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j.Co M
2012屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)
專題六 立體幾何
【重點(diǎn)知識(shí)回顧】
穩(wěn)定中有所創(chuàng)新,由知識(shí)立意轉(zhuǎn)為能力立意
（1） 考查重點(diǎn)及難點(diǎn)穩(wěn)定：高考始終把空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行與垂直的性質(zhì)與判定,以及求線面角、二面角等知識(shí)都是重點(diǎn)考查的內(nèi)容，其中線線角、線面角、二面角的求解更是重中之重在難度上平穩(wěn)過(guò)渡，始終以中等偏難為主。實(shí)行新課程的高考，命題者在求穩(wěn)的同時(shí)注重創(chuàng)新高考創(chuàng)新，主要體現(xiàn)在命題的立意和思路上注重對(duì)學(xué)生能力的考查
（2）空間幾何體中的三視圖仍是高考的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)解答題的考查形式仍要注重在一個(gè)具體立體幾何模型中考查線面的關(guān)系
（3）使用，“向量”仍將會(huì)成為高考命題的熱點(diǎn)，一般選擇題、填空題重在考查向量的概念、數(shù)量積及其運(yùn)算律在有些立體幾何的解答題中，建立空間直角坐標(biāo)系，以向量為工具，利用空間向量的坐標(biāo)和數(shù)量積解決直線、平面問(wèn)題的位置關(guān)系、角度、長(zhǎng)度等問(wèn)題，比用傳統(tǒng)立體幾何的方法簡(jiǎn)便快捷，空間向量的數(shù)量積及坐標(biāo)運(yùn)算仍是2012年高考命題的重點(diǎn)
（4）支持新課改，在重疊部分做文章,在知識(shí)交匯點(diǎn)處命題
立體幾何中平行、垂直關(guān)系證明的思路清楚嗎？
平行垂直的證明主要利用線面關(guān)系的轉(zhuǎn)化：

線面平行的判定：


線面平行的性質(zhì)：

三垂線定理（及逆定理）：

線面垂直：


面面垂直：



三類角的定義及求法
（1）異面直線所成的角θ，0°＜θ≤90°

（2）直線與平面所成的角θ，0°≤θ≤90°


（三垂線定理法：A∈α作或證AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，連AO，則AO⊥棱l，∴∠AOB為所求。）
三類角的求法：
①找出或作出有關(guān)的角。
②證明其符合定義，并指出所求作的角。
③計(jì)算大�。ń庵苯侨�角形，或用余弦定理）。
點(diǎn)與點(diǎn)，點(diǎn)與線，點(diǎn)與面，線與線，線與面，面與面間距離。
將空間距離轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)的距離，構(gòu)造三角形，解三角形求線段的長(zhǎng)（如：三垂線定理法，或者用等積轉(zhuǎn)化法）。
如：正方形ABCD?A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為a，則：
（1）點(diǎn)C到面AB1C1的距離為_(kāi)__________；
（2）點(diǎn)B到面ACB1的距離為_(kāi)___________；
（3）直線A1D1到面AB1C1的距離為_(kāi)___________；
（4）面AB1C與面A1DC1的距離為_(kāi)___________；
（5）點(diǎn)B到直線A1C1的距離為_(kāi)____________。

你是否準(zhǔn)確理解正棱柱、正棱錐的定義并掌握它們的性質(zhì)？
正棱柱??底面為正多邊形的直棱柱
正棱錐??底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心。

正棱錐的計(jì)算集中在四個(gè)直角三角形中：

它們各包含哪些元素？


球有哪些性質(zhì)？

（2）球面上兩點(diǎn)的距離是經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)的大圓的劣弧長(zhǎng)。為此，要找球心角！
（3）如圖，θ為緯度角，它是線面成角；α為經(jīng)度角，它是面面成角。


（5）球內(nèi)接長(zhǎng)方體的對(duì)角線是球的直徑。正四面體的外接球半徑R與內(nèi)切球半徑r之比為R：r＝3：1。

【典型例題】
1，空間幾何體及三視圖
例1．用一些棱長(zhǎng)為1cm的小正方體碼放成一個(gè)幾何體，圖1為其俯視圖，圖2為其主視圖則這個(gè)幾何體的體積最大是 7 cm3．



圖1（俯視圖） 圖2（主視圖）
例2.一個(gè)多面體的直觀圖及三視圖如圖所示，則多面體 的體積為 ▲ ．


例4.右圖是由一些相同的小正方體構(gòu)成的幾何體的三視圖，這些相同的小正方體共有▲ 個(gè)．5
例5．如果一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位長(zhǎng)度: cm), 則此幾何體的表面積是 。

例 6.矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC將矩形ABCD折成一個(gè)直二面角B－AC－D，則四面體ABCD的外接球的體積為
例7.一個(gè)幾何體的三視圖中，正視圖和側(cè)視圖都是矩形，俯視圖是等腰直角三角形（如圖），根據(jù)圖中標(biāo)注的長(zhǎng)度，可以計(jì)算出該幾何體的表面積是 12+4 ．
2.平行與垂直
例8.已知：正方體 ， ，E為棱 的中點(diǎn)．
⑴求證： ；
⑵求證： 平面 ；⑶求三棱錐 的體積

證明：連結(jié) ，則 // ， ∵ 是正方形，∴ ．
∵ 面 ，∴ ．
又 ，∴ 面 ．
∵ 面 ，∴ ，
∴ ．
⑵證明：作 的中點(diǎn)F，連結(jié) ．
∵ 是 的中點(diǎn)，∴ ，
∴四邊形 是平行四邊形，∴ ．
∵ 是 的中點(diǎn)，∴ ，
又 ，∴ ．
∴四邊形 是平行四邊形， // ，
∵ ， ，
∴平面 面 ．
又 平面 ，∴ 面
例9. 多面體 中， ， ， ， 。
（1）求證： ；
（2）求證：
證明：（1）∵

∴
（2）令 中點(diǎn)為 ， 中點(diǎn)為 ，連結(jié) 、
∵ 是 的中位線
∴
又∵
∴
∴
∴
∵ 為正
∴
∴
又∵ ，
∴四邊形 為平行四邊形
∴
∴
例10．如圖四邊形 是菱形， 平面 ， 為 的中點(diǎn). 求證：
⑴ ∥平面 ；
⑵ 平面 平面 .
解：證：設(shè) ,連
⑴ ∵ 為菱形， ∴ 為 中點(diǎn)，又 為 中點(diǎn)。
∴ ∥
又 , ∴ ∥
⑵ ∵ 為菱形， ∴ ,
又∵ ， ∴
又 ∴ 又
∴
3.距離與角
例11．已知 所在的平面互相垂直，且ＡＢ＝ＢＣ＝ＢＤ， ，求：
⑴．直線AD與平面BCD所成角的大��；
⑵．直線AD與直線BC所成角的大��；
⑶．二面角A-BD-C的余弦值．
⑴如圖，在平面ABC內(nèi)，過(guò)A作AH⊥BC，垂足為H，
則AH⊥平面DBC，∴∠ADH即為直線AD與平面BCD所成的角
由題設(shè)知△AHB≌△AHD，則DH⊥BH，AH=DH，∴∠ADH=45°
⑵∵BC⊥DH，且DH為AD在平面BCD上的射影，
∴BC⊥AD，故AD與BC所成的角為90°
⑶過(guò)H作HR⊥BD，垂足為R，連結(jié)AR，則由三垂線定理知，AR⊥BD，故∠ARH為二面角A?BD?C的平面角的補(bǔ)角 設(shè)BC=a,則由題設(shè)知，AH=DH= ,在△HDB中，HR= a，∴tanARH= =2
故二面角A?BD?C的余弦值的大小為
【點(diǎn)評(píng)】:本題著眼于讓學(xué)生掌握通性通法。幾何法在書寫上體現(xiàn)：“作出來(lái)、證出來(lái)、指出來(lái)、算出來(lái)、答出來(lái)”五步。斜線和平面所成的角是一個(gè)直角三角形所成的銳角，它的三條邊分別是平面的垂線段、斜線段及斜線段在平面內(nèi)的射影。因此求直線和平面所成的角，幾何法一般先定斜足、再作垂線找射影、通過(guò)解直角三角形求解；向量法則利用斜線和射影的夾角或考慮法向量，設(shè) 為直線與平面 所成的角， 為直線的方向向量 與平面 的法向量 之間的夾角，則有 或 （如圖）

特別地 時(shí)， ， ； 時(shí)， ， 或 。
⑴用兩面垂直的性質(zhì)作垂線，找垂足的位置作出線面角，⑵利用三垂線定理證，⑶利用對(duì)稱性定義法作二面角
【變式與拓展】如圖，BCD是等腰直角三角形，斜邊CD的長(zhǎng)等于點(diǎn)P到BC的距離，D是P在平面BCD上的射影．
⑴.求PB與平面BCD所成角；
⑵.求BP與平面PCD所成的角.
【解法】
⑴. PD⊥平面BCD，∴BD是PB在平面BCD內(nèi)的射影，
∴∠PBD為PB與平面BCD所成角,BD⊥BC，
由三垂線定理得BC⊥BD，∴BP=CD，設(shè)BC=a，
則BD=a，BP=CD= a∴在Rt△BPD中，
cos∠DBP= ∴∠DBP=45°, 即PB與平面BCD所成角為45°．
⑵.過(guò)B作BE⊥CD于E，連結(jié)PE，PD⊥平面BCD得PD⊥BE，∴BE⊥平面PCD，
∴∠BPE為BP與平面PCD所成的角,在Rt△BEP中，BE= a, BP= a,∴∠BPE=30° 即BP與平面PCD所成角為30°

例12.在四棱錐P-ABCD中，已知ABCD為矩形，PA ⊥平面ABCD，設(shè)PA=AB=a，BC=2a，求二面角B-PC-D的大小

解析1.定義法 過(guò)D作DE ⊥PC于E，過(guò)E作EF ⊥PC于F，連接FD，由二面角的平面角的定義可知 是所求二面角B-PC-D的平面角。求解二面角B-PC-D的大小只需解△DEF即可


【解法一】過(guò)D作DE ⊥PC于E，過(guò)E作EF ⊥PC于F，連接FD，由二面角的平面角的定義可知 是所求二面角B-PC-D的平面角
在四棱錐P-ABCD中， PA ⊥平面ABCD且ABCD為矩形，∵AD⊥DC∴PD⊥DC
∵PA=a，AD=BC=2a，∴PD= ,PC= ,DE= ,CE=
同理在Rt△PBC中， ，
在Rt△EFC中,FC= , 在Rt△DFC中,DF= ,
在△DEF中由余弦定理cos =
所求二面角B-PC-D的余弦值為
解析2.垂面法　　易證面PAB⊥面PBC，過(guò)A作AM ⊥BP于M，顯然AM ⊥面PBC，從而有AM ⊥PC，同法可得AN ⊥PC，再由AM與AN相交與A得PC ⊥面AMN。設(shè)面AMN交PC于Q，則 為二面角B-PC-D的平面角；再利用三面角公式可解
【解法二】略
解析3.利用三垂線求解　　把四棱錐P-ABCD補(bǔ)成如圖的直三棱柱PAB-EDC，顯然二面角E-PC-D與二面角D-PC-B互補(bǔ)，轉(zhuǎn)化為求二面角E-PC-D。
易證面PEDA ⊥PDC，過(guò)E作EF ⊥ PD于F，顯然PF ⊥面PDC，在面PCE內(nèi)，過(guò)E作EG ⊥PC于G，連接GF，由三垂線得GF⊥ PC 即 為二面角E-PC-D的平面角，只需解△EFG即可


解析4.在面PDC內(nèi)，分別過(guò)D、B作DE ⊥PC
于E，
BF ⊥PC于F，連接EF即可。
利用平面知識(shí)求BF、EF、DE的長(zhǎng)度，
再利用空間余弦定理求出q 即可



【點(diǎn)評(píng)】.用幾何法求二面角的方法比較多，常見(jiàn)的有：
（1）定義法, 在棱上的點(diǎn)分別作棱的垂線，如解析１
（2）三垂線求解 ,在棱上的點(diǎn)分別作棱的垂線，如解析２
（3）垂面法, 在棱上的點(diǎn)分別作棱的垂線，如解析３
用幾何法將二面角轉(zhuǎn)化為其平面角，要掌握以下三種基本做法：①直接利用定義，圖(1).②利用三垂線定理及其逆定理，圖 (2).最常用。③作棱的垂面，圖(3).



4.空間幾何中的向量方法
例13. 如下圖，直棱柱ABC?A1B1C1的底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分別是A1B1、A1A的中點(diǎn).
（1）求BN的長(zhǎng)；
（2）求異面直線BA與1CB1的余弦值；
（3）求證：A1B⊥C1M.
【解法】：∵AC⊥BC,CC1⊥面ABC，
∴可以建立如圖所示的坐標(biāo)系


（1）依題意得B（0， 1，0），N（1，0，1），
∴｜ ｜= = .
（2）A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2），
∴ =(1,-1,2)， =（0，1，2）， ? =3，｜ ｜= ，｜ ｜= .
∴cos〈 ， 〉= = .
所以，異面直線BA與1CB1的余弦值為
（3）證明：C1（0，0，2），M（ ， ，2），
=(-1,1,-2)， =（ ， ，0），∴ ? =0，∴A1B⊥C1M.
【點(diǎn)評(píng)】底面有直角的直棱柱適合建立坐標(biāo)系的條件，可以用兩點(diǎn)間的距離公式，數(shù)量積的夾角公式，用坐標(biāo)法求點(diǎn)點(diǎn)距、向量夾角。特別注意異面直線角的范圍(0, ],而向量角的范圍為[0,π]
【變式與拓展】在三棱錐S?ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC= ，SB= .
（1）求證：SC⊥BC；
（2）求SC與AB所成角的余弦值.


【解法一】：如下圖，取A為原點(diǎn)，AB、AS分別為y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則有AC=2，BC= ，SB= ，得B（0， ，0）、S（0，0，2 ）、C（2 ， ，0）， =（2 ， ，－2 ）， =（－2 ， ，0）.

（1）∵ ? =0，∴SC⊥BC.
（2）設(shè)SC與AB所成的角為α，∵ =（0， ，0）， ? =4， =4 ，∴cosα= ，即為所求.
【解法二】：（1）∵SA⊥面ABC，AC⊥BC，AC是斜線SC在平面ABC內(nèi)的射影，∴SC⊥BC.
（2）如下圖，過(guò)點(diǎn)C作CD∥AB，過(guò)點(diǎn)A作AD∥BC交CD于點(diǎn)D，連結(jié)SD、SC，則∠SCD為異面直線SC與AB所成的角.∵四邊形ABCD是平行四邊形，CD= ，SA=2 ，SD= = =5，∴在△SDC中，由余弦定理得cos∠SCD= ，即為所求.

例14.如圖，在四棱錐 中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱 底面ABCD，
，E是PC的中點(diǎn)，作 交PB于點(diǎn)F.
（1）證明 平面 ；
（2）證明 平面EFD；
（3）求二面角 的大�。�

【解法】：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，D為坐標(biāo)原點(diǎn).設(shè)

⑴證明：連結(jié)AC，AC交BD于G.連結(jié)EG.
依題意得
底面ABCD是正方形， 是此正方形的中心，
故點(diǎn)G的坐標(biāo)為 且
. 這表明 .
而 平面EDB且 平面EDB， 平面EDB。
⑵證明：依題意得 。又
故
, 由已知 ，且 所以 平面EFD.
(3)解：設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為 則
從而 所以
由條件 知， 即 解得
點(diǎn)F的坐標(biāo)為 且
,即 ，
故 是二面角 的平面角.
∵ 且

,
所以，二面角C?PC?D的大小為
【點(diǎn)評(píng)】考查空間向量數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，運(yùn)用向量數(shù)量積判斷向量的共線與垂直，用向量證明線線、線面、面面的垂直與平行關(guān)系。
【變式與拓展】如圖，已知矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)P，PA⊥平面ABCD，
E、F分別是AB、PC的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）求證：EF⊥CD；
（3）若?PDA＝45?，求EF與平面ABCD所成的角．
證明：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，
設(shè)AB＝2a，BC＝2b，PA＝2c，則：A(0, 0, 0)，
B(2a, 0, 0)，C(2a, 2b, 0)，D(0, 2b, 0)，
P(0, 0, 2c)∵ E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為PC的中點(diǎn)
∴ E (a, 0, 0)，F(xiàn) (a, b, c)
(1)∵ ＝(0, b, c)， ＝(0, 0, 2c)， ＝(0, 2b, 0)
∴ ＝12 (→ AP ＋→ AD ) ∴ 與 、 共面
又∵ E ? 平面PAD∴ EF∥平面PAD．
(2)∵ → CD ＝(-2a, 0, 0 )
∴→ CD ?→ EF ＝(-2a, 0, 0)?(0, b, c)＝0 ∴ CD⊥EF．

(3)若?PDA＝45?，則有2b＝2c，即 b＝c，∴ → EF ＝(0, b, b)，
→ AP ＝(0, 0, 2b) ∴ cos ?→ EF ，→ AP ?＝2b22b?2b ＝22
∴ ?→ EF ，→ AP ?＝ 45?
∵ → AP ⊥平面AC，∴ → AP 是平面AC的法向量
∴ EF與平面AC所成的角為：90?－?→ EF ，→ AP ?＝ 45?．
例15.如圖，在正四棱柱 中，已知 ， 、 分別為 、 上的點(diǎn)，且
（Ⅰ）求證： 平面 ；
（Ⅱ）求點(diǎn) 到平面 的距離.
解：(Ⅰ)以 為原點(diǎn)，以 、 、 的正向分別為 軸、 軸、 軸建立空間直角坐標(biāo)系，則

于是
且
平面
（Ⅱ）由(Ⅰ)知， 為平面 的一個(gè)法向量，
向量 在 上的射影長(zhǎng)即為 到平面 的距離，設(shè)為 ，于是

故點(diǎn) 到平面 的距離為
例16.如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，AB=3，BC=1，PA=2，E為PD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求直線AC與PB所成角的余弦值；
（Ⅱ）在側(cè)面PAB內(nèi)找一點(diǎn)N，使NE⊥面PAC，
并求出N點(diǎn)到AB和AP的距離．

解：方法一、（1）設(shè)AC∩BD=O，連OE，則OE//PB，
∴∠EOA即為AC與PB所成的角或其補(bǔ)角.
在△AOE中，AO=1，OE=

∴
即AC與PB所成角的余弦值為 .
（2）在面ABCD內(nèi)過(guò)D作AC的垂線交AB于F，則 .
連PF，則在Rt△ADF中
設(shè)N為PF的中點(diǎn)，連NE，則NE//DF，
∵DF⊥AC，DF⊥PA，∴DF⊥面PAC，從而NE⊥面PAC.
∴N點(diǎn)到AB的距離 ，N點(diǎn)到AP的距離
方法二、（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則A、B、C、D、P、E的坐標(biāo)為A（0，0，0）、
B（ ，0，0）、C（ ，1，0）、D（0，1，0）、
P（0，0，2）、E（0， ，1），
從而
設(shè) 的夾角為θ，則

∴AC與PB所成角的余弦值為 .
（Ⅱ）由于N點(diǎn)在側(cè)面PAB內(nèi)，故可設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為（x，O，z），則 ，由NE⊥面PAC可得，
∴
即N點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，從而N點(diǎn)到AB、AP的距離分別為1， .

【模擬演練】
一、選擇
1．已知正方體外接球的體積是 ，那么正方體的棱長(zhǎng)為（ ）
A． B． C． D．
2．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，已知側(cè)視圖是一個(gè)等腰三角形, 根據(jù)圖中尺寸(單位: ),可知這個(gè)幾何體的體積是（ ）

A. B. C. D.

4．已知、 是不重合的直線， 、 、 是兩兩不重合的平面，給出下列命題：①若 則 ；②若 ， 則 ;③若 ， ；④若 其中真命題的序號(hào)為（ ）
A ①②B ①③C ①④D ②④
5.　在正三棱錐 中， 分別為 、 的中點(diǎn)，若 與 所成的角為 ，則 與 所成的角為（ ）
　A. 　B. C. D.


7．已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC=BC，M、N分別是A1B1，AB的中點(diǎn)，P點(diǎn)在線段 上，則 與平面 的位置關(guān)系是 （ ）
A．垂直
B．平行
C．相交但不垂直
D． 要依P點(diǎn)的位置而定


11. 如圖所示，設(shè)地球半徑為 ，點(diǎn) 在赤道上， 為地心，點(diǎn) 在北緯30°的緯線（ 為其圓心）上，且點(diǎn) ， ， 共面，點(diǎn) 、 、 共線 若 ，則異面直線 與 所成角的正弦值為（ ）
A. B.
C. D.


二、填空
13.已知一個(gè)正四棱柱內(nèi)接于球，該正四棱柱高為3，體積為24，則這個(gè)球的表面積是 。
14．若直線l與平面?所成角為 ，直線a在平面內(nèi)，且與直線l異面，則直線l與直線a所成的角的取值范圍是 。



三解答題
17．（本題滿分12分）
如圖所示，在四棱錐 中，底面 為平行四邊形， ， 平面 ，點(diǎn) 是 的中點(diǎn)。
（1）求證：平面 平面 ；
（2）求證： 。

18. （本小題滿分12分）
如圖所示，矩形 中，G是對(duì)角線AC，BD的交點(diǎn)， ，，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且 ，連接FG.
⑴求證： ；
⑵求證： // ；
⑶求三棱錐 的體積.
19．如圖,四棱錐 的底面為直角梯形，
ABCD, 。　
(Ⅰ)求證:
(Ⅱ)求二面角 的大小　
專題訓(xùn)練答案
1．B 解析：由正方體對(duì)角線得到直徑可知， ，所以棱長(zhǎng)為 。
2.A 解析：由三視圖可知該幾何體的底面是底邊為6，高是4的等腰三角形，該幾何體的高為5，所以 。

4．D解析：①只有、 相交才正確，所以①錯(cuò)誤；②正確；③l還需與 、 的交線垂直，錯(cuò)誤；④由平面與平面平行的性質(zhì)定理可知正確，選D.
5．C 解析：由正三棱錐 的對(duì)應(yīng)棱互相垂直，得 。取 的中點(diǎn) ，連 ，則 ，所以△ 是直角三角形， 與 所成的角為 ，就是∠ ＝ ，從而∠ ＝ ，即 與 所成的角為 ，故選C。

7．B 解析：由題設(shè)知B1M∥AN且B1M=AN，四邊形ANB1M是平行四邊形，
故B1N∥AM，B1N∥AMC1平面．又C1M∥CN，得CN∥平面AMC1，則平面B1NC∥AMC1， 平面AMC1，∴ ∥平面B1NC。



11.C 解析：分別以 所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系 ，易得A（0，R，0），B（R，0，0），C（0， ，D（0，0，R）， 所以 ， 故選C。



13. 解析：正四棱柱高為3，體積為24，底面積為8，正方形邊長(zhǎng)為2 ，正四棱柱的對(duì)角線長(zhǎng)即球的直徑為5，∴ 球的半徑為 ，球的表面積是 。
14． ；解析：因?yàn)橹本�l是平面的斜線，斜線與平面所成的角，是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)的直線所成的一切角中最小的角，故a與l所成的角大于或等于 ；又因?yàn)楫惷嬷本�所成的角不大于 .



17、證明：（1） 平面 ， 平面 ， 。 2分
又 ， 平面 ， 平面 ，
平面 ， 平面 ， 平面 平面 。 6分

（2）連結(jié) 交 于點(diǎn) ，并連結(jié) ， 四邊形 為平行四邊形
∴ 為 的中點(diǎn)， 又 為 的中點(diǎn)。 8分
∴在 中 為中位線， ， 平面 ，
平面 ， ， 。 12分
18、解：（1）證明：∵ ，
∴ ，∴ ， 2分
又∵ ，∴ ， 4分
又∵
∴ .， ， 。 5分
⑵證明：∵ ，∴ ，又
∴ 是 的中點(diǎn)，又易知 是 的中點(diǎn)，
∴在△ 中， ，又 ，
∴ . 9分
⑶由⑵知 且 ， .
∴ ∴ ，
又∵ ，∴ ，∴在 中， 。
∴在 ，
∴在 。 12分
解析：（Ⅰ）如圖，建立坐標(biāo)系，

則 ， ， ， ， ，
， ， ，
， 　 2分
， ，又 ， 平面 　 6分
（Ⅱ）設(shè)平面 的法向量為 ，
則 ， ，
又 ， ，
解得
。 8分
平面 的法向量取為 ，
， �！�
二面角 的大小為 �！� 12分


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