演繹推理
（一）歸納推理
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1、歸納推理的特點(diǎn)：
（1）歸納是依據(jù)特殊現(xiàn)象推斷出一般現(xiàn)象，因而由歸納所得的結(jié)論超越了前提所包含的范圍；
（2）歸納的前提是特殊的情況，所以歸納是立足于觀察、經(jīng)驗(yàn)或試驗(yàn)的基礎(chǔ)之上的。
2、歸納推理的一般步驟：
（1）通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同本質(zhì)；
（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般性命題。
注：歸納推理所得結(jié)論未必正確，有待進(jìn)一步證明。
※例題解析※
〖例〗設(shè) ，先分別求 ，然后歸納猜想一般性結(jié)論，并給出證明。
思路解析：由f(x) 計(jì)算各和式 得出結(jié)論 歸納猜想 證明
解答： ，同理可得： 。
證明：設(shè)
（二）類(lèi)比推理
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1、類(lèi)比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步驟是：
（1）找出兩類(lèi)事物之間的相似性或一致性；
（2）用一類(lèi)事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類(lèi)事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（猜想）。
2、類(lèi)比是科學(xué)研究最普遍的方法之一。在數(shù)學(xué)中，類(lèi)比是發(fā)現(xiàn)概念、方法、定理和公式的重要手段，也是開(kāi)拓新領(lǐng)域和創(chuàng)造新分支的重要手段。類(lèi)比在數(shù)學(xué)中應(yīng)用廣泛。數(shù)與式、平面與空間、一元與多元、低次與高次、相等與不等、有限與無(wú)限之間有不少結(jié)論，都是先用類(lèi)比法猜想，而后加以證明的。
注：類(lèi)比推理推得的結(jié)論不一定正確，其正確性，有待進(jìn)一步證明。
※例題解析※
〖例1〗請(qǐng)用類(lèi)比推理完成下表：
平面空間
三角形兩邊之和大于第三邊三棱錐任意三個(gè)面的面積之和大于第四個(gè)面的面積
三角形的面積等于任意一邊的長(zhǎng)度與這邊上高的乘積的一半三棱錐的體積等于任意一個(gè)面的面積與該面上的高的乘積的三分之一
三角形的面積等于其內(nèi)切圓半徑與三角形周長(zhǎng)的乘積的一半
思路點(diǎn)撥：由表格一、二兩個(gè)問(wèn)題的類(lèi)比可知，線(xiàn)對(duì)面，長(zhǎng)度對(duì)面積，從而內(nèi)切圓應(yīng)相對(duì)內(nèi)切球，從而可解。
解答：本題由已知前兩組類(lèi)比可得到如下信息：①平面中的三角形與空間中的三棱錐是類(lèi)比對(duì)象；②三角形各邊的邊長(zhǎng)與三棱錐的各面的面積是類(lèi)比對(duì)象；③三角形邊上的高與三棱錐面上的高是類(lèi)比對(duì)象；④三角形的面積與三棱錐的體積是類(lèi)比對(duì)象；⑤三角形的面積公式中的“二分之一”，與三棱錐的體積公式中的“三分之一”是類(lèi)比對(duì)象。
由以上分析可知：
故第三行空格應(yīng)填：三棱錐的體積等于其內(nèi)切球半徑與三棱錐表面積的乘積的三分之一。（本題結(jié)論可用等體積法，將三棱錐分割成四個(gè)小三棱錐去證明，此處略）
〖例2〗平面內(nèi)的一個(gè)四邊形為平行四邊形的充要條件有多個(gè)，如兩組對(duì)邊分別平行。類(lèi)似地，寫(xiě)出空間中的一個(gè)四棱錐為平行六面體的兩個(gè)充要條件：
充要條件①：
充要條件②：
解答：兩組對(duì)邊分別平行類(lèi)比可得三組對(duì)面分別平行。一組對(duì)邊平行且相等類(lèi)比可得兩組對(duì)面分別平行且全等。
答案：①三組對(duì)面分別平行；②兩組對(duì)面分別平行且全等。
注：類(lèi)比推理是根據(jù)兩個(gè)對(duì)象有一部分屬性類(lèi)似，推出這兩個(gè)對(duì)象其他屬性亦類(lèi)似的一種推理方法。例如分式與分?jǐn)?shù)類(lèi)比、平面幾何與立體幾何的某些對(duì)象類(lèi)比等。當(dāng)然類(lèi)比時(shí)有能出現(xiàn)錯(cuò)誤，如：在平面內(nèi)，直線(xiàn)a、b、c，若a⊥b,b⊥c，則a∥c；在空間，三個(gè)平面α、β、Υ，若α⊥β,β⊥Υ，但α與Υ之間可能平行，也可能相交。
（三）演繹推理
〖例1〗（1）證明函數(shù) 在 上是增函數(shù)；
（2）當(dāng) 時(shí)， 是增函數(shù)還是減函數(shù)？
思路解析：（1）證明本題的大前提是增函數(shù)的定義，即增函數(shù) 滿(mǎn)足：在給定區(qū)間內(nèi)任取自變量的兩個(gè)值 且 ， ，小前提是函數(shù) ，x∈ ，結(jié)論滿(mǎn)足增函數(shù)定義。
（1）關(guān)鍵是看 與 的增區(qū)間或減區(qū)間的關(guān)系。
解答：（1）方法一：任取 ∈ ，
則
于是，根據(jù)“三段論”可知，
在 上是增函數(shù)；
方法二：
（2）∵ ，而 是區(qū)間 的子區(qū)間，∴ 在 上是增函數(shù)。
注：三段論推理的依據(jù)用集合論的觀點(diǎn)來(lái)講就是：若集合M的所有元素都具體性質(zhì)P，S是M的子集，那么S所有元素都具體性質(zhì)P。三段論推理中包含三個(gè)原理；第二個(gè)判斷叫小前提，它指出了一個(gè)特殊情況；這兩個(gè)判斷聯(lián)合起來(lái)，揭示了一般原理和特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系，從而產(chǎn)生了第三個(gè)判斷：結(jié)論。
〖例2〗用三段論的形式寫(xiě)出下列演繹推理。
（1）若兩角是對(duì)頂角，則該兩角相等，所以若兩角不相等，則該兩角不是對(duì)頂角；
（2）矩形的對(duì)角線(xiàn)相等，正方形的是矩形，所以正方形的對(duì)角線(xiàn)相等；
（3） 是有理數(shù)；
（4）y=sinx(x∈R)是周期函數(shù)。
解答：（1）兩個(gè)角是對(duì)頂角，則兩角相等，…………………………………………大前提
∠1和∠2不相等………………………………………………………………………小前提
∠1和∠2不是對(duì)頂角……………………………………………………………………結(jié)論
（2）每個(gè)矩形的對(duì)角線(xiàn)相等………………………………………………………大前提
正方形是矩形…………………………………………………………………………小前提
正方形的對(duì)角線(xiàn)相等……………………………………………………………………結(jié)論
（3）所有的循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，………………………………………………………大前提
是循環(huán)小數(shù)，……………………………………………………………………小前提
所以 是有理數(shù)……………………………………………………………………結(jié)論
（4）三角函數(shù)是周期函數(shù)，…………………………………………………………大前提
y=sinx是三角函數(shù)，……………………………………………………………………小前提
y=sinx是周期函數(shù)…………………………………………………………………………結(jié)論
二、直接證明與間接證明
（一）綜合法證明不等式
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1、綜合法是“由因?qū)Ч�，它是從已知條件出發(fā)，順著推證，經(jīng)過(guò)一系列的中間推理，最后導(dǎo)出所證結(jié)論的真實(shí)性。用綜合法證明題的邏輯關(guān)系是： （A為已知條件或數(shù)學(xué)定義、定理、公理等，B為要證結(jié)論），它的常見(jiàn)書(shū)面表達(dá)是“∵，∴”或“ ”；
2、綜合法是中學(xué)數(shù)學(xué)證明中常用方法，其邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理方法。
※例題解析※
〖例〗已知x+y+z=1，求證 .
思路點(diǎn)撥：利用 ，同時(shí)變形利用x+y+z=1，從而（x+y+z）2=1可證。
解答：
（二）分析法證明不等式
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1、分析法也是中學(xué)數(shù)學(xué)證明問(wèn)題的常用方法，其主要過(guò)程是從結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使結(jié)論成立的充分條件；
2、分析法是“執(zhí)果索因”，它是從要證的結(jié)論出發(fā)，倒著分析，逐漸地靠近已知事實(shí)。
用分析法證“若P則Q”這個(gè)命題的模式是：
為了證明命題 為真，從而有……
這只需證明命題 為真，從而有……
這只需證明命題 為真，從而有……
……
這只需證明命題P為真。
而已知P為真，故Q必為真。
注：用分析法證題時(shí)，一定要嚴(yán)格按格式書(shū)寫(xiě)，否則容易出錯(cuò)。
※例題解析※
〖例〗已知非零向量 ，且 ，求證： 。
思路解析： 。同意注意， ，將要證式子變形平方即可獲證。
解答：∵ ∴ ，要證 ，只需證 ，只需證
（三）反證法證明
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1、反證法是間接證明問(wèn)題的一種常用方法，其證明問(wèn)題的一般步驟為：
（1）反設(shè)：假定所要證的結(jié)論不成立，而設(shè)結(jié)論的反面（否定命題）成立；（否定結(jié)論）
（2）歸廖：將“反設(shè)”作為條件，由此出發(fā)經(jīng)過(guò)正確的推理，導(dǎo)出矛盾——與已知條件、已知的公理、定義、定理及明顯的事實(shí)矛盾或自相矛盾；（推導(dǎo)矛盾）
（3）結(jié)論：因?yàn)橥评碚_，所以產(chǎn)生矛盾的原因在于“反設(shè)”的廖誤。既然結(jié)論的反面不成立，從而肯定了結(jié)論成立。（結(jié)論成立）
注：用反證法證明問(wèn)題時(shí)要注意以下三點(diǎn)：
（1）必須否定結(jié)論，即肯定結(jié)論的反面，當(dāng)結(jié)論的反面呈現(xiàn)多樣性時(shí)，必須羅列出各種可能結(jié)論，缺少任何一種可能，反證都是不完全是；
（2）反證法必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理，即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件，且必須根據(jù)這一條件進(jìn)行推證，否則，僅否定結(jié)論，不從結(jié)論的反面出發(fā)進(jìn)行推理，就不是反證法；
（3）推導(dǎo)出的矛盾可能多種多樣，有的與已知矛盾，有的與假設(shè)矛盾，有的與事實(shí)矛盾等，推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的。
2、常見(jiàn)的“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞”如下：
原結(jié)論詞反設(shè)詞原結(jié)論詞反設(shè)詞
至少有一個(gè)一個(gè)也沒(méi)有對(duì)所有x成立存在某個(gè)x不成立
至多有一個(gè)至少有兩個(gè)對(duì)任意x不成立存在某個(gè)x成立
至少有n個(gè)至多有n-1個(gè)p或q 且
至多有n個(gè)至多有n+1個(gè)p且q 或
※例題解析※
〖例〗已知 是互不相等的實(shí)數(shù)，求證：由 確定的三條拋物線(xiàn)至少有一條與 軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。
思路解析：利用反證法，否定命題的結(jié)論 利用 同向不等式求和 推出矛盾 得結(jié)論
解答：假設(shè)題設(shè)中的函數(shù)確定的三條拋物線(xiàn)都不與 有兩個(gè)不同的交點(diǎn)（即任何一條拋物線(xiàn)與 軸沒(méi)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)），由 得
（四）綜合問(wèn)題的證明
〖例〗請(qǐng)先閱讀：在等式 （ ）的兩邊求導(dǎo)，得：
，
由求導(dǎo)法則，得 ，化簡(jiǎn)得等式： ．
（1）利用上題的想法（或其他方法），試由等式（1＋x）n＝ （ ，正整數(shù) ），證明： ＝ ．
（2）對(duì)于正整數(shù) ，求證：
（i） ＝0；
（ii） ＝0；
（iii） ．
證明：（1）在等式 兩邊對(duì) 求導(dǎo)得
移項(xiàng)得 （*）
（2）（i）在（*）式中，令 ，整理得
所以
（ii）由（1）知
兩邊對(duì) 求導(dǎo)，得
在上式中，令
即 ，
亦即 （1）
又由（i）知 （2）
由（1）+（2）得
（iii）將等式 兩邊在 上對(duì) 積分
由微積分基本定理，得
所以
注：證明問(wèn)題是初等數(shù)學(xué)中常見(jiàn)問(wèn)題，也是高考常考問(wèn)題，在各章知識(shí)中均有所體現(xiàn)，函數(shù)、數(shù)列、不等式、立體幾何、解析幾何中常有證明問(wèn)題，本例就是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用到證明問(wèn)題的直接體現(xiàn)，這就需要對(duì)各章知識(shí)靈活應(yīng)用，如應(yīng)用二項(xiàng)展開(kāi)式亦可證明有關(guān)數(shù)學(xué)中整除性及不等式問(wèn)題。
三、數(shù)學(xué)歸納法
（一）用數(shù)學(xué)歸納法證明等式
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1、用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問(wèn)題是數(shù)學(xué)歸納法的常見(jiàn)題型，其關(guān)鍵點(diǎn)在于“先看項(xiàng)”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各有多少項(xiàng)，初始n0是多少；
2、由n=k到n=k+1時(shí)，除等式兩邊變化的項(xiàng)外還要充分利用n=k時(shí)的式子，即充分利用假設(shè)，正確寫(xiě)出歸納證明的步驟，從而使問(wèn)題得以證明。
※例題解析※
〖例〗用數(shù)學(xué)歸納法證明： 。
思路解析：按數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟。
解答：（1）當(dāng)n=1時(shí)，等式左邊= ，等式右邊= ，∴等式成立.
(2)假設(shè)n=k(k≥1.k∈ )時(shí)等式成立,即 成立,那么當(dāng)n=k+1時(shí),
即n=k+1時(shí)等式成立.
由(1)、(2)可知,對(duì)任意n∈ 等式均成立.
(二)用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問(wèn)題
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整除問(wèn)題是常見(jiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題,除了在二項(xiàng)式定理中利用二項(xiàng)式定理證明整除外,有些還可用數(shù)學(xué)歸納法,應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問(wèn)題時(shí),關(guān)鍵是“湊項(xiàng)”，采用增項(xiàng)、減項(xiàng)、拆項(xiàng)和因式分解等方法。也可以說(shuō)將式子“硬提公因式”，即將n=k時(shí)的項(xiàng)從n=k+1時(shí)的項(xiàng)中“硬提出來(lái)”，構(gòu)成n=k時(shí)的項(xiàng)，后面的式子相對(duì)變形，使之與n=k+1時(shí)的項(xiàng)相同，從而達(dá)到利用假設(shè)的目的。
※例題解析※
〖例〗用數(shù)學(xué)歸納法證明 能被 整除（n∈ ）。
思路解析：驗(yàn)證n=1時(shí)命題是否成立 假設(shè)n=k時(shí)命題成立 推證n=k+1時(shí)命題成立 得結(jié)論。
解答：（1）當(dāng)n=1時(shí)，
（2）假設(shè)n=k(k∈ )時(shí)， 能被 整除，則當(dāng)n=k+1時(shí)，
（三）用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題
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在幾何問(wèn)題中，常有與n有關(guān)的幾何證明，其中有交點(diǎn)個(gè)數(shù)、內(nèi)角和、將平面分成若干部分等問(wèn)題。這些問(wèn)題可用數(shù)學(xué)歸納法證明，利用數(shù)學(xué)歸納法證明這些問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是“找項(xiàng)”，即幾何元素從k個(gè)變成k+1個(gè)時(shí)，所證的幾何量將增加多少，這需用到幾何知識(shí)或借助于幾何圖形來(lái)分析，在實(shí)在分析不出來(lái)的情況下，將n=k+1和n=k分別代入所證的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加說(shuō)明即可，這也是用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何命題的一大技巧。
※例題解析※
〖例1〗平面內(nèi)有n條直線(xiàn)，其中任何兩條不平行，任何三條不共點(diǎn)，求證：這n條直線(xiàn)把平面割成 個(gè)區(qū)域。
思路解析：n=k+1時(shí)，第k+1條直線(xiàn)被前k條直線(xiàn)分成（k+1）段，而每一段將它們所在區(qū)域一分為2，故增加了k+1個(gè)區(qū)域。
解答：（1）當(dāng)n=1時(shí)，一條直線(xiàn)把平面分成兩部分，又 ∴n=1時(shí)命題成立。
（2）假設(shè)n=k(k∈ )時(shí)，命題成立，即k條滿(mǎn)足題意的直線(xiàn)把平面分割成 個(gè)區(qū)域。那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，k+1條直線(xiàn)中的k條直線(xiàn)把平面分成 個(gè)區(qū)域，第k+1條直線(xiàn)被這k條直線(xiàn)分成k+1段，每段把它們所在的區(qū)域分成了兩塊。因此增加了k+1區(qū)域，∴k+1條直線(xiàn)把平面分成了 個(gè)區(qū)域。∴n=k+1時(shí)命題也成立。由（1）、（2）知，對(duì)一切的n∈ ,此命題均成立。
〖例2〗平面內(nèi)有n個(gè)圓，其中每?jī)蓚�(gè)圓都交于兩點(diǎn)，且無(wú)三個(gè)圓交于一點(diǎn)，求證：這n個(gè)圓將平面分成n2+n+2個(gè)部分.
證明：（1）n=1時(shí)，1個(gè)圓將平面分成2部分，顯然命題成立。
（2）假設(shè)n=k(k∈ )時(shí)，k個(gè)圓將平面分成k2-k+2個(gè)部分。當(dāng)n=k+1時(shí)，第k+1個(gè)圓Ck+1交前面2k個(gè)點(diǎn)，這2k個(gè)點(diǎn)將圓Ck+1分成2k段，每段各自所在區(qū)域一分為二，于是增加了2k個(gè)區(qū)域，所以這k+1個(gè)圓將平面分成k2-k+2+2k個(gè)部分，即(k+1)2-(k+1)+2個(gè)部分。故n=k+1時(shí)，命題成立。由（1）、（2）可知，對(duì)任意n∈ 命題成立。
注：用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由n=k成立得n=k+1成立，主要方法有：①放縮法；②利用基本不等式；③作差比較法等。
（四）數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問(wèn)題
〖例〗（安徽卷21）．（本小題滿(mǎn)分13分）
設(shè)數(shù)列 滿(mǎn)足 為實(shí)數(shù)
（1）證明： 對(duì)任意 成立的充分必要條件是 ；
（2）設(shè) ，證明： ;
（3）設(shè) ，證明：
思路解析：（1）充要條件的證明要從充分性和必要性?xún)蓚�(gè)方面證明，證明充分性時(shí)可用數(shù)學(xué)歸納法；（2）注意應(yīng)用（1）的結(jié)論，利用放縮法證明。
解答： (1) 必要性 ： ，
又 ，即
充分性 ：設(shè) ，對(duì) 用數(shù)學(xué)歸納法證明
當(dāng) 時(shí)， .假設(shè)
則 ，且
，由數(shù)學(xué)歸納法知 對(duì)所有 成立
(2) 設(shè) ，當(dāng) 時(shí)， ，結(jié)論成立
當(dāng) 時(shí)，
,由（1）知 ，所以 且
(3) 設(shè) ，當(dāng) 時(shí)， ，結(jié)論成立
當(dāng) 時(shí)，由（2）知
【感悟高考真題】
1.（2011?江西高考理科?Ｔ7） 觀察下列各式：55=3 125, 56=15 625, 57=78 125，???，則52011 的末四位數(shù)字為( )
A、3125 B、5625 C、0625 D、8125
【思路點(diǎn)撥】只需求出 ，即可發(fā)現(xiàn)每個(gè)數(shù)的末四位數(shù)呈周期變化.
【精講精析】選D.由題意可得， ，經(jīng)觀察易知，每個(gè)數(shù)的末四位數(shù)呈周期變化，T=4，又因?yàn)?011=4 502+3，所以52011 的末四位數(shù)字為8125.
2. （2011?山東高考理科?Ｔ15）設(shè)函數(shù) （x＞0），觀察：
，
f2(x)=f(f1（x）)= ，
f3(x)=f(f2（x）)= ，
f4(x)=f(f3（x）)= ，
……
根據(jù)以上事實(shí)，由歸納推理可得：
當(dāng)n∈N*且n≥2時(shí)，fn（x）=f（fn-1（x））= .
【思路點(diǎn)撥】本題應(yīng)多寫(xiě)幾項(xiàng)來(lái)歸納總結(jié)，考察了合情推理的推理過(guò)程.
【精講精析】由已知：
f2(x)=f(f1（x）)= = =
f3(x)=f(f2（x）)= = =
f4(x)=f(f3（x）)= = =
猜想：fn(x)=
3. （2011?湖南高考理科?T22）（13分） 已知函數(shù)f(x)= g(x)=x+ .
（Ⅰ）求函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{a }( )滿(mǎn)足 ,f(a )=g( ),證明：存在常數(shù)M，使得對(duì)于任意的 ，都有
【思路點(diǎn)撥】本題以函數(shù)為載體考查，考查函數(shù)的零點(diǎn)、方程的解、函數(shù)圖象的交點(diǎn)之間的相互轉(zhuǎn)化，兼顧考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用.進(jìn)而以函數(shù)為載體引出數(shù)列再考查數(shù)列.考查學(xué)生的函數(shù)和方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，由線(xiàn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為到點(diǎn)問(wèn)題.綜合能力很強(qiáng)，要求學(xué)生有深層次的思維能力和邏輯推理能力.較好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)是解決本題的關(guān)鍵.
【精講精析】
（I）由 知， ，而 ，且 ，則 為 的一個(gè)零點(diǎn)，且 在 內(nèi)有零點(diǎn)，因此 至少有兩個(gè)零點(diǎn)
解法1： ，記 ，則 .
當(dāng) 時(shí)， ，因此 在 上單調(diào)遞增，則 在 內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn).又因?yàn)?，則 在 內(nèi)有零點(diǎn)，所以 在 內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn).記此零點(diǎn)為 ，則當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， ；
所以，當(dāng) 時(shí)， 單調(diào)遞減，而 ，則 在 內(nèi)無(wú)零點(diǎn)；
當(dāng) 時(shí)， 單調(diào)遞增，則 在 內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)；
從而 在 內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn).綜上所述， 有且只有兩個(gè)零點(diǎn).
解法2： ，記 ，則 .
當(dāng) 時(shí)， ，因此 在 上單調(diào)遞增，則 在 內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn).因此 在 內(nèi)也至多只有一個(gè)零點(diǎn)，
綜上所述， 有且只有兩個(gè)零點(diǎn).
（II）記 的正零點(diǎn)為 ，即 .
（1）當(dāng) 時(shí)，由 ，即 .而 ，因此 ，由此猜測(cè)： .下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng) 時(shí)， 顯然成立；
②假設(shè)當(dāng) 時(shí)，有 成立，則當(dāng) 時(shí)，由
知， ，因此，當(dāng) 時(shí)， 成立.
故對(duì)任意的 ， 成立.
（2）當(dāng) 時(shí)，由（1）知， 在 上單調(diào)遞增.則 ，即 .從而 ，即 ，由此猜測(cè)： .下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng) 時(shí)， 顯然成立；
②假設(shè)當(dāng) 時(shí)，有 成立，則當(dāng) 時(shí)，由
知， ，因此，當(dāng) 時(shí)， 成立.
故對(duì)任意的 ， 成立.
綜上所述，存在常數(shù) ，使得對(duì)于任意的 ，都有 .
【考點(diǎn)模擬精練】
一、選擇題
1、下面說(shuō)法正確的有�。� ）
（1）演繹推理是由一般到特殊的推理；（2）演繹推理得到的結(jié)論一定是正確的；（3）演繹推理一般模式是“三段論”形式；（4）演繹推理的結(jié)論的正誤與大前提、小前提和推理形有關(guān)
（A）1個(gè) （B）2個(gè) （C）3個(gè) （D）4個(gè)
答案: C
2、數(shù)列2,5,11,20,x,47,…中的x等于( )
(A)28 (B)32 (C)33 (D)27
【解析】選B. 5-2=3,11-5=6,20-11=9,推出x-20=12,所以x=32.
3、命題：“有些有理數(shù)是分?jǐn)?shù)，整數(shù)是有理數(shù)，則整數(shù)是分?jǐn)?shù)”結(jié)論是錯(cuò)誤的，其原因是 （ ）
（A）大前提錯(cuò)誤 （B）小前提錯(cuò)誤 （C）推理形式錯(cuò)誤 （D）以上都不是
答案: A
4、函數(shù) 在下列那個(gè)區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)�。ǎ�
（A）（ ， ） （B）（ ， ） （C）（ ， ） （D）（ ， ）
答案: B
5、在 ， ， ， 這四個(gè)函數(shù)中，當(dāng) 時(shí)，使 恒成立的函數(shù)的個(gè)數(shù)是 （）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
答案: C
6、設(shè) 、 、 都是正整數(shù)，且 ，則下列不等式中恒不成立的是�。ǎ�
（A） （B） （C） （D）
答案: A
7、 ， ，且 ， ， ，則 的值一定 （）
（A）大于零 （B）等于零 （C）小于零 （D）正負(fù)都有可能
答案: A
8、設(shè) 是定義在R上的函數(shù)且 ，且 ，則 �。� ）
（A） （B） （C） （D）
答案: A
9、在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對(duì)角線(xiàn)為 n(n－3)條時(shí)，第一步驗(yàn)證n等于（ ）
A. 1 B.2 C.3 D.0
答案: C
10、(2011?濟(jì)南模擬)用數(shù)學(xué)歸納法證明 則當(dāng)n=k+1時(shí)左端應(yīng)在n=k的基礎(chǔ)上加上( )
(A)k2+1
(B)(k+1)2
(C)
(D)(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2
【解析】選D.當(dāng)n=k時(shí)，左端=1+2+3+…+k2.
當(dāng)n=k+1時(shí)，左端=1+2+3+…+k2+(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2,
故當(dāng)n=k+1時(shí)，左端應(yīng)在n=k的基礎(chǔ)上加上(k2+1)+(k2+2)+…
+(k+1)2.故應(yīng)選D.
11、用數(shù)學(xué)歸納法證明（n+1)(n+2)…(n+n)=2n?1?3?5?…（2n－1)(n∈N*)時(shí)，假設(shè)n=k時(shí)成立，若證n=k+1時(shí)也成立，兩邊同乘（）
A.2k+1B. C. D.
答案: C
12、上一個(gè)n級(jí)臺(tái)階，若每步可上一級(jí)或兩級(jí),設(shè)上法總數(shù)為f(n),則下列猜想中正確的是（）
A.f(n)=n B.f(n)=f(n－1)+f(n－2)
C.f(n)=f(n－1)?f(n－2) D.f(n)=
答案: D
二、填空題
13、在德國(guó)不來(lái)梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商場(chǎng)櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形展品，其中第一堆只有一層，就一個(gè)球，第三2、3、4、…堆最底層（第一層）分別按下圖方式固定擺放，從第二層開(kāi)始每層小球的小球自然壘放在下一層之上，第 堆的第 層就放一個(gè)乒乓球，以 表示第 堆的乒乓球總數(shù)，則 =_____； =__（用 表示）
答案:10
14、從1=1， ， ， ，…歸納出第 個(gè)式子為_(kāi)____.
答案:
15、(2011?徐州模擬)用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xn+yn能被x+y整除”，當(dāng)?shù)诙郊僭O(shè)n=2k-1(k∈N+)命題為真時(shí)，進(jìn)而需證n=________時(shí)，命題亦真.
【解析】因?yàn)閚為正奇數(shù)，所以與2k-1相鄰的下一個(gè)奇數(shù)是2k+1.
答案：2k+1
16、有下列推理：
①A，B為定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足PA+PB=2a>AB,則P的軌跡為橢圓
②由a1=1,an=3n-1,求出S1，S2，S3，猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式
③由圓x2+y2=r2的面積πr2，猜想出橢圓 的面積S=πab
④科學(xué)家利用魚(yú)的沉浮原理制造潛艇
以上推理不是歸納推理的序號(hào)是______.
(把所有你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上)
【解析】①為演繹推理,②為歸納推理,③④為類(lèi)比推理.
答案：①③④
三、解答題
17、(2011?哈爾濱模擬)已知數(shù)列{an}中，a1=1,an+1=2an+2n, 求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.
【證明】由an+1=2an+2n.得即bn+1=bn+1(n∈N*)，又b1= ∴{bn}是首項(xiàng)為b1=1,公差為d=1的等差數(shù)列.
故存在正整數(shù)m=8，使得對(duì)于任意正整數(shù)n都有
18、(2011?杭州模擬)用數(shù)學(xué)歸納法證明: (n∈N+，n＞1).
解析:
【證明】(1)當(dāng)n=2時(shí)，左邊=
右邊=1,不等式成立.
(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2，k∈N+)時(shí)，不等式成立，即
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，
這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立.
本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://www.xiqigame.cn/gaosan/78644.html
相關(guān)閱讀：2012屆高考數(shù)學(xué)第一輪備考推理與證明復(fù)習(xí)教案