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第3節(jié) 運(yùn)動(dòng)圖像追及相遇問題
【考綱知識(shí)梳理】
直線運(yùn)動(dòng)的（x-t圖像）位移—時(shí)間圖像
1.橫軸表示時(shí)間（從開始計(jì)時(shí)的各個(gè)時(shí)刻），縱軸表示位移（從計(jì)時(shí)開始任一時(shí)刻對(duì)應(yīng)的位置，即從計(jì)時(shí)開始的這段時(shí)間內(nèi)物體相對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)的位移）.
2.圖象的物理意義：
①反映做直線運(yùn)動(dòng)的物體位移隨時(shí)間變化的關(guān)系；
②圖線上任一點(diǎn)的斜率表示該時(shí)刻的瞬時(shí)速度大小.
3.應(yīng)用要點(diǎn)：
（1）兩圖線相交說(shuō)明兩物體相遇，其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示相遇的時(shí)刻，縱坐標(biāo)表示相遇處相對(duì)參考點(diǎn)的位移.
（2）圖象是直線表示物體做勻速直線運(yùn)動(dòng)或靜止；圖象是曲線則表示物體做變速運(yùn)動(dòng).
（3）圖象與橫軸交叉，表示物體從參考點(diǎn)的一邊運(yùn)動(dòng)到另一邊.
(4)圖象平行于t軸，說(shuō)明斜率為零，即物體的速度為零，表示物體靜止.圖線斜率為正值，表示物體沿與規(guī)定正方向相同的方向運(yùn)動(dòng)；圖線斜率為負(fù)值，表示物體沿與規(guī)定正方向相反的方向運(yùn)動(dòng).
二、直線運(yùn)動(dòng)的（v-t圖像）速度—時(shí)間圖像
1.物理意義：反映做直線運(yùn)動(dòng)的物體的速度隨時(shí)間變化的關(guān)系，如下圖所示。
2.圖像信息：
⑴
斜率
意義
大小表示加速度的大小，斜率越大代表加速度越大
正負(fù)正：a正方向
負(fù)：a負(fù)方向
⑵
圖線的曲直
直線表示物體做勻速直線運(yùn)動(dòng)或勻變速直線運(yùn)動(dòng)
曲線表示物體做變加速度直線運(yùn)動(dòng)
追及和相遇問題
1.速度小者追速度大者
類型圖象說(shuō)明
勻加速追勻速 ①t=t0以前，后面物體與前面物體間距離增大
②t=t0時(shí)，兩物體相距最遠(yuǎn)為x0+Δx
③t=t0以后，后面物體與前面物體間距離減小
④能追及且只能相遇一次
勻速追勻減速
勻加速追勻減速
2.速度大者追速度小者
勻減速追勻速 開始追及時(shí)，后面物體與前面物體間的距離在減小，當(dāng)兩物體速度相等時(shí)，即t=t0時(shí)刻：
①若Δx=x0,則恰能追及，兩物體只能相遇一次，這也是避免相撞的臨界條件
②若Δx③若Δx>x0,則相遇兩次，設(shè)t1時(shí)刻Δx1=x0,兩物體第一次相遇，則t2時(shí)刻兩物體第二次相遇
勻速追勻加速
勻減速追勻加速
說(shuō)明：
①表中的Δx是開始追及以后，后面物體因速度大而比前面物體多運(yùn)動(dòng)的位移；
②x0是開始追及以前兩物體之間的距離；
③t2-t0=t0-t1;
④v1是前面物體的速度，v2是后面物體的速度.
【要點(diǎn)名師透析】
一、運(yùn)動(dòng)圖象的認(rèn)識(shí)
1.x-t圖象和v-t圖象中能反映的空間關(guān)系只有一維，因此x-t圖象和v-t圖象只能描述直線運(yùn)動(dòng).
2.兩個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)情況如果用x-t圖象來(lái)描述，從圖象可知兩物體起始時(shí)刻的位置，如果用v-t圖象來(lái)描述，則從圖象中無(wú)法得到兩物體起始時(shí)刻的位置關(guān)系.
3.運(yùn)動(dòng)學(xué)圖象主要有x-t圖象和v-t圖象,運(yùn)用運(yùn)動(dòng)學(xué)圖象解題為“六看”：
4.應(yīng)用圖象解題的意義
(1)用圖象解題可使解題過程簡(jiǎn)化，思路更清晰，而且比解析法更巧妙、更靈活.在有些情況下運(yùn)用解析法可能無(wú)能為力，但是圖象法則會(huì)使你豁然開朗.
(2)利用圖象描述物理過程更直觀.物理過程可以用文字表述，也可以用數(shù)學(xué)式表達(dá)，還可以用物理圖象描述.如果能夠用物理圖象描述，一般來(lái)說(shuō)會(huì)更直觀且容易理解.
5.運(yùn)用圖象解答物理問題的重要步驟
(1)認(rèn)真審題，根據(jù)題中所需求解的物理量，結(jié)合相應(yīng)的物理規(guī)律確定所需的橫縱坐標(biāo)表示的物理量.
(2)根據(jù)題意，找出兩物理量的制約關(guān)系，結(jié)合具體的物理過程和相應(yīng)的物理規(guī)律作出函數(shù)圖象.
(3)由所作圖象結(jié)合題意，運(yùn)用函數(shù)圖象進(jìn)行表達(dá)、分析和推理，從而找出相應(yīng)的變化規(guī)律，再結(jié)合相應(yīng)的數(shù)學(xué)工具(即方程)求出相應(yīng)的物理量.
注意：(1)利用圖象分析物體的運(yùn)動(dòng)時(shí),關(guān)鍵是從圖象中找出有用的信息或?qū)㈩}目中的信息通過圖象直觀反映出來(lái).
(2)速度圖象向上傾斜不一定做加速運(yùn)動(dòng),向下傾斜不一定做減速運(yùn)動(dòng),關(guān)鍵分析速度v與加速度a的方向關(guān)系.
【例1】(2011?合肥模擬)物體A、B的x-t圖象如圖所示,由圖可知( )
A.從第3 s起,兩物體運(yùn)動(dòng)方向相同,且vA>vB
B.兩物體由同一位置開始運(yùn)動(dòng),但物體A比B遲3 s才開始運(yùn)動(dòng)
C.在5 s內(nèi)物體的位移相同,5 s末A、B相遇
D.5 s內(nèi)A、B的平均速度相等
【答案】選A.
【詳解】x-t圖象的斜率的大小表示物體運(yùn)動(dòng)的速度大小,斜率的正負(fù)表示物體運(yùn)動(dòng)的方向,由題圖可知,A對(duì)；B物體的出發(fā)點(diǎn)在離原點(diǎn)5 m處,A物體的出發(fā)點(diǎn)在原點(diǎn)處,B錯(cuò)；物體B在5 s內(nèi)的位移為10 m-5 m=5 m,物體A在3 s～5 s內(nèi)的位移為10 m,故C、D均錯(cuò).
二、分析追及相遇問題應(yīng)注意的兩個(gè)問題
1、一個(gè)條件：即兩個(gè)物體的速度所滿足的臨界條件，例如兩個(gè)物體距離最大或距離最小、后面的物體恰好追上前面的物體或恰好追不上前面的物體等情況下，速度所滿足的條件.
常見的情形有三種：一是做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)的物體甲，追趕同方向的做勻速直線運(yùn)動(dòng)的物體乙，這種情況一定能追上，在追上之前，兩物體的速度相等(即v甲=v乙)時(shí)，兩者之間的距離最大；二是做勻速直線運(yùn)動(dòng)的物體甲，追趕同方向的做勻加速直線運(yùn)動(dòng)的物體乙，這種情況不一定能追上，若能追上，則在相遇位置滿足v甲≥v乙；若追不上，則兩者之間有個(gè)最小距離，當(dāng)兩物體的速度相等時(shí)，距離最小；三是做勻減速直線運(yùn)動(dòng)的物體追趕做勻速直線運(yùn)動(dòng)的物體，情況和第二種情況相似.
2、兩個(gè)關(guān)系：即兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體的時(shí)間關(guān)系和位移關(guān)系.其中通過畫草圖找到兩個(gè)物體位移之間的數(shù)值關(guān)系是解決問題的突破口.
注意：分析追及和相遇問題的技巧
(1)緊抓“一圖三式”,即：過程示意圖,時(shí)間關(guān)系式、速度關(guān)系式和位移關(guān)系式.
(2)審題應(yīng)抓住題目中的關(guān)鍵字眼,充分挖掘題目中的隱含條件,如“剛好”、“恰好”、“最多”、“至少”等,往往對(duì)應(yīng)一個(gè)臨界狀態(tài),滿足相應(yīng)的臨界條件.
(3)若被追趕的物體做勻減速運(yùn)動(dòng)，一定要注意追上前該物體是否已經(jīng)停止運(yùn)動(dòng)，另外還要注意最后對(duì)解的討論分析.
【例2】A、B兩列火車，在同一軌道上同向行駛，A車在前，其速度vA=10 m/s，B車在后，速度vB=30 m/s，因大霧能見度很低，B車在距A車x0=75 m時(shí)才發(fā)現(xiàn)前方有A車，這時(shí)B車立即剎車，但B車要經(jīng)過180 m才能停止，問：B車剎車時(shí)A車仍按原速率行駛，兩車是否會(huì)相撞？若會(huì)相撞，將在B車剎車后何時(shí)相撞？若不會(huì)相撞，則兩車最近距離是多少？
【答案】見詳解
【詳解】B車剎車至停下來(lái)過程中，由 (2分)得 (1分)
解法(一)：物理分析法
假設(shè)不相撞，依題意畫出運(yùn)動(dòng)過程示意圖，如圖所示
設(shè)經(jīng)過時(shí)間t兩車速度相等，對(duì)B車有：vA=vB+aBt (2分)
解得 (1分)
此時(shí)B車的位移有 (2分)
A車的位移有xA=vAt=10×8=80 m (2分)
因xB＞x0+xA，故兩車會(huì)相撞 (2分)
設(shè)經(jīng)過時(shí)間t′兩車相撞，則有 (2分)
代入數(shù)據(jù)解得，t′1=6 s，t′2=10 s(舍去) (2分)
三、追及,相遇問題的處理方法
方法1:臨界條件法(物理法):當(dāng)追者與被追者到達(dá)同一位置,兩者速度相同,則恰能追上或恰追不上(也是二者避免碰撞的臨界條件)
方法2:判斷法(數(shù)學(xué)方法):若追者甲和被追者乙最初相距d0令兩者在t時(shí)相遇,則有x甲-x乙=d0,得到關(guān)于時(shí)間t的一元二次方程:當(dāng)Δ=b2-4ac>0時(shí),兩者相撞或相遇兩次;當(dāng)Δ=b2-4ac=0時(shí),兩者恰好相遇或相撞;Δ=b2-4ac<0時(shí),兩者不會(huì)相撞或相遇.
方法3:圖象法.
【例3】小汽車從靜止開始以3m/s2的加速度行駛，恰有一自行車一6m/s的速度從車邊勻速駛過。
⑴小汽車從運(yùn)動(dòng)到追上自行車之前經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間兩者相距最遠(yuǎn)？此時(shí)距離是多少？
⑵什么時(shí)候追上自行車，此時(shí)汽車的速度是多少？
⑴解法一：物理分析法
汽車開動(dòng)時(shí)速度由零逐漸增大，而自行車速度是定值，當(dāng)汽車速度還小于自行車速度是，兩者的距離越來(lái)越大，當(dāng)汽車的速度大于自行車速度時(shí)，兩者距離越來(lái)越小，所以當(dāng)兩車的速度相等時(shí)，兩車的距離最大，有 ，
所以 ，
解法二：極值法
設(shè)汽車追上自行車之前t時(shí)刻相距最遠(yuǎn)
利用二次函數(shù)求極值條件知：
解法三：圖像法
畫出汽車和自行車的v-t圖，
當(dāng)ts時(shí)兩車速度相等，
解法四：相對(duì)運(yùn)動(dòng)法
以自行車為參考系，汽車追上自行車之前初速度大小為6m/s，方向向后，加速度為大小為3m/s2，方向向前。經(jīng)分析汽車先遠(yuǎn)離自行車做勻減速直線運(yùn)動(dòng)末速度為零時(shí)相距最遠(yuǎn)，在靠近自行車做勻加速直線運(yùn)動(dòng)。
⑵由第一問第三種方法中可以知道當(dāng)t=4s時(shí)汽車追上自行車。
【感悟高考真題】
1.（2011?海南物理?T8）一物體自t=0時(shí)開始做直線運(yùn)動(dòng)，其速度圖線如圖所示。下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A.在0～6s內(nèi)，物體離出發(fā)點(diǎn)最遠(yuǎn)為30m
B.在0～6s內(nèi)，物體經(jīng)過的路程為40m[
C.在0～4s內(nèi)，物體的平均速率為7.5m/s
D. 5～6s內(nèi)，物體所受的合外力做負(fù)功
【答案】選BC。
【題文】根據(jù)圖像可知，前5s物體沿正方向運(yùn)動(dòng)，第6s物體沿負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，所以物體離出發(fā)點(diǎn)最遠(yuǎn)的時(shí)刻是第5s末，前5s的位移 m，第6s內(nèi)的位移大小 m。所以離出發(fā)點(diǎn)最遠(yuǎn)為35m，故A錯(cuò)誤；6s內(nèi)的路程 m，故B正確；前4s內(nèi)的位移是 m，平均速度 m/s，故C正確；在5～6s內(nèi)，物體的速度逐漸增大，動(dòng)能逐漸增大，合外力做正功，故D錯(cuò)誤。
2.（2011?新課標(biāo)全國(guó)卷?T24）甲乙兩輛汽車都從靜止出發(fā)做加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度方向一直不變。在第一段時(shí)間間隔內(nèi)，兩輛汽車的加速度大小不變，汽車乙的加速度大小是甲的兩倍；在接下來(lái)的相同時(shí)間間隔內(nèi)，汽車甲的加速度大小增加為原來(lái)的兩倍，汽車乙的加速度大小減小為原來(lái)的一半。求甲乙兩車各自在這兩段時(shí)間間隔內(nèi)走過的總路程之比。
【答案】57
【詳解】設(shè)汽車甲在第一段時(shí)間間隔末（時(shí)刻t0）的速度為v，第一段時(shí)間間隔內(nèi)行駛的路程為s1，加速度為a，在第二段時(shí)間間隔內(nèi)行駛的路程為s2，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有，
v=a t0 ①
s1=12 a t02 ②
s2=v t0＋12 2a t02 ③
設(shè)汽車乙在時(shí)刻t0的速度為v′，在第一、二段時(shí)間間隔內(nèi)行駛的路程分別為s1′、s2′，同理有，
v′=2a t0 ④
s1′=12 2a t02 ⑤
s2′=v′ t0＋12 a t02 ⑥
設(shè)甲、乙兩車行駛的總路程分別為s、s′，則有
s= s1＋s2 ⑦
s′= s1′＋s2′ ⑧
聯(lián)立以上各式解得，甲、乙兩車各自行駛路程之比為
ss′ =57
解答本題時(shí)可由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式分別寫出兩汽車的速度和位移方程，再根據(jù)兩車加速度的關(guān)系，求出兩車路程之比。
3.（2010?廣東高考）圖 是某質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度圖像，由圖像得到的正確結(jié)果是 （ ）
A．0～1 s內(nèi)的平均速度是2m/s
B. 0～2s內(nèi)的位移大小是3 m
C. 0～1s內(nèi)的加速度大于2～4s內(nèi)的加速度
D．0～1s內(nèi)的運(yùn)動(dòng)方向與2～4s內(nèi)的運(yùn)動(dòng)方向相反
【答案】選BC。
【詳解】由v-t圖像的面積可求得0—1s的位移s=1m,時(shí)間t=1s，由平均速度定義得： ，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；由v-t圖像的面積可求得0—2s的位移s=3m，故B選項(xiàng)正確；利用圖像斜率求出 0-1s的加速度：a1=2m/s2、2-4s的加速度a2=1m/s2、因而：a1> a2，故C選項(xiàng)正確；由圖像可見0-1s、2-4s兩個(gè)時(shí)間段內(nèi)速度均為正，表明速度都為正向，運(yùn)動(dòng)方向相同，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；
4.（2010?天津高考）質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)的v-t圖像如圖所示，規(guī)定向右為正方向，則該質(zhì)點(diǎn)在前8s內(nèi)平均速度的大小和方向分別為( )
A．0.25m/s 向右
B．0.25m/s 向左
C．1m/s 向右
D．1m/s 向左
【答案】選B.
【詳解】有圖線可知0-3s內(nèi)的位移為： ，方向?yàn)檎�方向�?-8s內(nèi)的位移為： ，方向?yàn)樨?fù)方向；0-8s內(nèi)的位移為： ；該段時(shí)間內(nèi)的平均速度為： ，負(fù)號(hào)表示方向是向左的。故B正確，A.C.D錯(cuò)誤.
5.（2010?全國(guó)Ⅰ高考）汽車由靜止開始在平直的公路上行駛，0～60s內(nèi)汽車的加速度隨時(shí)間變化的圖線如右圖12所示。
⑴畫出汽車在0～60s內(nèi)的v-t圖線；
⑵求在這60s內(nèi)汽車行駛的路程。
【答案】⑴速度圖像為上圖13所示, ⑵900m
【詳解】(1)由加速度圖像可知前10s汽車做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，中間30s汽車做勻速直線運(yùn)動(dòng),后20s汽車做勻減速直線運(yùn)動(dòng)到停止. (2分)
由a-t圖和勻變速直線運(yùn)動(dòng)的公式,得
vm=a1t1= 20m/s。 (2分)
建立v-t坐標(biāo)系,根據(jù)上面所求可畫出速度圖像如右圖13所示. (4分)
(2)由速度圖像的面積可求出汽車作勻加速、勻速、勻減速三段運(yùn)動(dòng)的位移之和, (3分)
即: （m） (4分)
6.（09?山東?17）某物體做直線運(yùn)動(dòng)的v-t圖象如圖甲所示，據(jù)此判斷圖乙（F表示物體所受合力，x表示物體的位移）四個(gè)選項(xiàng)中正確的是 （ B ）
解析：由圖甲可知前兩秒物體做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，所以前兩秒受力恒定，2s-4s做正方向勻加速直線運(yùn)動(dòng)，所以受力為負(fù)，且恒定，4s-6s做負(fù)方向勻加速直線運(yùn)動(dòng)，所以受力為負(fù)，恒定，6s-8s做負(fù)方向勻減速直線運(yùn)動(dòng)，所以受力為正，恒定，綜上分析B正確。
考點(diǎn)：v-t圖象、牛頓第二定律
提示：在v-t圖象中傾斜的直線表示物體做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，加速度恒定，受力恒定。
速度——時(shí)間圖象特點(diǎn)：
①因速度是矢量，故速度——時(shí)間圖象上只能表示物體運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)方向，t軸上方代表的“正方向”，t軸下方代表的是“負(fù)方向”，所以“速度——時(shí)間”圖象只能描述物體做“直線運(yùn)動(dòng)”的情況，如果做曲線運(yùn)動(dòng)，則畫不出物體的“位移——時(shí)間”圖象；
②“速度——時(shí)間”圖象沒有時(shí)間t的“負(fù)軸”，因時(shí)間沒有負(fù)值，畫圖要注意這一點(diǎn)；
③“速度——時(shí)間”圖象上圖線上每一點(diǎn)的斜率代表的該點(diǎn)的加速度，斜率的大小表示加速度的大小，斜率的正負(fù)表示加速度的方向；
④“速度——時(shí)間”圖象上表示速度的圖線與時(shí)間軸所夾的“面積”表示物體的位移。
7.（09?全國(guó)卷Ⅱ?15）兩物體甲和乙在同一直線上運(yùn)動(dòng)，它們?cè)?～0.4s時(shí)間內(nèi)的v-t圖象如圖所示。若僅在兩物體之間存在相互作用，則物體甲與乙的質(zhì)量之比和圖中時(shí)間t1分別為 （ B ）
A． 和0.30s B．3和0.30s
C． 和0.28s D．3和0.28s
解析：本題考查圖象問題.根據(jù)速度圖象的特點(diǎn)可知甲做勻加速,乙做勻減速.根據(jù) 得 ,根據(jù)牛頓第二定律有 ,得 ,由 ,得t=0.3s,B正確。
8.（09?江蘇物理?9）如圖所示，兩質(zhì)量相等的物塊A、B通過一輕質(zhì)彈簧連接，B足夠長(zhǎng)、放置在水平面上，所有接觸面均光滑。彈簧開始時(shí)處于原長(zhǎng)，運(yùn)動(dòng)過程中始終處在彈性限度內(nèi)。在物塊A上施加一個(gè)水平恒力，A、B從靜止開始運(yùn)動(dòng)到第一次速度相等的過程中，下列說(shuō)法中正確的有 （ BCD ）
A．當(dāng)A、B加速度相等時(shí)，系統(tǒng)的機(jī)械能最大
B．當(dāng)A、B加速度相等時(shí)，A、B的速度差最大
C．當(dāng)A、B的速度相等時(shí)，A的速度達(dá)到最大
D．當(dāng)A、B的速度相等時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能最大
解析：處理本題的關(guān)鍵是對(duì)物體進(jìn)行受力分析和運(yùn)動(dòng)過程分析，使用圖象處理則可以使問題大大簡(jiǎn)化。對(duì)A、B在水平方向受力分析如圖，F(xiàn)1為彈簧的拉力；當(dāng)加速度大小相同為a時(shí)，對(duì)Ａ有 ，對(duì)Ｂ有 ，得 ，在整個(gè)過程中Ａ的合力（加速度）一直減小而Ｂ的合力（加速度）一直增大，在達(dá)到共同加速度之前A的合力（加速度）一直大于Ｂ的合力（加速度），之后A的合力（加速度）一直小于Ｂ的合力（加速度）。兩物體運(yùn)動(dòng)的v-t圖象如圖，tl時(shí)刻，兩物體加速度相等，斜率相同，速度差最大，t2時(shí)刻兩物體的速度相等，Ａ速度達(dá)到最大值，兩實(shí)線之間圍成的面積有最大值即兩物體的相對(duì)位移最大，彈簧被拉到最長(zhǎng)；除重力和彈簧彈力外其它力對(duì)系統(tǒng)正功，系統(tǒng)機(jī)械能增加，tl時(shí)刻之后拉力依然做正功，即加速度相等時(shí)，系統(tǒng)機(jī)械能并非最大值。
9.（09?廣東物理?3）某物體運(yùn)動(dòng)的速度圖像如圖，根據(jù)圖像可知 （ AC ）
A.0-2s內(nèi)的加速度為1m/s2
B.0-5s內(nèi)的位移為10m
C.第1s末與第3s末的速度方向相同
D.第1s末與第5s末加速度方向相同
解析：v-t 圖像反映的是速度v隨時(shí)t 的變化規(guī)律，其斜率表示的是加速度，A正確；圖中圖像與坐標(biāo)軸所圍成的梯形面積表示的是0-5s內(nèi)的位移為7m，在前5s內(nèi)物體的速度都大于零，即運(yùn)動(dòng)方向相同，C正確；0-2s加速度為正，4-5s加速度為負(fù)，方向不同。
10.（09?海南物理?7）一物體在外力的作用下從靜止開始做直線運(yùn)動(dòng)，合外力方向不變，大小隨時(shí)間的變化如圖所示。設(shè)該物體在 和 時(shí)刻相對(duì)于出發(fā)點(diǎn)的位移分別是 和 ，速度分別是 和 ，合外力從開始至 時(shí)刻做的功是 ，從 至 時(shí)刻做的功是 ,則 （ AC ）
A． B．
C． D．
11.（09?海南物理?8）甲乙兩車在一平直道路上同向運(yùn)動(dòng)，其 圖像如圖所示，圖中 和 的面積分別為 和 .初始時(shí)，甲車在乙車前方 處。 （ ABC ）
A．若 ，兩車不會(huì)相遇
B．若 ，兩車相遇2次
C．若 ，兩車相遇1次
D．若 ，兩車相遇1次
12.（09?廣東理科基礎(chǔ)?3）圖1是甲、乙兩物體做直線運(yùn)動(dòng)的v一t圖象。下列表述正確的是 （ A ）
A．乙做勻加速直線運(yùn)動(dòng)
B．0一ls內(nèi)甲和乙的位移相等
C．甲和乙的加速度方向相同
D．甲的加速度比乙的小
解析：甲乙兩物體在速度圖象里的圖形都是傾斜的直線表明兩物體都是勻變速直線,乙是勻加速，甲是勻減速,加速度方向不同A對(duì)C錯(cuò)；根據(jù)在速度圖象里面積表示位移的方法可知在0一ls內(nèi)甲通過的位移大于乙通過的位移.B錯(cuò)；根據(jù)斜率表示加速度可知甲的加速度大于乙的加速度，D錯(cuò)。
13.（09?廣東理科基礎(chǔ)?9）物體在合外力作用下做直線運(yùn)動(dòng)的v一t圖象如圖所示。下列表述正確的是 （ A ）
A．在0—1s內(nèi)，合外力做正功
B．在0—2s內(nèi)，合外力總是做負(fù)功
C．在1—2s內(nèi)，合外力不做功
D．在0—3s內(nèi)，合外力總是做正功
解析：根據(jù)物體的速度圖象可知，物體0-1s內(nèi)做勻加速合外力做正功，A正確；1-3s內(nèi)做勻減速合外力做負(fù)功。根據(jù)動(dòng)能定理0到3s內(nèi)，1—2s內(nèi)合外力做功為零。
14.（09年福建卷）21.如圖甲，在水平地面上固定一傾角為θ的光滑絕緣斜面，斜面處于電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E、方向沿斜面向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)中。一勁度系數(shù)為k的絕緣輕質(zhì)彈簧的一端固定在斜面底端，整根彈簧處于自然狀態(tài)。一質(zhì)量為m、帶電量為q（q>0）的滑塊從距離彈簧上端為s0處?kù)o止釋放，滑塊在運(yùn)動(dòng)過程中電量保持不變，設(shè)滑塊與彈簧接觸過程沒有機(jī)械能損失，彈簧始終處在彈性限度內(nèi)，重力加速度大小為g。
（1）求滑塊從靜止釋放到與彈簧上端接觸瞬間所經(jīng)歷的時(shí)間t1
（2）若滑塊在沿斜面向下運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過程中最大速度大小為vm，求滑塊從靜止釋
放到速度大小為vm過程中彈簧的彈力所做的功W；
（3）從滑塊靜止釋放瞬間開始計(jì)時(shí)，請(qǐng)?jiān)谝覉D中畫出滑塊在沿斜面向下運(yùn)動(dòng)的整
個(gè)過程中速度與時(shí)間關(guān)系v-t圖象。圖中橫坐標(biāo)軸上的t1、t2及t3分別表示滑塊第一次與彈簧上端接觸、第一次速度達(dá)到最大值及第一次速度減為零的時(shí)刻，縱坐標(biāo)軸上的v1為滑塊在t1時(shí)刻的速度大小，vm是題中所指的物理量。（本小題不要求寫出計(jì)算過程）
答案：（1） ; （2） ;
(3)
解析：本題考查的是電場(chǎng)中斜面上的彈簧類問題。涉及到勻變速直線運(yùn)動(dòng)、運(yùn)用動(dòng)能定理處理變力功問題、最大速度問題和運(yùn)動(dòng)過程分析。
（1）滑塊從靜止釋放到與彈簧剛接觸的過程中作初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)加速度大小為a，則有
qE+mgsin =ma ①
②
聯(lián)立①②可得
③
（2）滑塊速度最大時(shí)受力平衡，設(shè)此時(shí)彈簧壓縮量為 ，則有
④
從靜止釋放到速度達(dá)到最大的過程中，由動(dòng)能定理得
⑤
聯(lián)立④⑤可得
s
（3）如圖
15.（09?上海物理?24）（14分）如圖，光滑的平行金屬導(dǎo)軌水平放置，電阻不計(jì)，導(dǎo)軌間距為l，左側(cè)接一阻值為R的電阻。區(qū)域cdef內(nèi)存在垂直軌道平面向下的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)寬度為s。一質(zhì)量為m，電阻為r的金屬棒MN置于導(dǎo)軌上，與導(dǎo)軌垂直且接觸良好，受到F＝0.5v＋0.4（N）（v為金屬棒運(yùn)動(dòng)速度）的水平力作用，從磁場(chǎng)的左邊界由靜止開始運(yùn)動(dòng)，測(cè)得電阻兩端電壓隨時(shí)間均勻增大。（已知l＝1m，m＝1kg，R＝0.3?，r＝0.2?，s＝1m）
（1）分析并說(shuō)明該金屬棒在磁場(chǎng)中做何種運(yùn)動(dòng)；
（2）求磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大�。�
（3）若撤去外力后棒的速度v隨位移x的變化規(guī)律滿足v＝v0－B2l2m（R＋r） x，且棒在運(yùn)動(dòng)到ef處時(shí)恰好靜止，則外力F作用的時(shí)間為多少？
（4）若在棒未出磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)撤去外力，畫出棒在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中速度隨位移的變化所對(duì)應(yīng)的各種可能的圖線。
解析：（1）金屬棒做勻加速運(yùn)動(dòng)，R兩端電壓U?I???v，U隨時(shí)間均勻增大，即v隨時(shí)間均勻增大，加速度為恒量；
（2）F－B2l2vR＋r ＝ma，以F＝0.5v＋0.4
代入得（0.5－B2l2R＋r ）v＋0.4＝a
a與v無(wú)關(guān)，所以a＝0.4m/s2，（0.5－B2l2R＋r ）＝0
得B＝0.5T
（3）x1＝12 at2，v0＝B2l2m（R＋r） x2＝at，x1＋x2＝s，所以12 at2＋m（R＋r）B2l2 at＝s
得：0.2t2＋0.8t－1＝0，t＝1s，
（4）可能圖線如下：
【考點(diǎn)模擬演練】
1.某人騎自行車在平直道路上行進(jìn)，圖中的實(shí)線記錄了自行車開始一段時(shí)間內(nèi)的v-t圖象.某同學(xué)為了簡(jiǎn)化計(jì)算，用虛線作近似處理，下列說(shuō)法正確的是()
A.在t1時(shí)刻，虛線反映的加速度比實(shí)際的大
B.在0-t1時(shí)間內(nèi)，由虛線計(jì)算出的平均速度比實(shí)際的大
C.在t1-t2時(shí)間內(nèi)，由虛線計(jì)算出的位移比實(shí)際的大
D.在t3-t4時(shí)間內(nèi)，虛線反映的是勻速運(yùn)動(dòng)
【答案】BD
【詳解】v-t圖象的斜率表示加速度的大小，在t1時(shí)刻虛線斜率小，反映的加速度小，所以A錯(cuò)誤.v-t圖象包圍的面積表示位移的大小，0～t1時(shí)間內(nèi)虛線包圍面積大，則求得平均速度大，所以B正確，同理C錯(cuò)誤.在t3～t4時(shí)間內(nèi)，虛線是一段與時(shí)間軸平行的直線，反映速度不變，所以是勻速運(yùn)動(dòng)，則D正確.
2.質(zhì)量為1500kg的汽車在平直的公路上運(yùn)動(dòng)，v-t圖象如圖所示.由此可求()
A.前25s內(nèi)汽車的平均速度
B.前10s內(nèi)汽車的加速度
C.前10s內(nèi)汽車所受的阻力
D.15～25s內(nèi)合外力對(duì)汽車所做的功
【答案】ABD
【詳解】由題圖知，汽車25s內(nèi)的位移為 故前25s內(nèi)汽車平均速度 可求，A正確；由題圖知前10s內(nèi)汽車做初速度為0的勻加速直線運(yùn)動(dòng)， ，
B正確；結(jié)合題圖分析，因牽引力未知，故前10s內(nèi)汽車所受阻力無(wú)法求得，
C錯(cuò)誤；由題干條件和動(dòng)能定理可知， 故15～25s內(nèi)合外力對(duì)汽車所做的功可求得，D正確.
3.(2011?常州模擬)如圖所示，有一質(zhì)點(diǎn)從t＝0時(shí)刻開始，由坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)沿v軸的方向運(yùn)動(dòng)，則以下說(shuō)法不正確的是( )
A.t＝1 s時(shí)，離開原點(diǎn)的位移最大
B.t＝2 s時(shí)，離開原點(diǎn)的位移最大
C.t＝4 s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)回到原點(diǎn)
D.0到1 s與3 s到4 s的加速度相同
【答案】選A.
【詳解】根據(jù)v-t圖象在各階段為直線，可知質(zhì)點(diǎn)在各階段均做勻變速直線運(yùn)動(dòng)：在0～1 s內(nèi)沿v軸正方向的速度不斷增加，故做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)；在1 s～2 s內(nèi)沿
v軸正方向做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，2 s時(shí)離原點(diǎn)最遠(yuǎn)，A錯(cuò)B對(duì)；在2 s～3 s內(nèi)沿v軸負(fù)方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)；在3 s～4 s內(nèi)沿v軸負(fù)方向做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，4 s時(shí)回到原點(diǎn)，C對(duì)；在0～1 s和3 s～4 s內(nèi)加速度大小和方向均相同，D正確.故選A.
4.(2011?泉州模擬)如圖是一輛汽車做直線運(yùn)動(dòng)的x-t圖象，對(duì)線段OA、AB、BC、CD所表示的運(yùn)動(dòng)，下列說(shuō)法正確的是( )
A.OA段運(yùn)動(dòng)速度最大
B.AB段物體做勻速運(yùn)動(dòng)
C.CD段的運(yùn)動(dòng)方向與初始運(yùn)動(dòng)方向相反
D.運(yùn)動(dòng)4 h汽車的位移大小為30 km
【答案】選C.
【詳解】由圖象的斜率可知CD段的運(yùn)動(dòng)方向與初始運(yùn)動(dòng)方向相反且速度最大，A錯(cuò)C對(duì)；AB段表示汽車處于靜止?fàn)顟B(tài)，B錯(cuò)；運(yùn)動(dòng)4h汽車的位移為零，D錯(cuò).
5.(2011?長(zhǎng)沙模擬)在平直公路上，自行車與同方向行駛的一輛汽車在t=0時(shí)同時(shí)經(jīng)過某一個(gè)路標(biāo)，它們的位移隨時(shí)間變化的規(guī)律為：汽車x=10t-t2，自行車x=5t，(x的單位為m，t的單位為s)，則下列說(shuō)法正確的是( )
A.汽車做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，自行車做勻速直線運(yùn)動(dòng)
B.經(jīng)過路標(biāo)后的較短時(shí)間內(nèi)自行車在前，汽車在后
C.在t=2.5 s時(shí)，自行車和汽車相距最遠(yuǎn)
D.當(dāng)兩者再次同時(shí)經(jīng)過同一位置時(shí)，它們距路標(biāo)12.5 m
【答案】選C.
【詳解】由汽車和自行車位移隨時(shí)間變化的規(guī)律知，汽車做勻減速運(yùn)動(dòng)，v0=10 m/s，a=-2 m/s2，自行車做勻速直線運(yùn)動(dòng)，v=5 m/s，故A、B錯(cuò)誤.當(dāng)汽車速度和自行車速度相等時(shí)，相距最遠(yuǎn).根據(jù)v=v0+at，t=2.5 s，C正確.當(dāng)兩車位移相等時(shí)再次經(jīng)過同一位置,故10t′-t′2=5t′,解得t′=5 s,
x=25 m，故D錯(cuò)誤.
6. (2011?湛江一中高三第一次月考)如右圖所示是某質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)的v－t圖象，由圖可知這個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況是(　　)
A．前5 s做的是勻速運(yùn)動(dòng)
B．5 s～15 s內(nèi)做勻加速運(yùn)動(dòng)，加速度為1 m/s2
C．15 s～20 s內(nèi)做勻減速運(yùn)動(dòng)，加速度為3.2 m/s2
D．質(zhì)點(diǎn)15 s末離出發(fā)點(diǎn)最遠(yuǎn)，20秒末回到出發(fā)點(diǎn)
【答案】A
【詳解】由圖象可知前5 s做的是勻速運(yùn)動(dòng)，A正確；5 s～15 s內(nèi)做勻加速運(yùn)動(dòng)，但加速度為0.8 m/s2，B錯(cuò)誤；15 s～20 s做勻減速運(yùn)動(dòng)，其加速度為－(16/5)m/s2＝－3.2 m/s2，C錯(cuò)誤；質(zhì)點(diǎn)在20 s末離出發(fā)點(diǎn)最遠(yuǎn)，質(zhì)點(diǎn)一直做的是方向不變的直線運(yùn)動(dòng)，D錯(cuò)誤．
7. (2011?安徽省級(jí)示范高中名校聯(lián)考)甲、乙兩輛汽車，同時(shí)在一條平直的公路上自西向東運(yùn)動(dòng)，開始時(shí)刻兩車平齊，相對(duì)于地面的v－t圖象如圖所示，關(guān)于它們的運(yùn)動(dòng)，下列說(shuō)法正確的是(　　)
A．甲車中的乘客說(shuō)，乙車先以速度v0向西做勻減速運(yùn)動(dòng)，后向東做勻加速運(yùn)動(dòng)
B．乙車中的乘客說(shuō)，甲車先以速度v0向西做勻減速運(yùn)動(dòng)，后做勻加速運(yùn)動(dòng)
C．根據(jù)v－t圖象可知，開始乙車在前，甲車在后，兩車距離先減小后增大，當(dāng)乙車速度增大到v0時(shí)，兩車恰好平齊
D．根據(jù)v－t圖象可知，開始甲車在前，乙車在后，兩車距離先增大后減小，當(dāng)乙車速度增大到v0時(shí)，兩車恰好平齊
【答案】A
【詳解】甲車中的乘客以甲車為參考系，相當(dāng)于甲車靜止不動(dòng)，乙車以初速度v0向西做減速運(yùn)動(dòng)，速度減為零之后，再向東做加速運(yùn)動(dòng)，所以A正確；乙車中的乘客以乙車為參考系，相當(dāng)于乙車靜止不動(dòng)，甲車以初速度v0向東做減速運(yùn)動(dòng)，速度減為零之后，再向西做加速運(yùn)動(dòng)，所以B錯(cuò)誤；以地面為參考系，當(dāng)兩車速度相等時(shí)，距離最遠(yuǎn)，所以C、D錯(cuò)誤．
8. (2011?東北三校聯(lián)考)從同一地點(diǎn)同時(shí)開始沿同一直線運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)物體Ⅰ、Ⅱ的速度—時(shí)間圖象如圖所示．在0～t2時(shí)間內(nèi)，下列說(shuō)法中正確的是(　　)
A．Ⅰ物體所受的合外力不斷增大，Ⅱ物體所受的合外力不斷減小
B．在第一次相遇之前，t1時(shí)刻兩物體相距最遠(yuǎn)
C．t2時(shí)刻兩物體相遇
D．Ⅰ、Ⅱ兩個(gè)物體的平均速度大小都是v1＋v22
【答案】B
【詳解】速度—時(shí)間圖象中Ⅰ物體的斜率逐漸減小，即Ⅰ物體的加速度逐漸減小，所以Ⅰ物體所受合外力不斷減小，A錯(cuò)誤；在0～t1時(shí)間內(nèi)，Ⅱ物體的速度始終大于Ⅰ物體的速度，所以兩物體間距離不斷增大，當(dāng)兩物體速度相等時(shí)，兩物體相距最遠(yuǎn)，B正確；在速度—時(shí)間圖象中圖線與坐標(biāo)軸所圍面積表示位移，故到t2時(shí)刻，Ⅰ物體速度圖線所圍面積大于Ⅱ物體速度圖線所圍面積，兩物體平均速度不可能相同，C、D錯(cuò)誤．
9. 汽車的加速性能是反映汽車性能的重要指標(biāo)．速度變化得越快，表明它的加速性能越好．圖為研究甲、乙、丙三輛汽車加速性能得到的v－t圖象，根據(jù)圖象可以判定
(　　)
A．甲車的加速性能最好
B．乙比甲的加速性能好
C．丙比乙的加速性能好
D．乙、丙兩車的加速性能相同
【答案】BD
【詳解】圖象的斜率表示加速度，加速度越大，加速性能越好，由圖象可知B、D正確．
10.一輛汽車以10 m/s的速度沿平直公路勻速運(yùn)動(dòng)，司機(jī)發(fā)現(xiàn)前方有障礙物立即減速，以0.2 m/s2的加速度做勻減速運(yùn)動(dòng)，減速后一分鐘內(nèi)汽車的位移是( )
A.240 m B.250 m C.260 m D.90 m
【答案】選B.
【詳解】設(shè)汽車從開始減速到停止所用時(shí)間為t,則v0=at，解得t=50 s.根據(jù) 解得50 s內(nèi)的位移為250 m，故B正確.
11.(2011?綿陽(yáng)模擬)(12分)如圖所示，公路上一輛汽車以v1=10 m/s的速度勻速行駛，汽車行至A點(diǎn)時(shí)，一人為搭車，從距公路30 m的C處開始以v2=3 m/s的速度正對(duì)公路勻速跑去，司機(jī)見狀途中剎車，汽車做勻減速運(yùn)動(dòng),結(jié)果車和人同時(shí)到達(dá)B點(diǎn),已知AB=80 m，問：汽車在距A點(diǎn)多遠(yuǎn)處開始剎車，剎車后汽車的加速度有多大？
【答案】60 m 2.5 m/s2
【詳解】人從C到B用時(shí) 這一時(shí)間內(nèi)汽車由A
到B且停在B點(diǎn)，設(shè)車從A經(jīng)t1，開始剎車.v1t1+(t-t1) =xAB (3分)
代入數(shù)據(jù)解得：t1=6 s (3分)
所以x1=v1t1=60 m， (3分)
(3分)
12. 在十字路口，汽車以0.5m/s2的加速度從停車線起動(dòng)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，恰有一輛自行車以5m/s的速度勻速駛過停車線與汽車同方向行駛，求：
（1）什么時(shí)候它們相距最遠(yuǎn)；最大距離是多少；
（2）在什么地方汽車追上自行車；追到時(shí)汽車速度是多少.
【答案】見詳解
【詳解】（1）初始階段，自行車速度大于汽車速度，只要汽車速度小于自行車速度，兩車距離總是在不斷增大.當(dāng)汽車速度增大到大于自行車速度時(shí)，兩車距離逐漸減小，所以兩車速度相等時(shí)，距離最大.
（1）設(shè)自行車速度為v，汽車加速度為a，經(jīng)時(shí)間t兩車相距最遠(yuǎn).
則v=at，所以t= 最大距離
(2)若經(jīng)過時(shí)間t′,汽車追上自行車，則vt′= at′2
解得
追上自行車時(shí)汽車的速度v′=at′=0.5×20=10m/s.


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