2012屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)
專題八 概率統(tǒng)計(jì)
【重點(diǎn)知識(shí)回顧】
二、重點(diǎn)知識(shí)回顧
概率
（1）事與基本事：
基本事：試驗(yàn)中不能再分的最簡(jiǎn)單的“單位”隨機(jī)事；一次試驗(yàn)等可能的產(chǎn)生一個(gè)基本事；任意兩個(gè)基本事都是互斥的；試驗(yàn)中的任意事都可以用基本事或其和的形式表示．
�。�2）頻率與概率：隨機(jī)事的頻率是指此事發(fā)生的次數(shù)與試驗(yàn)總次數(shù)的比值．頻率往往在概率附近擺動(dòng)，且隨著試驗(yàn)次數(shù)的不斷增加而變化，擺動(dòng)幅度會(huì)越越�。S機(jī)事的概率是一個(gè)常數(shù)，不隨具體的實(shí)驗(yàn)次數(shù)的變化而變化．
（3）互斥事與對(duì)立事：
事定義集合角度理解關(guān)系
互斥事事 與 不可能同時(shí)發(fā)生兩事交集為空事 與 對(duì)立，則 與 必為互斥事；
事 與 互斥，但不一是對(duì)立事
對(duì)立事事 與 不可能同時(shí)發(fā)生，且必有一個(gè)發(fā)生兩事互補(bǔ)
�。�4）古典概型與幾何概型：
古典概型：具有“等可能發(fā)生的有限個(gè)基本事”的概率模型．
幾何概型：每個(gè)事發(fā)生的概率只與構(gòu)成事區(qū)域的長(zhǎng)度（面積或體積）成比例．
兩種概型中每個(gè)基本事出現(xiàn)的可能性都是相等的，但古典概型問(wèn)題中所有可能出現(xiàn)的基本事只有有限個(gè)，而幾何概型問(wèn)題中所有可能出現(xiàn)的基本事有無(wú)限個(gè)．
�。�5）古典概型與幾何概型的概率計(jì)算公式：
古典概型的概率計(jì)算公式： ．
幾何概型的概率計(jì)算公式： ．
兩種概型概率的求法都是“求比例”，但具體公式中的分子、分母不同．
�。�6）概率基本性質(zhì)與公式
①事 的概率 的范圍為： ．
②互斥事 與 的概率加法公式： ．
③對(duì)立事 與 的概率加法公式： ．
（7） 如果事A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是p，則它在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率是pn(k) = Cpk(1?p)n?k. 實(shí)際上，它就是二項(xiàng)式[(1?p)+p]n的展開(kāi)式的第k+1項(xiàng).
（8）獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布
�、伲话愕兀谙嗤瑮l下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．注意這里強(qiáng)調(diào)了三點(diǎn)：（1）相同條；（2）多次重復(fù)；（3）各次之間相互獨(dú)立；
�、冢�(xiàng)分布的概念：一般地，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，設(shè)事A發(fā)生的次數(shù)為X，在每次試驗(yàn)中事A發(fā)生的概率為p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事A恰好發(fā)生k次的概率為 ．此時(shí)稱隨機(jī)變量 服從二項(xiàng)分布，記作 ，并稱 為成功概率．
統(tǒng)計(jì)
�。�1）三種抽樣方法
�、俸�(jiǎn)單隨機(jī)抽樣
簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是一種最簡(jiǎn)單、最基本的抽樣方法．抽樣中選取個(gè)體的方法有兩種：放回和不放回．我們?cè)诔闃诱{(diào)查中用的是不放回抽�。�
簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)：被抽取樣本的總體個(gè)數(shù)有限．從總體中逐個(gè)進(jìn)行抽取，使抽樣便于在實(shí)踐中操作．它是不放回抽取，這使其具有廣泛應(yīng)用性．每一次抽樣時(shí)，每個(gè)個(gè)體等可能的被抽到，保證了抽樣方法的公平性．
實(shí)施抽樣的方法：抽簽法：方法簡(jiǎn)單，易于理解．隨機(jī)數(shù)表法：要理解好隨機(jī)數(shù)表，即表中每個(gè)位置上等可能出現(xiàn)0，1，2，…，9這十個(gè)數(shù)字的數(shù)表．隨機(jī)數(shù)表中各個(gè)位置上出現(xiàn)各個(gè)數(shù)字的等可能性，決定了利用隨機(jī)數(shù)表進(jìn)行抽樣時(shí)抽取到總體中各個(gè)個(gè)體序號(hào)的等可能性．
②系統(tǒng)抽樣
系統(tǒng)抽樣適用于總體中的個(gè)體數(shù)較多的情況．
系統(tǒng)抽樣與簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣之間存在著密切聯(lián)系，即在將總體中的個(gè)體均分后的每一段中進(jìn)行抽樣時(shí)，采用的是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣．
系統(tǒng)抽樣的操作步驟：第一步，利用隨機(jī)的方式將總體中的個(gè)體編號(hào)；第二步，將總體的編號(hào)分段，要確定分段間隔 ，當(dāng) （Ｎ為總體中的個(gè)體數(shù)，n為樣本容量）是整數(shù)時(shí)， ；當(dāng) 不是整數(shù)時(shí)，通過(guò)從總體中剔除一些個(gè)體使剩下的個(gè)體個(gè)數(shù)Ｎ能被n整除，這時(shí) ；第三步，在第一段用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣確定起始個(gè)體編號(hào)，再按事先確定的規(guī)則抽取樣本．通常是將加上間隔k得到第2個(gè)編號(hào) ，將 加上k，得到第3個(gè)編號(hào) ，這樣繼續(xù)下去，直到獲取整個(gè)樣本．
�、鄯謱映闃�
當(dāng)總體由明顯差別的幾部分組成時(shí)，為了使抽樣更好地反映總體情況，將總體中各個(gè)個(gè)體按某種特征分成若干個(gè)互不重疊的部分，每一部分叫層；在各層中按層在總體中所占比例進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣．
分層抽樣的過(guò)程可分為四步：第一步，確定樣本容量與總體個(gè)數(shù)的比；第二步，計(jì)算出各層需抽取的個(gè)體數(shù)；第三步，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣在各層中抽取個(gè)體；第四步，將各層中抽取的個(gè)體合在一起，就是所要抽取的樣本．
�。�2）用樣本估計(jì)總體
樣本分布反映了樣本在各個(gè)范圍內(nèi)取值的概率，我們常常使用頻率分布直方圖表示相應(yīng)樣本的頻率分布，有時(shí)也利用莖葉圖描述其分布，然后用樣本的頻率分布去估計(jì)總體分布，總體一定時(shí)，樣本容量越大，這種估計(jì)也就越精確．
①用樣本頻率分布估計(jì)總體頻率分布時(shí)，通常要對(duì)給定一組數(shù)據(jù)進(jìn)行列表、作圖處理．作頻率分布表與頻率分布直方圖時(shí)要注意方法步驟．畫樣本頻率分布直方圖的步驟：求全距→決定組距與組數(shù)→分組→列頻率分布表→畫頻率分布直方圖．
②莖葉圖刻畫數(shù)據(jù)有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)：一是所有的信息都可以從圖中得到；二是莖葉圖便于記錄和表示，但數(shù)據(jù)位數(shù)較多時(shí)不夠方便．
③平均數(shù)反映了樣本數(shù)據(jù)的平均水平，而標(biāo)準(zhǔn)差反映了樣本數(shù)據(jù)相對(duì)平均數(shù)的波動(dòng)程度，其計(jì)算公式為 ． 有時(shí)也用標(biāo)準(zhǔn)差的平方———方差代替標(biāo)準(zhǔn)差，兩者實(shí)質(zhì)上是一樣的．
�。�3）兩個(gè)變量之間的關(guān)系
變量與變量之間的關(guān)系，除了確定性的函數(shù)關(guān)系外，還存在大量因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的相關(guān)關(guān)系．在本中，我們學(xué)習(xí)了一元線性相關(guān)關(guān)系，通過(guò)建立回歸直線方程就可以根據(jù)其部分觀測(cè)值，獲得對(duì)這兩個(gè)變量之間的整體關(guān)系的了解．分析兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系時(shí),我們可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖確定兩個(gè)變量之間是否存在相關(guān)關(guān)系，還可利用最小二乘估計(jì)求出回歸直線方程．通常我們使用散點(diǎn)圖，首先把樣本數(shù)據(jù)表示的點(diǎn)在直角坐標(biāo)系中作出，形成散點(diǎn)圖．然后從散點(diǎn)圖上，我們可以分析出兩個(gè)變量是否存在相關(guān)關(guān)系：如果這些點(diǎn)大致分布在通過(guò)散點(diǎn)圖中心的一條直線附近，那么就說(shuō)這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線，其對(duì)應(yīng)的方程叫做回歸直線方程．在本節(jié)要經(jīng)常與數(shù)據(jù)打交道，計(jì)算量大，因此同學(xué)們要學(xué)會(huì)應(yīng)用科學(xué)計(jì)算器．
�。�4）求回歸直線方程的步驟：
第一步：先把數(shù)據(jù)制成表，從表中計(jì)算出 ；
第二步：計(jì)算回歸系數(shù)的a，b，公式為
第三步：寫出回歸直線方程 ．
（4）獨(dú)立性檢驗(yàn)
① 列聯(lián)表：列出的兩個(gè)分類變量 和 ，它們的取值分別為 和 的樣本頻數(shù)表稱為 列聯(lián)表1
分類 1
2
總計(jì)
1
總計(jì)
構(gòu)造隨機(jī)變量 （其中 ）
得到 的觀察值 常與以下幾個(gè)臨界值加以比較：
如果 ，就有 的把握因?yàn)閮煞诸愖兞?和 是有關(guān)系；
如果 就有 的把握因?yàn)閮煞诸愖兞?和 是有關(guān)系；
如果 就有 的把握因?yàn)閮煞诸愖兞?和 是有關(guān)系；
如果低于 ，就認(rèn)為沒(méi)有充分的證據(jù)說(shuō)明變量 和 是有關(guān)系．
�、谌S柱形圖：如果列聯(lián)表1的三維柱形圖如下圖
由各小柱形表示的頻數(shù)可見(jiàn)，對(duì)角線上的頻數(shù)的積的差的絕對(duì)值
較大，說(shuō)明兩分類變量 和 是有關(guān)的，否則的話是無(wú)關(guān)的．
重點(diǎn)：一方面考察對(duì)角線頻數(shù)之差，更重要的一方面是提供了構(gòu)造隨機(jī)變量進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)的思路方法。
�、鄱S條形圖（相應(yīng)于上面的三維柱形圖而畫）
由深、淺染色的高可見(jiàn)兩種情況下所占比例，由數(shù)據(jù)可知 要比 小得多，由于差距較大，因此，說(shuō)明兩分類變量 和 有關(guān)系的可能性較大，兩個(gè)比值相差越大兩分類變量 和 有關(guān)的可能性也越的．否則是無(wú)關(guān)系的．
重點(diǎn)：通過(guò)圖形以及所占比例直觀地粗略地觀察是否有關(guān)，更重要的一方面是提供了構(gòu)造隨機(jī)變量進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想方法。
④等高條形圖（相應(yīng)于上面的條形圖而畫）
由深、淺染色的高可見(jiàn)兩種情況下的百分比；另一方面，數(shù)據(jù)
要比 小得多，因此，說(shuō)明兩分類變量 和 有關(guān)系的可能性較大，
否則是無(wú)關(guān)系的．
重點(diǎn)：直觀地看出在兩類分類變量頻數(shù)相等的情況下，各部分所占的比例情況，是在圖２的基礎(chǔ)上換一個(gè)角度理解。
【典型例題】
考點(diǎn)：概率
【內(nèi)容解讀】概率試題主要考查基本概念和基本公式，對(duì)等可能性事的概率、互斥事的概率、獨(dú)立事的概率、事在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰發(fā)生k次的概率、離散型隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望等內(nèi)容都進(jìn)行了考查。掌握古典概型和幾何概型的概率求法。
【命題規(guī)律】（1）概率統(tǒng)計(jì)試題的題量大致為2道，約占全卷總分的6％-10％，試題的難度為中等或中等偏易。
（2）概率統(tǒng)計(jì)試題通常是通過(guò)對(duì)本原題進(jìn)行改編，通過(guò)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的重新組合、變式和拓展，從而加工為立意高、情境新、設(shè)問(wèn)巧、并賦予時(shí)代氣息、貼近學(xué)生實(shí)際的問(wèn)題。這樣的試題體現(xiàn)了數(shù)學(xué)試卷新的設(shè)計(jì)理念，尊重不同考生群體思維的差異，貼近考生的實(shí)際，體現(xiàn)了人教育的精神。
例1、在平面直角坐標(biāo)系 中，設(shè)D是橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的絕對(duì)值均不大于2的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域，E是到原點(diǎn)的距離不大于1的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域，向D中隨意投一點(diǎn)，則落入E中的概率為 。
解：如圖：區(qū)域D表示邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD的內(nèi)部（含邊界），區(qū)域E表示單位圓及其內(nèi)部，因此 。
答案
點(diǎn)評(píng)：本題考查幾何概型，利用面積相比求概率。
例2某公交公司對(duì)某線路客情況統(tǒng)計(jì)顯示，公交車從每個(gè)停靠點(diǎn)出發(fā)后，車上的乘客人數(shù)及頻率如下表：
人數(shù)0~67~1213~1819~2425~3031人以上
頻率0.10.150.250.200.200.1
（I）從每個(gè)�？奎c(diǎn)出發(fā)后，乘客人數(shù)不超過(guò)24人的概率約是多少？
（II）全線途經(jīng)10個(gè)�？奎c(diǎn)，若有2個(gè)以上（含2個(gè)）停靠點(diǎn)出發(fā)后，車上乘客人數(shù)超過(guò)18人的概率大于0.9，公交公司就要考慮在該線路增加一個(gè)班次，請(qǐng)問(wèn)該線路需要增加班次嗎？
解：（Ⅰ）每個(gè)�？奎c(diǎn)出發(fā)后，乘客人數(shù)不超過(guò)24人的概率約為
0.1+0.15+0.25+0.2=0.7
0. (Ⅱ)從每個(gè)停靠點(diǎn)出發(fā)后，乘客人數(shù)超過(guò)18人的概率為0.20+0.20+0.1=0.5
1.途經(jīng)10個(gè)�？奎c(diǎn)，沒(méi)有一個(gè)�？奎c(diǎn)出發(fā)后，乘客人數(shù)超過(guò)18人的概率為
途經(jīng) 10個(gè)�？奎c(diǎn)，只有一個(gè)停靠點(diǎn)出發(fā)后，乘客人數(shù)超過(guò)18人的概率
所以，途經(jīng)10個(gè)�？奎c(diǎn)，有2個(gè)以上（含2個(gè)）�？奎c(diǎn)出發(fā)后，乘客人數(shù)超過(guò)18人的概率
P=1－ －C （ ）（1－ ）9=1－ =
∴該線路需要增加班次。
答：（Ⅰ）每個(gè)停靠點(diǎn)出發(fā)后，乘客人數(shù)不超過(guò)24人的概率約為0.7
(Ⅱ) 該線路需要增加班次
考點(diǎn)四：統(tǒng)計(jì)
【內(nèi)容解讀】理解簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣的概念，了解它們各自的特點(diǎn)及步驟．會(huì)用三種抽樣方法從總體中抽取樣本．會(huì)用樣本頻率分布估計(jì)總體分布．會(huì)用樣本數(shù)字特征估計(jì)總體數(shù)字特征．會(huì)利用散點(diǎn)圖和線性回歸方程，分析變量間的相關(guān)關(guān)系；掌握獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟與方法。
【命題規(guī)律】（1）概率統(tǒng)計(jì)試題的題量大致為2道，約占全卷總分的6％-10％，試題的難度為中等或中等偏易。
（2）概率統(tǒng)計(jì)試題通常是通過(guò)對(duì)本原題進(jìn)行改編，通過(guò)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的重新組合、變式和拓展，從而加工為立意高、情境新、設(shè)問(wèn)巧、并賦予時(shí)代氣息、貼近學(xué)生實(shí)際的問(wèn)題。這樣的試題體現(xiàn)了數(shù)學(xué)試卷新的設(shè)計(jì)理念，尊重不同考生群體思維的差異，貼近考生的實(shí)際，體現(xiàn)了人教育的精神。
例3（1）（2009湖南卷） 一個(gè)總體分為A，B兩層，用分層抽樣方法從總體中抽取一個(gè)容量為10的樣本.已知B層中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都為 ，則總體中的個(gè)體數(shù)為 .
答案 120
解析 設(shè)總體中的個(gè)體數(shù)為 ，則
（2）（2009四川卷）設(shè)矩形的長(zhǎng)為 ，寬為 ，其比滿足 ∶ ＝ ，這種矩形給人以美感，稱為黃金矩形。黃金矩形常應(yīng)用于工藝品設(shè)計(jì)中。下面是某工藝品廠隨機(jī)抽取兩個(gè)批次的初加工矩形寬度與長(zhǎng)度的比值樣本：
甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639
乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620
根據(jù)上述兩個(gè)樣本估計(jì)兩個(gè)批次的總體平均數(shù)，與標(biāo)準(zhǔn)值0.618比較，正確結(jié)論是
A.甲批次的總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值更接近
B.乙批次的總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值更接近
C.兩個(gè)批次總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值接近程度相同
D.兩個(gè)批次總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值接近程度不能確定
答案 A
解析 甲批次的平均數(shù)為0.617，乙批次的平均數(shù)為0.613
例4下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過(guò)程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生
產(chǎn)能耗Y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對(duì)照數(shù)據(jù)
3 4 5 6
y 2.5 3 4 4.5
(1)請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；
(2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，崩最小二乘法求出Y關(guān)于x的線性回歸方程Y=bx+a；
(3)已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤．試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程，預(yù)測(cè)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤?
(參考數(shù)值：32．5+43+54+64．5=66.5)
解：(1)散點(diǎn)圖略.
(2) , , ,
由所提供的公式可得 ,故所求線性回歸方程為 10分
(3) 噸.
例5、為了研究某高校大學(xué)新生學(xué)生的視力情況，隨機(jī)地抽查了該校100名進(jìn)校學(xué)生的視力情況，得到頻率分布直方圖,如圖.已知前4組的頻數(shù)從左到右依次是等比數(shù)列 的前四項(xiàng)，后6組的頻數(shù)從左到右依次是等差數(shù)列 的前六項(xiàng)．
(Ⅰ)求等比數(shù)列 的通項(xiàng)公式;
（Ⅱ)求等差數(shù)列 的通項(xiàng)公式；
(Ⅲ)若規(guī)定視力低于5.0的學(xué)生屬于近視學(xué)生,試估計(jì)該校新生的近視率 的大小.
解：由題意知： ，
∵數(shù)列 是等比數(shù)列，∴公比
∴ .
∵ =13,
∴ ，
∵數(shù)列 是等差數(shù)列，∴設(shè)數(shù)列 公差為 ，則得，
∴ ＝87，
， ，
= ,
(或 = )
答:估計(jì)該校新生近視率為91%.
例6、某興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數(shù)多少之間的關(guān)系,他們分別到氣象局與某醫(yī)院抄錄了1至6月份每月10號(hào)的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù),得到如下資料:
日 期1月10日2月10日3月10日4月10日5月10日6月10日
晝夜溫差x(°C)1011131286
就診人數(shù)y(個(gè))222529261612
該興趣小組確定的研究方案是:先從這六組數(shù)據(jù)中選取2組,用剩下的4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再用被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).
(Ⅰ)求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是相鄰兩個(gè)月的概率；(5分)
(Ⅱ)若選取的是1月與6月的兩組數(shù)據(jù),請(qǐng)根據(jù)2至5月份的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回歸方程 ；(6分)
(Ⅲ)若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過(guò)2人,則認(rèn)為得到的線性回歸方程是理想的,試問(wèn)該小組所得線性回歸方程是否理想?(3分)
(參考公式: )
解：(Ⅰ)設(shè)抽到相鄰兩個(gè)月的數(shù)據(jù)為事A.因?yàn)閺?組數(shù)據(jù)中選
取2組數(shù)據(jù)共有15種情況,每種情況都是等可能出現(xiàn)的
其中,抽到相鄰兩個(gè)月的數(shù)據(jù)的情況有5種
所以
(Ⅱ)由數(shù)據(jù)求得
由公式求得
再由
所以 關(guān)于 的線性回歸方程為
(Ⅲ)當(dāng) 時(shí), , ；
同樣, 當(dāng) 時(shí), ,
所以,該小組所得線性回歸方程是理想的.
模擬演練
3.已知事 “三位中國(guó)選手均進(jìn)入亞運(yùn)會(huì)體操?zèng)Q賽”，事 “三位中國(guó)選手均未進(jìn)入亞運(yùn)會(huì)體操?zèng)Q賽”，那么事 和 是（ �。�
Ａ．等可能性事Ｂ．不互斥事
Ｃ．互斥但不是對(duì)立事Ｄ．對(duì)立事
3．C提示：根據(jù)兩事不能同時(shí)發(fā)生，且當(dāng)一個(gè)不發(fā)生時(shí)不一定發(fā)生另一個(gè)，因此兩事
是互斥但不是對(duì)立事.
4．若對(duì)于變量 與 的 組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的回歸模型中，相關(guān)指數(shù) ，又知?dú)埐钇椒胶蜑?，那么 的值為（ ）。
A． B. C. D.
4.A提示：根據(jù) 表示總偏差平方和，得 .
5. ①既然拋擲硬幣出現(xiàn)正面的概率為0.5，那么連續(xù)兩次
拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，一定是一次正面朝上，一次反面朝上；②如果某種彩票的中獎(jiǎng)概
率為 ，那么買1000張這種彩票一定能中獎(jiǎng)；③在乒乓球、排球等比賽中，裁判通過(guò)讓運(yùn)
動(dòng)員猜上拋均勻塑料圓板著地是正面還是反面決定哪一方先發(fā)球，這樣做不公平；④一個(gè)
骰子擲一次得到2的概率是 ，這說(shuō)明一個(gè)骰子擲6次會(huì)出現(xiàn)一次2.其中不正確的說(shuō)法是
（ ）
A ①②③④ B ①②④ C ③④ D ③
5. A提示：概率是一個(gè)隨即性的規(guī)律，具有不確定性，因此①②④錯(cuò)誤，而③拋擲均勻塑料
圓板出現(xiàn)正面與方面的概率相等，是公平的.因此均為不正確的說(shuō)法.
6.若 ，則方程 有實(shí)根的概率為（ ）
A． B. C. D.
6．C提示：若方程有實(shí)根，則有 .因?yàn)?，根據(jù)幾何概型“有實(shí)根的”概率為 .
7. (專題七科第7題)
8.下圖是2010年渥太華冬奧會(huì)上，七位評(píng)委為某冰舞
運(yùn)動(dòng)員打出的分?jǐn)?shù)的莖葉統(tǒng)計(jì)圖，去掉一個(gè)最低分和一
個(gè)最高分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
8．D提示:根據(jù)莖葉圖，所剩數(shù)據(jù)為 ，因此 ，
.
9．某高校調(diào)查詢問(wèn)了56名男女大學(xué)生，在余時(shí)間是否參加運(yùn)動(dòng)，得到下表所示的數(shù)據(jù).
從表中數(shù)據(jù)分析，①有 以上的把握認(rèn)為性別與是否參加運(yùn)動(dòng)有關(guān)；
②在100個(gè)參加運(yùn)動(dòng)的大學(xué)生中有95個(gè)男生；
③認(rèn)為性別與是否參加運(yùn)動(dòng)有關(guān)出錯(cuò)的可能性小于 ；
④在100個(gè)參加運(yùn)動(dòng)的大學(xué)生中有5個(gè)女生；其中正確命題的個(gè)數(shù)為（ ）.
A．1B．2C．3D．4
9．B提示：根據(jù) ，因此有95%以上的把握認(rèn)為二者有關(guān)系，出錯(cuò)的可能性小于5%.①③正確.
10.（(專題七科第10題)）
11. 2010年3月“十一屆全國(guó)人大三次會(huì)議及十一屆全國(guó)政協(xié)三次會(huì)議”在北京隆重召開(kāi)，
針對(duì)中國(guó)的中學(xué)教育現(xiàn)狀，現(xiàn)場(chǎng)的2500名人大代表對(duì)其進(jìn)行了綜合評(píng)分，得到如下“頻率
分布直方圖”（如圖），試根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)平均分為（ ）.
A B C D
11．B提示：找到每個(gè)矩形的中點(diǎn)和頻率，從而利用平均數(shù)公式求解. 要注意頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形面積表示該段的頻率.
12.(專題七科第12題)
13．半徑為10cm的圓周上有兩只螞蟻，它們分別從兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B出發(fā)，沿劣弧相向而行，速度分別為10mm/s與8mm/s，則這兩只螞蟻在5s內(nèi)相遇的概率為 .
13. 提示：5s內(nèi)兩只螞蟻相遇時(shí)所行走的最大距離為 mm，而兩只螞蟻初始時(shí)的最大距離為半個(gè)圓周，即 mm，所以這兩只螞蟻在5s內(nèi)相遇的概率為 ．
14．（(專題七科第14題)）
15.已知現(xiàn)有編號(hào)為①②③④⑤的5個(gè)圖形,它們分別是兩個(gè)直角邊長(zhǎng)為3、3的直角三角形；兩個(gè)邊長(zhǎng)為3的正方形；一個(gè)半徑為3的圓.則以這些圖形中的三個(gè)圖形為一個(gè)立體圖形的三視圖的概率為 .
15. 提示：①②③；②③④； ③④⑤可構(gòu)成一個(gè)立體圖形的三視圖，而從這5個(gè)圖形選取3個(gè)共有 個(gè)基本事，因此概率為 .
16.隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，電腦進(jìn)入了越越多的家庭，為了解電腦對(duì)生活的影響，就平均每天看電腦的時(shí)間，一個(gè)社會(huì)調(diào)查機(jī)構(gòu)對(duì)某地居民調(diào)查了10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出樣本的頻率分布直方圖（如圖），為了分析該地居民平均每天看電視的時(shí)間與年齡、學(xué)歷、職業(yè)等方面的關(guān)系，要從這10000人中再用分層柚樣方法抽出100人做進(jìn)一步調(diào)查，則在 （小時(shí)）時(shí)間段內(nèi)應(yīng)抽出的人數(shù)是 .
16. 提示：根據(jù)頻率分布直方圖可得，在 之間的人數(shù)為 ，根據(jù)分層抽樣特點(diǎn)得在 之間抽取的人數(shù)為 .
17.輸血是重要的搶救生命的措施之一，但是要注意同種血型的人可以輸血，O型血可以輸給任一種血型的人，任何人的血都可以輸給AB型血的人，其他不同血型的人不能互相輸血．
黃種人群中各種血型的人所占的比如下表所示：
血型ABABO
該血型的人所占比/%2829835
2010年4月14日玉樹(shù)地震，小王不幸被建筑物壓在下面，失血過(guò)多，需要輸血，已知小王是B型血，問(wèn)：
(1)任找一個(gè)人，其血可以輸給小王的概率是多少？
(2)任找一個(gè)人，其血不能輸給小王的概率是多少？
17.提示：（1）對(duì)任一人，其血型為A，B，AB，O型血的事分別記為 它們是互斥的．
由已知，有 ．…………3分
因?yàn)锽，O型血可以輸給B型血的人，故“可以輸給B型血的人”為事 ．
根據(jù)互斥事的加法公式，有 ……6分．
（2）由于A，AB型血不能輸給B型血的人，故“不能輸給B型血的人”為事
，且 ．…………10分
答：任找一人，其血可以輸給小明的概率為0.64，其血不能輸給小明的概率為0.36．
………12分
18.某研究機(jī)構(gòu)為了研究人的體重與身高之間的關(guān)系,隨機(jī)抽測(cè)了20人,得到如下數(shù)據(jù):
序 號(hào)12345678910
身高x(厘米)182164170176177159171166182166
體重y(公斤)76606176775862607857
序 號(hào)11121314151617181920
身高x(厘米)169178167174168179165170162170
體重y(公斤)76746877637859756473
(1)若“身高大于175厘米”的為“高個(gè)”，“身高小于等于175厘米”的為“非高個(gè)”；“體重大于75(公斤)”的為“胖子”，“體重小于等于75(公斤)”的為“非胖子”.請(qǐng)根據(jù)上表數(shù)據(jù)完成下面的 聯(lián)列表:
高 個(gè)非高個(gè)合 計(jì)
胖 子
非胖子12
合 計(jì)20
(2)根據(jù)題(1)中表格的數(shù)據(jù),若按99%的可靠性要求,能否認(rèn)為體重與身高之間有關(guān)系?
18.解:(1)
高個(gè)非高個(gè)合計(jì)
胖 子527
非胖子11213
合計(jì)61420
………4分
(2)假設(shè)兩變量沒(méi)有關(guān)系，依題題意
………8分
由表知: 認(rèn)為體重與身高之間有關(guān)的可能性為 ………10分
所以有理由認(rèn)為體重與身高之間有關(guān)系. ………12分
19.為從甲乙兩運(yùn)動(dòng)員中選拔一人，參加2010年廣州亞運(yùn)會(huì)體操項(xiàng)目，對(duì)甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行培訓(xùn).現(xiàn)分別從他們?cè)谂嘤?xùn)期間參加的若干次預(yù)賽成績(jī)中隨機(jī)抽取6次，得出莖葉圖如下：
(1)現(xiàn)要從中選拔一人參加亞運(yùn)會(huì)，從平均成績(jī)及發(fā)揮穩(wěn)定性的角度考慮，你認(rèn)為選派哪位學(xué)生參加合適？
(2)從甲運(yùn)動(dòng)員預(yù)賽成績(jī)中任取一次記為 ,從乙運(yùn)動(dòng)員預(yù)賽成績(jī)中任取一次記為 ,求
的概率.
解：根據(jù)莖葉圖，可得甲乙成績(jī)?nèi)缦拢?br>甲817978959384
乙929580758385
…………1分
(1)派甲參賽比較合適.理由如下： …………2分
，
，…………3分
，
…………5分
∵ ， ，∴甲的成績(jī)較穩(wěn)定，派甲參賽比較合適.…………6分
（2）記“甲運(yùn)動(dòng)員預(yù)賽成績(jī) ,大于乙運(yùn)動(dòng)員預(yù)賽成績(jī) ”為事A，…………7分
列表:
甲\乙929580758385
81 81，9281，9581，8081，7581，8381，85
79 79，9279，9579，8079，7579，8379，85
7878，9278，9578，8078，7578，8378，85
9595，9295，9595，8095，7595，8395，85
9393，9293，9593，8093，7593，8393，85
8484，9284，9584，8084，7584，8384，85
因此基本事共有36個(gè)，其中發(fā)生事A的有17個(gè)，…………9分
根據(jù)古典概型， . …………10分
答：選擇甲參加比賽更合適， 的概率為 .………………………………………12分
20.設(shè) ，在線段 上任取兩點(diǎn)（端點(diǎn) 除外），將線段 分成了三條線段，
（1）若分成的三條線段的長(zhǎng)度均為正整數(shù)，求這三條線段可以構(gòu)成三角形的概率；
（2）若分成的三條線段的長(zhǎng)度均為正實(shí)數(shù)，求這三條線段可以構(gòu)成三角形的概率．
解：（1）若分成的三條線段的長(zhǎng)度均為正整數(shù)，則三條線段的長(zhǎng)度的所有可能為：
共3種情況，其中只有三條線段為 時(shí)能構(gòu)成三角形，則構(gòu)成三角形的概率 ．………6分
（2）設(shè)其中兩條線段長(zhǎng)度分別為 ，則第三條線段長(zhǎng)度為 ，則全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?
， ， ，
即： ， ，
所表示的平面區(qū)域?yàn)槿切?；………8分
若三條線段 能構(gòu)成三角形，則還要滿足 ，即為 ，所表示的平面區(qū)域?yàn)槿切?………10分
由幾何概型知，所求的概率為 ．………12分
21.下表抄錄了2010年1至4月份每月10號(hào)的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù),得到如下資料:
日 期1月10日2月10日3月10日4月10日
晝夜溫差x(°C)1113128
就診人數(shù)y(個(gè))25292616
（1）已知兩變量 、 具有線性相關(guān)關(guān)系，求出 關(guān)于 的線性回歸方程 ；
（2）通過(guò)相關(guān)指數(shù)判斷回歸方程擬合效果.
解：（1）制表如下
1234合計(jì)
111312844
2529261696
2753773121281092
12116914464498
6258416762562398
； ；
………4分
根據(jù)兩變量 、 具有線性相關(guān)關(guān)系
由公式求得 ………6分
再由
所以 關(guān)于 的線性回歸方程為 ………8分
(2) ∵
………10分
∴ 因此擬合效果比較好.
………12分
22.為選拔學(xué)生做亞運(yùn)會(huì)志愿者，對(duì)某班50名學(xué)生進(jìn)行了一次體育測(cè)試，成績(jī)?nèi)拷橛?0與100之間，將測(cè)試結(jié)果按如下方式分成五組：每一組 ，第二組 ，……，第五組 ．下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.
（I）若成績(jī)大于或等于60且小于80，認(rèn)為合格，求該班在這次數(shù)學(xué)測(cè)試中成績(jī)合格的人數(shù)；
（II）從測(cè)試成績(jī)?cè)?內(nèi)的所有學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名同學(xué)，設(shè)其測(cè)試成績(jī)分別為 、 ，求事“ ”的概率.
解：（I）由直方圖知，成績(jī)?cè)?內(nèi)的人數(shù)為：
.
所以該班在這次數(shù)學(xué)測(cè)試中成績(jī)合格的有29人. ………4分
（II）由直方圖知，成績(jī)?cè)?的人數(shù)為 ，設(shè)為 、 ，
成績(jī)?cè)?的人數(shù)為 ，設(shè)為 ………6分
若 時(shí)，只有 1種情況，………7分
若 時(shí)，有 3種情況，………8分
若 分別在 和 內(nèi)時(shí)，有
xx
x
x
yy
y
y
共有6種情況.所以基本事總數(shù)為10種，………12分
事“ ”所包含的基本事個(gè)數(shù)有6種
∴P（ ） ………14分
本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://www.xiqigame.cn/gaosan/38435.html
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