變形蟲的奇遇
有一種很微小微小的單細(xì)胞生物名叫阿米巴（ameba），由于它的身體會(huì)不斷的變化，生物學(xué)家給它取名為“變形蟲”，這小蟲在臟水生長(zhǎng)，有時(shí)會(huì)鉆進(jìn)人的肚子里去，使到人們腹瀉，嚴(yán)重時(shí)還能令人死亡。有一次，有一個(gè)生物學(xué)家把一滴臟水放到顯微鏡底下觀察，他看到這滴水的世界真是神奇萬千：有含葉綠素的藻，有長(zhǎng)著鞭毛迅速游泳的一些鞭毛蟲，他還看到兩只變形蟲。
這生物學(xué)家童心大起，拿了一個(gè)很小很小的線圈放到玻璃片上把這變形蟲圍起來。于是從顯微鏡下，他看到其中一只變形蟲左沖右撞，想要從圈子過去，另外一只變形蟲卻是像在練瑜珈術(shù)的老僧在坐定一動(dòng)也不動(dòng)。（見圖一）
這生物學(xué)家的顯微鏡是有安裝最新式的“細(xì)菌語言播音機(jī)”，因此他能聽到這兩只變形蟲的對(duì)話。
“我的老天爺，這是什么墻把我關(guān)起來，我要出去，我不愿意在一個(gè)狹小的天地里�！蹦侵患痹瓴话驳男∽冃蜗x在叫喊。
“碰！碰！碰！”小變形蟲把身體往墻上撞（事實(shí)這墻在大人的眼中只不過是一個(gè)小線圈），它的身體撞痛了，因而扭曲得很厲害。
小變形蟲用身體去撞那個(gè)如老僧坐定的變形蟲，對(duì)它喊叫：“喂！我們被關(guān)起來了，為什么你還不想出去？你究竟是什么變形蟲？難道不知道‘不自由、毋寧死’的道理嗎？”
那只不動(dòng)的變形蟲伸伸懶腰，開口說話：“為什么吵吵鬧鬧，把我從我的數(shù)學(xué)思考中吵醒？我是阿米巴數(shù)學(xué)家，我在研究微妙的數(shù)學(xué)真理，你不該來吵我──當(dāng)我在研究世界上最艱深最美妙的學(xué)問時(shí)�！�
小變形蟲說：“我們已經(jīng)失去自由了，你還在研究那什么都看不見的數(shù)學(xué)，你快想個(gè)妥善的方法，使我們能脫離困境�！�
阿米巴數(shù)學(xué)家說：“你別急躁！我對(duì)你講一個(gè)故事�！彼幻媛匕阉纳眢w一部份拉長(zhǎng)變成手指，然后在沉積一些薄薄的污泥的玻璃面上劃了一條線。
“你看：這一條線是可以互相向左右兩端無限延長(zhǎng)，這上面生活了兩個(gè)小點(diǎn)，它們只能在這線上自由跑動(dòng)，向左移動(dòng)或者向右移動(dòng)，我現(xiàn)在把它們活動(dòng)的空間切斷。你看！這是用劃兩條線把這線截下來，讓我們聽聽這兩個(gè)小點(diǎn)的對(duì)話吧！”
只見一個(gè)小圓點(diǎn)正在焦急不安地不斷撞那墻。（事實(shí)上，在變形蟲的眼中，那只不過是一截小線段。）它把頭撞得腫痛，于是倒轉(zhuǎn)回來，撞那個(gè)好像“天塌下來，什么事也和我無關(guān)”的小圓點(diǎn)。
“你怎么撞我呢？”懶得動(dòng)一動(dòng)的小圓點(diǎn)責(zé)怪那位不安心的小圓點(diǎn)�！拔艺谘芯繑�(shù)學(xué)，你把我從那美妙的世界帶回現(xiàn)實(shí)世界，破壞了我的玄想，實(shí)在豈有此理！”
“唉呀呀！我們被關(guān)閉起來了！現(xiàn)在我把你喚醒，希望我們可以想一個(gè)方法跑出牢籠，你怎么能隨便怪我呢？”
小圓點(diǎn)數(shù)學(xué)家被那個(gè)緊張兮兮的小圓點(diǎn)推到墻面前，要他研究出去的方法，小圓點(diǎn)數(shù)學(xué)家沉思片刻回答：“有什么難呢？我們是生活在一維空間里 （1 dimension），實(shí)際上還有一個(gè)叫二維空間的世界，只要你跑進(jìn)二維空間的世界，你的自由度（degree of freedom）就增加，你可以繞過障礙回到我們?cè)瓉淼氖澜�。�?/p>
小變形蟲呱呱喊叫說：“這有什么了不起的大道理！非常明顯。小圓點(diǎn)真笨，還要小圓點(diǎn)數(shù)學(xué)家解釋才明白。”（見圖二）
變形蟲數(shù)學(xué)家嚴(yán)肅地說：“不要譏笑比你差的人！嘲笑人家的人，總有被人嘲笑的時(shí)候。我們是二維空間的生物，還有一個(gè)三維世界。我們的世界，只有東南西北的方向，在那個(gè)世界有一種叫‘上、下’的區(qū)分，就像小圓點(diǎn)的世界只有‘左、右’的方向，而沒有我們的‘東南西北’，因此你只要進(jìn)入三維世界，把身體向上伸，你就可以越過障礙，回到你的世界去�！保ㄒ妶D三）
以上的故事是我編出來回答一位學(xué)生物的朋友的問題。他問我為什么有一些數(shù)學(xué)家在遭受打擊或關(guān)在牢籠時(shí)（這是他看過我的書有關(guān)被迫害的數(shù)學(xué)家的事提出的問題）還能做研究？
我的故事是對(duì)數(shù)學(xué)家的開玩笑，也包括對(duì)我自己的自嘲。但是里面卻有一些哲理，讀者只要把它當(dāng)作禪宗里的老和尚的偈語看待，去滲透滲透，總會(huì)悟到一些道理�！疤鞕C(jī)不可泄漏”，我不想多說。
小王子和傷腦筋的國(guó)王
法國(guó)有一本著名的兒童故事書叫 《小王子》（Le petit prince，上海書局有中譯本出版），這里面有一個(gè)天真無邪的小孩子名叫“小王子”，在許多國(guó)家的兒童都知道他的故事�？上ё髡邉�(chuàng)造這故事之后，卻因喜歡駕飛機(jī)而失事，從此沒有新的“小王子”的故事出現(xiàn)。
有一次，我生病孤寂地躺在床上，我聽到一個(gè)微弱的聲音：“對(duì)不起！對(duì)不起！讓我自由�！保⊿'il vous plalt! sil vous plait! Liberez moi!）
我循著聲音傳來的方向找去，在書架上看到有一個(gè)像小蜻蜓的小東西，正在掙扎地要從一本書里爬出來�！鞍ρ剑∧悴皇切⊥踝訂�？！”我驚異地喊起來。
我連忙把書從書架抽出打開書本，小王子就從書上跳到我的手上�！斑@樣是比較的舒服�！毙⊥踝訉�(duì)我說。
我躺回床上，把小王子放在我的被上，我問他：“告訴我小王子！你以后還有什么奇異的經(jīng)歷？請(qǐng)你告訴我，我很想知道一下。我很高興你能來找我�！�
“唉！我走了很多星球，看了各種各樣的生物，我可以告訴你一些�！毕旅媸撬v的一個(gè)故事：
“有一天，我來到一個(gè)星球，這星球只有一個(gè)國(guó)王�！�
“這國(guó)王有一個(gè)美麗的王后，她正在懷孕。國(guó)王說：‘如果我們有一個(gè)王子，這王子就繼承我的星球。如果生下二個(gè)王子，我就把星球分成南半球和北半球，由他們分管。’王后問：‘萬一我生下是三個(gè)王子，你怎么分給他們呢？’國(guó)王說：‘很容易。我只要站在北極上，往南極劃三條線，這星球的土地就被分成三塊，他們能互相來往而不需要通過第三者的國(guó)土�！鹾笤賳枺骸绻沂巧滤膫�(gè)王子，你能不能再把領(lǐng)土分配，使他們兄弟能直接來往，而不必通過第三者的國(guó)土呢？’國(guó)王說：‘很容易，你看我這樣分配國(guó)土�！瘒�(guó)王一面說一面在桌上劃了一個(gè)圓，然后就在圓形上劃�。ㄒ妶D四）�！抑灰牙洗�，老二、老三、老四照?qǐng)D上的安排法，他們就能互相往來，不必經(jīng)過第三者的國(guó)土了�！�
“我去到那里的時(shí)候，王后卻是一生就生下五個(gè)小王子，全國(guó)人民都很高興，國(guó)王也是高興。國(guó)王在給這些孩子取名之后，就想早一點(diǎn)安排他們以后應(yīng)有的領(lǐng)地，可是他在書房里不斷的安排卻一直安排不出，他召了幾個(gè)大臣及最有智慧的老人來商量，也沒有人能安排使每個(gè)孩子的領(lǐng)地都能和其他的兄弟接壤，這樣他們可以直接來往，不經(jīng)過其他人的領(lǐng)土。”
“我看國(guó)王畫的圖，真是多種多樣，的確是沒有一個(gè)能符合要求，我?guī)Щ亓藥讉�(gè)國(guó)王和大臣們?cè)O(shè)計(jì)的圖。（見圖五）”
我現(xiàn)在拿了這些圖來告訴您，您能不能幫忙國(guó)王呢
我把小王子給我看的圖來一個(gè)變化。（見圖六）
我把領(lǐng)土用一個(gè)包含數(shù)字的小圓圈表示，如果兩個(gè)領(lǐng)地有接壤，我就用一條弧線連結(jié)代表這領(lǐng)土的小圓圈，結(jié)果我得到了圖六，的確這些圖都反映國(guó)王的愿望不能達(dá)到，圖六的（a）只有老五能和所有的哥哥的領(lǐng)地連通，其他的兄弟卻少了一個(gè)連通。（b），（c）都是。
“為什么（c）有兩個(gè)圖呢？”小王子詢問。
“哦！這兩個(gè)圖是一樣，只不過是左邊的圖有老三和老四的連線會(huì)和老二及老五的連線相交，我在右邊把老五的位置稍微改變，這樣我畫的圖就沒有連線相交的現(xiàn)象�！�
啊！我突然想起了國(guó)王的問題是應(yīng)該可以解決的。我在第一集的《數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)家的故事》里，就介紹過一個(gè)波蘭數(shù)學(xué)家在50年前發(fā)現(xiàn)一個(gè)判別圖是否能畫在平面上而沒有連線相交的方法。
“小王子！請(qǐng)你把我?guī)ヒ妵?guó)王，我已經(jīng)知道這個(gè)問題的答案了�！�
“是嗎？這樣好，您現(xiàn)在閉上眼睛不動(dòng)，我就把您帶上那個(gè)國(guó)王的星球去�！�
只有一個(gè)國(guó)王的星球
小王子握住我的手，在我的頭上摸一下，我整個(gè)身體就縮小了，最后我的身子只是像他的小姆指那樣，他就把我放在他的上衣口袋，于是我們從窗口飛出直上云霄。
我實(shí)在好奇，想要知道外面是什么樣子？我把頭從口袋中伸出，只見到處都是美麗的星，那銀河像是由鉆石綴滿的項(xiàng)鏈，高掛在天幕上。
我們來到一個(gè)小星球，那上面到處有美麗的公園，公園有許多國(guó)王和王后的雕塑像。我們進(jìn)入皇宮，小王子把我介紹給國(guó)王。
我對(duì)國(guó)王說：“至高尊貴的國(guó)王，在我所生活的地球上有一個(gè)著名的戲劇家，他的名叫莎士比亞。他曾經(jīng)這么說：‘我可以局限在一個(gè)小房子里，而認(rèn)為自己是無窮空間的國(guó)王’�！保↖ could be bounded in a nutshell and count myself a king of infinite space.）
“每個(gè)人由于生活環(huán)境的限制，他所看到的和所理解的空間及事物往往不一樣，主觀看法不一樣對(duì)同一事物就會(huì)有不同的爭(zhēng)論。”
“我的祖先最初視界不大，以為他們生活的地球表面是平的。有一天，有一個(gè)人要到南方的地方，他的馬車卻往北跑，人們笑他是：‘南轅北轍’一定不會(huì)到達(dá)目的地，其實(shí)很可能這個(gè)人早知道地球是圓的，只要往北走是可以走到他所要到的南方的地方�！�
“是的，我們這里以前的人也是以為我們的星球是平面�！眹�(guó)王對(duì)我說。
“這是不奇怪的事。我現(xiàn)在剪下三個(gè)很薄的紙（見圖七），我把它們的邊緣黏起來。你可以看到我得到三個(gè)不同的曲面。
您知道第一個(gè)曲面是像一個(gè)橢圓球，第二個(gè)曲面是圓柱，第三個(gè)是一個(gè)環(huán)面。我們現(xiàn)在看它們是可以看出它們是不一樣的。假定我們是生活在這些曲面上，而且我們的身體不斷的縮小，小到平貼在表面上。這時(shí)我們?cè)谶@表面上舉目四望，我們覺得我們是生活在一個(gè)平面上，而不知道它是橢球面，圓柱形面，還是環(huán)面�！�
“我是同意你的講法，因?yàn)楫?dāng)我們變成渺小的生物，我們的眼界只能看很小的一個(gè)范圍，我們不知道我們生活的空間真正是什么樣子�？墒沁@和我的問題有什么關(guān)系呢？”
“國(guó)王陛下，在不同的條件下，一些事物就可能有不同的發(fā)展和結(jié)果。好像說，在我的古老的國(guó)家有一個(gè)傳說是一個(gè)老人要把擋在他家門前的一座大山移走，他帶領(lǐng)著全家老少每天去挖山，他認(rèn)為一天挖一些，山不會(huì)增高，就算他在世時(shí)見不到山被移走，他的子子孫孫萬代不竭地去挖這山總會(huì)被挖走。
“可是如果我現(xiàn)在不是叫老人去移山，而是叫他移一條弧線，擺在他面前的是下面這樣的一個(gè)圓（圖八）：
連結(jié)頂點(diǎn)2和頂點(diǎn)6的弧是會(huì)和連結(jié)頂點(diǎn)3，8及頂點(diǎn)4，7的弧相交。想像這些弧都是橡皮圈做成，我是否能把弧2和6適當(dāng)移動(dòng)，使到它保留在表面上又不和任何其他的弧相交？
“我可以告訴您，這老人再加上他的萬代子孫是不能在平面上解決這問題，因?yàn)椴还芩麄冊(cè)鯓右苿?dòng)，都是沒法子完成我的要求�！�
我說完了就站在一邊，讓國(guó)王和他的臣子們?nèi)ビ懻摚麄冊(cè)谀抢餇?zhēng)論了差不多半個(gè)鐘頭之后，國(guó)王最后說：“我相信你的話，我們是沒法子解決這樣的問題�！�
“現(xiàn)在你們經(jīng)過各種嘗試，得到經(jīng)驗(yàn)，知道這問題是不能解決，可是在環(huán)狀星球的人民看到這個(gè)問題時(shí)會(huì)哈哈大笑說：‘這是一個(gè)很簡(jiǎn)單的問題，我們?nèi)龤q的兒童都能解決�！�?yàn)樗麄兊纳瞽h(huán)境和我們的不一樣，對(duì)我們來說不能解決的問題，很可能就會(huì)變成可以解決的事了�！�
“學(xué)數(shù)，你能不能告訴我他們是怎么解決？我想知道這結(jié)果�！�
“好！現(xiàn)在你們看我在這兩張長(zhǎng)方形的白紙上把剛才的圖重畫一遍。我先畫頂點(diǎn)，然后畫弧線（圖九）。再把長(zhǎng)方形的邊相對(duì)的黏合起來，這樣我們的圖是變成在環(huán)面上了。頂點(diǎn)1和5，及頂點(diǎn)2和6在這兩個(gè)面上有不同的弧線連接，這些弧在環(huán)面上并不互相相交。”
小王子說：“這就是說在平面上生活的人們不能解決的問題在環(huán)狀面生活的人卻是能解決的�！�
國(guó)王的問題的解決
“是的，你說的很對(duì)。我就是要說明一個(gè)很簡(jiǎn)單的道理：任何人處在不同的環(huán)境和不同的時(shí)間，對(duì)一些事物的處理方式
或了解就不一樣。對(duì)于一些人看來是簡(jiǎn)易的東西，對(duì)另外的人可能就是深?yuàn)W不可理解。對(duì)于一些看來是不能解決的問題，如果我們把我們考慮的立足點(diǎn)換一換，很可能就可以解決了�！�
“那么我的王子分配領(lǐng)土的問題是否可以解決嗎？”國(guó)王焦急地問。
“國(guó)王，您的孩子領(lǐng)土的問題是可以這樣看，如果把每個(gè)王子的領(lǐng)地用標(biāo)有1，2，3，4，5的小圓圈來表示，如果兩個(gè)領(lǐng)地有接壤，我就用一個(gè)弧線連結(jié)起來。先看在平面上是否可能把任何一個(gè)頂點(diǎn)和其他頂點(diǎn)用弧相連而不相交？我們的地球上有一位名叫庫拉托斯基（Kuratowski）的數(shù)學(xué)家在50年代后就證明是不可能。不管你怎樣畫和安排這些圖是會(huì)和圖十（a）一樣，它們總是有弧會(huì)相交，可是我卻可以在環(huán)面上安排，使到這些弧不相交，請(qǐng)您看圖十（b）：
因此你們?nèi)绻幌朐趯?duì)這問題傷腦筋，做不可能做的事。我提出一個(gè)卑微的建議，請(qǐng)你們找一個(gè)環(huán)狀的星球，然后把你們的國(guó)土放棄，全部移民到那環(huán)狀星球上去，這樣你們領(lǐng)土分配的問題就可以解決了。”
“等一等！學(xué)數(shù)先生，你只說這問題在平面上不能解決，或許在圓球面上是可以解決呢？”國(guó)王說。
我這時(shí)就拿起筆在圖十（a）上邊畫兩條像在圖最左邊的有箭頭的弧線。然后拿剪刀沿著弧線剪，最后用漿糊把它黏起來，就像（圖十一）所表示那樣：
“你看，我得到的是在圓球面上的圖，它的頂點(diǎn)的相對(duì)位置不變，因此，在圓面上這問題仍然是不能解決。”
“這真是奇妙的事，你能不能再告訴我一些關(guān)于曲面的新鮮事呢？”
只有一個(gè)面的扭帶
看到國(guó)王和幾個(gè)臣子及小王子的興致這樣高，我于是繼續(xù)講下去。
“請(qǐng)你們看我手上的長(zhǎng)方形紙條，你們知道它有四個(gè)邊、有兩個(gè)面：如果我把紙條正對(duì)你們，你們可以說一個(gè)面是前面，另外一個(gè)面是后面；如果平放在桌上，你們可以說一個(gè)面是上面，另外一個(gè)面是下面�！�
“如果我手上拿的是圓球或是一個(gè)玉環(huán)，你們也可以說是有兩個(gè)面，一個(gè)在里面，一個(gè)在外面。因此我們會(huì)以為所有的曲面都有兩個(gè)面，對(duì)不對(duì)？”
大家都點(diǎn)點(diǎn)頭。我把手上的紙條扭了一下，然后把頭尾兩端黏好，我得了像圖（十二）的曲面：
“現(xiàn)在你們可以看到這個(gè)曲面只有一個(gè)邊，你們?nèi)绻幌嘈趴梢杂檬置�，它不像圓柱曲面是有兩個(gè)邊。還有更巧妙的事是這個(gè)曲面只有一個(gè)面！”
國(guó)王搖搖頭：“我看到是兩個(gè)面�！�
“這是你的眼睛在欺騙你，以及你以前固有的看法認(rèn)為曲面應(yīng)該是有兩個(gè)面而使你不容易接受事實(shí)。你怎樣證明圓柱形的面有兩個(gè)呢？你會(huì)說很容易，我可以在一面上涂上紅色，另外一面上涂上藍(lán)色的色彩，這樣就很明顯的看出兩個(gè)面來。好！現(xiàn)在請(qǐng)你用紅色彩筆把我這個(gè)扭帶涂彩一下，你會(huì)看到不同的結(jié)果。”
國(guó)王涂彩之后說：“唉呀！果然是只有一個(gè)面，我現(xiàn)在得到一個(gè)全紅的扭帶！”
我拿了我原先做好的圓柱紙圈，沿著中間平行兩個(gè)邊的大圓剪去，我得了兩個(gè)圓柱。
“你們能不能猜想：當(dāng)我用剪刀把這個(gè)只有一面的扭帶，順著平行一邊的紙條的中間剪去，我會(huì)得到多少個(gè)扭帶？”
其他的人都異口同聲的說：“兩個(gè)！”
我把剪刀交給國(guó)王去剪扭帶，他剪完之后以為可以分成兩個(gè)扭帶，實(shí)際上卻沒有剪開，得到的是一個(gè)長(zhǎng)條扭帶。
國(guó)王看了目驚口呆，喃喃自語！“這是怎么一回事？”
我再做了一個(gè)扭帶，然后對(duì)國(guó)王說：“如果你現(xiàn)在是沿著邊的紙條寬的三分之一的一個(gè)平行邊剪，你會(huì)得到不同的結(jié)果。我就讓你們?nèi)ピ囼?yàn)和研究，我已經(jīng)很疲倦了，我想回去我的小房子做我的無窮空間國(guó)王的夢(mèng)。再見了國(guó)王和大臣先生們！再見了你們這些可愛天真的人民！”
我于是回到地球上
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