（2013•湘西州）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．
（1）求DE的長(zhǎng)；
（2）求△ADB的面積．
考點(diǎn)：角平分線的性質(zhì)；勾股定理
分析：（1）根據(jù)角平分線性質(zhì)得出CD=DE，代入求出即可；
（2）利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)，然后計(jì)算△ADB的面積．
解答：解：（1）∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=DE，
∵CD=3，
∴DE=3；
（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB= = =10，
∴△ADB的面積為S△ADB= AB•DE= ×10×3=15．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了角平分線性質(zhì)和勾股定理的運(yùn)用，注意：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．
（2013•株洲）已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠BAD=60°，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O的直線EF交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F．
（1）求證：△AOE≌△COF；
（2）若∠EOD=30°，求CE的長(zhǎng)．
考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角形；勾股定理．
分析：（1）根據(jù)菱形的對(duì)角線互相平分可得AO=CO，對(duì)邊平行可得AD∥BC，再利用兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠OAE=∠OCF，然后利用“角邊角”證明△AOE和△COF全等；
（2）根據(jù)菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角求出∠DAO=30°，然后求出∠AEF=90°，然后求出AO的長(zhǎng)，再求出EF的長(zhǎng)，然后在Rt△CEF中，利用勾股定理列式計(jì)算即可得解．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AO=CO，AD∥BC，
∴∠OAE=∠OCF，
在△AOE和△COF中， ，
∴△AOE≌△COF（ASA）；
（2）解：∵∠BAD=60°，
∴∠DAO= ∠BAD= ×60°=30°，
∵∠EOD=30°，
∴∠AOE=90°?30°=60°，
∴∠AEF=180°?∠BOD?∠AOE=180°?30°?60°=90°，
∵菱形的邊長(zhǎng)為2，∠DAO=30°，
∴OD= AD= ×2=1，
∴AO= = = ，
∴AE=CF= × = ，
∵菱形的邊長(zhǎng)為2，∠BAD=60°，
∴高EF=2× = ，
在Rt△CEF中，CE= = = ．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，（2）求出△CEF是直角三角形是解題的關(guān)鍵，也是難點(diǎn)．
（2013•巴中）若直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)為a、b，且滿足 ，則該直角三角形的斜邊長(zhǎng)為 5 ．
考點(diǎn)：勾股定理；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對(duì)值；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根．245761
分析：根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得a、b的值，然后利用勾股定理即可求得該直角三角形的斜邊長(zhǎng)．
解答：解：∵ ，
∴a2?6a+9=0，b?4=0，
解得a=3，b=4，
∵直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)為a、b，
∴該直角三角形的斜邊長(zhǎng)= = =5．
故答案是：5．
（2013•達(dá)州）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，點(diǎn)D在BC上，以AC為對(duì)角線的所有□ADCE中，DE最小的值是（ ）
A．2 B．3
C．4 D．5
答案：B
解析：由勾股定理，得AC＝5，因?yàn)槠叫羞呅蔚膶?duì)角線互相平分，所以，DE一定經(jīng)過(guò)AC中點(diǎn)O，當(dāng)DE⊥BC時(shí)，DE最小，此時(shí)OD＝ ，所以最小值DE＝3
（2013•達(dá)州）如圖，折疊矩形紙片ABCD，使B點(diǎn)落在AD上一點(diǎn)E處，折痕的兩端點(diǎn)分別在AB、BC上（含端點(diǎn)），且AB=6，BC=10。設(shè)AE=x，則x 的取值范圍是 .
答案：2≤x≤6
解析：如圖，設(shè)AG＝y(tǒng)，則BG＝6－y，在Rt△GAE中，
x2＋y2＝（6－y）2，即 （ ，當(dāng)y＝0時(shí)，x取最大值為6；當(dāng)y＝ 時(shí),x取最小值2，故有2≤x≤6
2013•雅安）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（? ，0），B（ ，0），點(diǎn)C在坐標(biāo)軸上，且AC+BC=6，寫(xiě)出滿足條件的所有點(diǎn)C的坐標(biāo)�。�0，2），（0，?2），（?3，0），（3，0）�。�
考點(diǎn)：勾股定理；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．
專(zhuān)題：分類(lèi)討論．
分析：需要分類(lèi)討論：①當(dāng)點(diǎn)C位于x軸上時(shí)，根據(jù)線段間的和差關(guān)系即可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)；②當(dāng)點(diǎn)C位于y軸上時(shí)，根據(jù)勾股定理求點(diǎn)C的坐標(biāo)．
解答：解：如圖，①當(dāng)點(diǎn)C位于y軸上時(shí)，設(shè)C（0，b）．
則 + =6，解得，b=2或b=?2，
此時(shí)C（0，2），或C（0，?2）．
如圖，②當(dāng)點(diǎn)C位于x軸上時(shí)，設(shè)C（a，0）．
則? ?a+a? =6，即2a=6或?2a=6，
解得a=3或a=?3，
此時(shí)C（?3，0），或C（3，0）．
綜上所述，點(diǎn)C的坐標(biāo)是：（0，2），（0，?2），（?3，0），（3，0）．
故答案是：（0，2），（0，?2），（?3，0），（3，0）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)．解題時(shí)，要分類(lèi)討論，以防漏解．另外，當(dāng)點(diǎn)C在y軸上時(shí)，也可以根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式來(lái)求點(diǎn)C的坐標(biāo)．
（2013•資陽(yáng)）如圖1，點(diǎn)E在正方形ABC D內(nèi)，滿足 ，AE=6，BE=8，則陰影部分的面積是 C
A． B． C．
（2013鞍山）△ABC中，∠C=90°，AB=8，cosA= ，則BC的長(zhǎng) ．
考點(diǎn)：銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理．
分析：首先利用余弦函數(shù)的定義求得AC的長(zhǎng)，然后利用勾股定理即可求得BC的長(zhǎng)．
解答：解：∵cosA= ，
∴AC=AB•cosA=8× =6，
∴BC= = =2 ．
故答案是：2 ．
點(diǎn)評(píng)：本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運(yùn)用：在直角三角形中，銳角的正弦為對(duì)邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對(duì)邊比鄰邊．
（2013鞍山）如圖，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的周長(zhǎng)是 ．
考點(diǎn)：三角形中位線定理；勾股定理．
分析：利用勾股定理列式求出BC的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出EH=FG= AD，EF=GH= BC，然后代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解．
解答：解：∵BD⊥CD，BD=4，CD=3，
∴BC= = =5，
∵E、F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點(diǎn)，
∴EH=FG= AD，EF=GH= BC，
∴四邊形EFGH的周長(zhǎng)=EH+GH+FG+EF=AD+BC，
又∵AD=6，
∴四邊形EFGH的周長(zhǎng)=6+5=11．
故答案為：11．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的中位線定理，勾股定理的應(yīng)用，熟記三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．
（2013•鄂州）如圖，已知直線a∥b，且a與b之間的距離為4，點(diǎn)A到直線a的距離為2，點(diǎn)B到直線b的距離為3，AB= ．試在直線a上找一點(diǎn)，在直線b上找一點(diǎn)N，滿足N⊥a且A+N+NB的長(zhǎng)度和最短，則此時(shí)A+NB=（ �。�
A．6B．8C．10D．12
考點(diǎn)：勾股定理的應(yīng)用；線段的性質(zhì)：兩點(diǎn)之間線段最短；平行線之間的距離．
分析：N表示直線a與直線b之間的距離，是定值，只要滿足A+NB的值最小即可，作點(diǎn)A關(guān)于直線a的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，連接A′B交直線b與點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)N作N⊥直線a，連接A，則可判斷四邊形AA′N(xiāo)是平行四邊形，得出A=A′N(xiāo)，由兩點(diǎn)之間線段最短，可得此時(shí)A+NB的值最小．過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AA′，交AA′于點(diǎn)E，在Rt△ABE中求出BE，在Rt△A′BE中求出A′B即可得出A+NB．
解答：解：作點(diǎn)A關(guān)于直線a的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，連接A′B交直線b與點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)N作N⊥直線a，連接A，
∵A到直線a的距離為2，a與b之間的距離為4，
∴AA′=N=4，
∴四邊形AA′N(xiāo)是平行四邊形，
∴A+NB=A′N(xiāo)+NB=A′B，
過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AA′，交AA′于點(diǎn)E，
易得AE=2+4+3=9，AB=2 ，A′E=2+3=5，
在Rt△AEB中，BE= = ，
在Rt△A′EB中，A′B= =8．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理的應(yīng)用、平行線之間的距離，解答本題的關(guān)鍵是找到點(diǎn)、點(diǎn)N的位置，難度較大，注意掌握兩點(diǎn)之間線段最短．
（2013•鄂州）小明、小華在一棟電梯樓前感慨樓房真高．小明說(shuō)：“這樓起碼20層！”小華卻不以為然：“20層？我看沒(méi)有，數(shù)數(shù)就知道了！”小明說(shuō)：“有本事，你不用數(shù)也能明白！”小華想了想說(shuō)：“沒(méi)問(wèn)題！讓我們來(lái)量一量吧！”小明、小華在樓體兩側(cè)各選A、B兩點(diǎn)，測(cè)量數(shù)據(jù)如圖，其中矩形CDEF表示樓體，AB=150米，CD=10米，∠A=30°，∠B=45°，（A、C、D、B四點(diǎn)在同一直線上）問(wèn)：
（1）樓高多少米？
（2）若每層樓按3米計(jì)算，你支持小明還是小華的觀點(diǎn)呢？請(qǐng)說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)： ≈1.73， ≈1.41， ≈2.24）
考點(diǎn)：勾股定理的應(yīng)用．
專(zhuān)題：．
分析：（1）設(shè)樓高為x，則CF=DE=x，在Rt△ACF和Rt△DEB中分別用x表示AC、BD的值，然后根據(jù)AC+CD+BD=150，求出x的值即可；
（2）根據(jù)（1）求出的樓高x，然后求出20層樓的高度，比較x和20層樓高的大小即可判斷誰(shuí)的觀點(diǎn)正確．
解答：解：（1）設(shè)樓高為x米，則CF=DE=x米，
∵∠A=30°，∠B=45°，∠ACF=∠BDE=90°，
∴AC= x米，BD=x米，
∴ x+x=150?10，
解得x= =70（ ?1）（米），
∴樓高70（ ?1）米．
（2）x=70（ ?1）≈70（1.73?1）=70×0.73=51.1米＜3×20米，
∴我支持小華的觀點(diǎn)，這樓不到20層．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用方程思想求解，難度一般．
（2013•襄陽(yáng)）在一張直角三角形紙片中，分別沿兩直角邊上一點(diǎn)與斜邊中點(diǎn)的連線剪去兩個(gè)三角形，得到如圖所示的直角梯形，則原直角三角形紙片的斜邊長(zhǎng)是 6 或2 �。�
考點(diǎn)：圖形的剪拼；勾股定理．
分析：先根據(jù)題意畫(huà)出圖形，此題要分兩種情況，再根據(jù)勾股定理求出斜邊上的中線，最后根據(jù)直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求出斜邊的長(zhǎng)．
解答：解：①如圖所示：
，
連接CD，
CD= = ，
∵D為AB中點(diǎn)，
∴AB=2CD=2 ；
②如圖所示：
，
連接EF，
EF= =3 ，
∵E為AB中點(diǎn)，
∴AB=2EF=6 ，
故答案為：6 或2 ．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了圖形的剪拼，解題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)題意畫(huà)出圖形，在解題時(shí)要注意分兩種情況畫(huà)圖，不要漏解．
（2013•莆田）如圖是一株美麗的勾股樹(shù)，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面積分別為2，5，1，2．則最大的正方形E的面積是 10 ．
考點(diǎn)：勾股定理．
分析：根據(jù)正方形的面積公式，結(jié)合勾股定理，能夠?qū)С稣叫蜛，B，C，D的面積和即為最大正方形的面積．
解答：解：根據(jù)勾股定理的幾何意義，可得A、B的面積和為S1，C、D的面積和為S2，S1+S2=S3，于是S3=S1+S2，
即S3=2+5+1+2=10．
故答案是：10．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理的應(yīng)用．能夠發(fā)現(xiàn)正方形A，B，C，D的邊長(zhǎng)正好是兩個(gè)直角三角形的四條直角邊，根據(jù)勾股定理最終能夠證明正方形A，B，C，D的面積和即是最大正方形的面積．
（2013•吉林省）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（－6，0）、（0，8）.以點(diǎn)A為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交 正半軸于點(diǎn)C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為 .
（2013•包頭）如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，連接AE、BE、CE，將△ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，則∠BE′C= 135 度．
考點(diǎn)：勾股定理的逆定理；正方形的性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．
分析：首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠EBE′=90°，BE=BE′=2，AE=E′C=1，進(jìn)而根據(jù)勾股定理的逆定理求出△EE′C是直角三角形，進(jìn)而得出答案．
解答：解：連接EE′，
∵將△ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△CBE′的位置，AE=1，BE=2，CE=3，
∴∠EBE′=90°，BE=BE′=2，AE=E′C=1，
∴EE′=2 ，∠BE′E=45°，
∵E′E2+E′C2=8+1=9，
EC2=9，
∴E′E2+E′C2=EC2，
∴△EE′C是直角三角形，
∴∠EE′C=90°，
∴∠BE′C=135°．
故答案為：135．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了勾股定理以及逆定理，根據(jù)已知得出△EE′C是直角三角形是解題關(guān)鍵．
(2013山東濱州，14，4分)在△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，則邊AC的長(zhǎng)為_(kāi)_____________．
【答案】
（2013• 東營(yíng)）如圖，圓柱形容器中，高為1.2，底面周長(zhǎng)為1，在容器內(nèi)壁離容器底部0.3的點(diǎn)B處有一蚊子，此時(shí)一只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿0.3與蚊子相對(duì)的點(diǎn)A處，則壁虎捕捉蚊子的最短距離為1.3 （容器厚度忽略不計(jì)）.
2013•紹興）在平面直角坐標(biāo)系中，O是原點(diǎn)，A是x軸上的點(diǎn)，將射線OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A與雙曲線y= 上的點(diǎn)B重合，若點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是1，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是 2或?2�。�
考點(diǎn)：坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)；反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．
分析：根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得出B點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出A點(diǎn)坐標(biāo)．
解答：解：如圖所示：
∵點(diǎn)A與雙曲線y= 上的點(diǎn)B重合，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是1，
∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是 ，
∴OB= =2，
∵A點(diǎn)可能在x軸的正半軸也可能在負(fù)半軸，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，0），（?2，0）．
故答案為：2或?2．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了勾股定理以及反比例函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出BO的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．
（2013•黔西南州）一直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和4.則第三邊的長(zhǎng)為
A、5 B、 C、 D、5或
（2013•柳州）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD平分∠BAC交BC于D，則BD的長(zhǎng)為（ �。�
考點(diǎn)：角平分線的性質(zhì)；三角形的面積；勾股定理
分析：根據(jù)勾股定理列式求出BC，再利用三角形的面積求出點(diǎn)A到BC上的高，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得點(diǎn)D到AB、AC上的距離相等，然后利用三角形的面積求出點(diǎn)D到AB的長(zhǎng)，再利用△ABD的面積列式計(jì)算即可得解．
解答：解：∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，
∴BC= = =5，
∴BC邊上的高= ×3×4÷5= ，
∵AD平分∠BAC，
∴點(diǎn)D到AB、AC上的距離相等，設(shè)為h，
則S△ABC= ×3h+ ×4h= ×5× ，
解得h= ，
S△ABD= ×3× = BD• ，
解得BD= ．
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形的面積，勾股定理，利用三角形的面積分別求出相應(yīng)的高是解題的關(guān)鍵．
本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://www.xiqigame.cn/chusan/217238.html
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