【摘要】鑒于大家對(duì)十分關(guān)注，小編在此為大家整理了此文“高三數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法：沖刺易高考易錯(cuò)點(diǎn)平面解析幾何”，供大家參考!
本文題目：高三數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法：沖刺易高考易錯(cuò)點(diǎn)平面解析幾何
一、高考預(yù)測(cè)
解析幾何初步的內(nèi)容主要是直線與方程、圓與方程和空間直角坐標(biāo)系，該部分內(nèi)容是整個(gè)解析幾何的基礎(chǔ)，在解析幾何的知識(shí)體系中占有重要位置，但由于在高中階段平面解析幾何的主要內(nèi)容是圓錐曲線與方程，故在該部分高考考查的分值不多，在高考試卷中一般就是一個(gè)選擇題或者填空題考查直線與方程、圓與方程的基本問(wèn)題，偏向于考查直線與圓的綜合，試題難度不大，對(duì)直線方程、圓的方程的深入考查則與圓錐曲線結(jié)合進(jìn)行.根據(jù)近年來(lái)各地高考的情況，解析幾何初步的考查是穩(wěn)定的，預(yù)計(jì)2012年該部分的考查仍然是以選擇題或者填空題考查直線與圓的基礎(chǔ)知識(shí)和方法，而在解析幾何解答題中考查該部分知識(shí)的應(yīng)用.
圓錐曲線與方程是高考考查的核心內(nèi)容之一，在高考中一般有1～2個(gè)選擇題或者填空題，一個(gè)解答題.選擇題或者填空題在于有針對(duì)性地考查橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)及其應(yīng)用，試題考查主要針對(duì)圓錐曲線本身，綜合性較小，試題的難度一般不大;解答題中主要是以橢圓為基本依托，考查橢圓方程的求解、考查直線與曲線的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、分類(lèi)與整合思想等數(shù)學(xué)思想方法，這道解答題往往是試卷的壓軸題之一.由于圓錐曲線與方程是傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)主干知識(shí)，在高考命題上已經(jīng)比較成熟，考查的形式和試題的難度、類(lèi)型已經(jīng)較為穩(wěn)定，預(yù)計(jì)2012年仍然是這種考查方式，不會(huì)發(fā)生大的變化.
解析幾何的知識(shí)主線很清晰，就是直線方程、圓的方程、圓錐曲線方程及其簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，復(fù)習(xí)解析幾何時(shí)不能把目標(biāo)僅僅定位在知識(shí)的掌握上，要在解題方法、解題思想上深入下去.解析幾何中基本的解題方法是使用代數(shù)方程的方法研究直線、曲線的某些幾何性質(zhì)，代數(shù)方程是解題的橋梁，要掌握一些解方程(組)的方法，掌握一元二次方程的知識(shí)在解析幾何中的應(yīng)用，掌握使用韋達(dá)定理進(jìn)行整體代入的解題方法;數(shù)學(xué)思想方法在解析幾何問(wèn)題中起著重要作用，數(shù)形結(jié)合思想占首位，其次分類(lèi)討論思想、函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，如解析幾何中的最值問(wèn)題往往就是建立求解目標(biāo)的函數(shù)，通過(guò)函數(shù)的最值研究幾何中的最值.復(fù)習(xí)解析幾何時(shí)要充分重視數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用.
二、知識(shí)導(dǎo)學(xué)
(一)直線的方程
1.點(diǎn)斜式： ;2. 截距式： ;
3.兩點(diǎn)式： ;4. 截距式： ;
5.一般式： ，其中A、B不同時(shí)為0.
(二)兩條直線的位置關(guān)系
兩條直線 ， 有三種位置關(guān)系：平行(沒(méi)有公共點(diǎn));相交(有且只有一個(gè)公共點(diǎn));重合(有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)).在這三種位置關(guān)系中，我們重點(diǎn)研究平行與相交.
設(shè)直線 ： = + ，直線 ： = + ，則
∥ 的充要條件是 = ，且 = ; ⊥ 的充要條件是 =-1.
(三)圓的有關(guān)問(wèn)題
1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
(r>0)，稱(chēng)為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，其圓心坐標(biāo)為(a，b)，半徑為r.
特別地，當(dāng)圓心在原點(diǎn)(0，0)，半徑為r時(shí)，圓的方程為 .
2.圓的一般方程
( >0)稱(chēng)為圓的一般方程，
其圓心坐標(biāo)為( ， )，半徑為 .
當(dāng) =0時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)( ， );
當(dāng) <0時(shí)，方程不表示任何圖形.
3.圓的參數(shù)方程
圓的普通方程與參數(shù)方程之間有如下關(guān)系：
(θ為參數(shù))
(θ為參數(shù))
(四) 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程
1. 橢圓的定義：橢圓的定義中，平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn) 、 的距離的和大于 這個(gè)條件不可忽視.若這個(gè)距離之和小于 ，則這樣的點(diǎn)不存在;若距離之和等于 ，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段 .
2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： ( > >0)， ( > >0).
3.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程判別方法：判別焦點(diǎn)在哪個(gè)軸只要看分母的大�。喝绻� 項(xiàng)的分母大于 項(xiàng)的分母，則橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，反之，焦點(diǎn)在y軸上.
4.求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法：⑴ 正確判斷焦點(diǎn)的位置;⑵ 設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程后，運(yùn)用待定系數(shù)法求解.
(五)橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
1. 橢圓的幾何性質(zhì)：設(shè)橢圓方程為 ( > >0).
⑴ 范圍： -a≤x≤a，-b≤x≤b，所以橢圓位于直線x= 和y= 所圍成的矩形里.
⑵ 對(duì)稱(chēng)性：分別關(guān)于x軸、y軸成軸對(duì)稱(chēng)，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng).橢圓的對(duì)稱(chēng)中心叫做橢圓的中心.
⑶ 頂點(diǎn)：有四個(gè) (-a，0)、 (a，0) (0，-b)、 (0，b).
線段 、 分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸.它們的長(zhǎng)分別等于2a和2b，a和b分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng). 所以橢圓和它的對(duì)稱(chēng)軸有四個(gè)交點(diǎn)，稱(chēng)為橢圓的頂點(diǎn).
⑷ 離心率：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比 叫做橢圓的離心率.它的值表示橢圓的扁平程度.0
橢圓的四個(gè)主要元素a、b、c、e中有 = + 、 兩個(gè)關(guān)系，因此確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程只需兩個(gè)獨(dú)立條件.
(六)橢圓的參數(shù)方程
橢圓 ( > >0)的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù)).
說(shuō)明 ⑴ 這里參數(shù)θ叫做橢圓的離心角.橢圓上點(diǎn)P的離心角θ與直線OP的傾斜角α不同： ;
⑵ 橢圓的參數(shù)方程可以由方程 與三角恒等式 相比較而得到，所以橢圓的參數(shù)方程的實(shí)質(zhì)是三角代換.
(七)雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程
1. 雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn) 、 的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)2a(小于 )的動(dòng)點(diǎn) 的軌跡叫做雙曲線.在這個(gè)定義中，要注意條件2a< ，這一條件可以用“三角形的兩邊之差小于第三邊”加以理解.若2a= ，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是兩條射線;若2a> ，則無(wú)軌跡.
若 < 時(shí)，動(dòng)點(diǎn) 的軌跡僅為雙曲線的一個(gè)分支，又若 > 時(shí)，軌跡為雙曲線的另一支.而雙曲線是由兩個(gè)分支組成的，故在定義中應(yīng)為“差的絕對(duì)值”.
2. 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程： 和 (a>0，b>0).這里 ，其中 =2c.要注意這里的a、b、c及它們之間的關(guān)系與橢圓中的異同.
1的常數(shù)(離心率)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.對(duì)于雙曲線 ，它的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(-c，0)和(c，0)，與它們對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別是 和 .在雙曲線中，a、b、c、e四個(gè)元素間有 與 的關(guān)系，與橢圓一樣確定雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程只要兩個(gè)獨(dú)立的條件.
(九)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)
1.拋物線的定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)(F)和一條定直線(l)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫拋物線。這個(gè)定點(diǎn)F叫拋物線的焦點(diǎn)，這條定直線l叫拋物線的準(zhǔn)線。
需強(qiáng)調(diào)的是，點(diǎn)F不在直線l上，否則軌跡是過(guò)點(diǎn)F且與l垂直的直線，而不是拋物線。
2.拋物線的方程有四種類(lèi)型： 、 、 、 .
對(duì)于以上四種方程：應(yīng)注意掌握它們的規(guī)律：曲線的對(duì)稱(chēng)軸是哪個(gè)軸，方程中的該項(xiàng)即為一次項(xiàng);一次項(xiàng)前面是正號(hào)則曲線的開(kāi)口方向向x軸或y軸的正方向;一次項(xiàng)前面是負(fù)號(hào)則曲線的開(kāi)口方向向x軸或y軸的負(fù)方向。
3.拋物線的幾何性質(zhì)，以標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px為例
(1)范圍：x≥0;
(2)對(duì)稱(chēng)軸：對(duì)稱(chēng)軸為y=0，由方程和圖像均可以看出;
(3)頂點(diǎn)：O(0，0)，注：拋物線亦叫無(wú)心圓錐曲線(因?yàn)闊o(wú)中心);
(4)離心率：e=1，由于e是常數(shù)，所以拋物線的形狀變化是由方程中的p決定的;
(5)準(zhǔn)線方程 ;
(6)焦半徑公式：拋物線上一點(diǎn)P(x1，y1)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，對(duì)于四種拋物線的 的點(diǎn).
那么，這個(gè)方程叫做曲線的方程;這條曲線叫做方程的曲線(圖形或軌跡).
注意事項(xiàng)
1. ⑴ 直線的斜率是一個(gè)非常重要的概念，斜率k反映了直線相對(duì)于x軸的傾斜程度.當(dāng)斜率k存在時(shí)，直線方程通常用點(diǎn)斜式或斜截式表示，當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線方程為x=a(a∈R).因此，利用直線的點(diǎn)斜式或斜截式方程解題時(shí)，斜率k存在與否，要分別考慮.
⑵ 直線的截距式是兩點(diǎn)式的特例，a、b分別是直線在x軸、y軸上的截距，因?yàn)閍≠0，b≠0，所以當(dāng)直線平行于x軸、平行于y軸或直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，不能用截距式求出它的方程，而應(yīng)選擇其它形式求解.
⑶求解直線方程的最后結(jié)果，如無(wú)特別強(qiáng)調(diào)，都應(yīng)寫(xiě)成一般式.
⑷當(dāng)直線 或 的斜率不存在時(shí)，可以通過(guò)畫(huà)圖容易判定兩條直線是否平行與垂直
⑸在處理有關(guān)圓的問(wèn)題，除了合理選擇圓的方程，還要注意圓的對(duì)稱(chēng)性等幾何性質(zhì)的運(yùn)用，這樣可以簡(jiǎn)化計(jì)算.
2. ⑴用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，要分清焦點(diǎn)在x軸上還是y軸上，還是兩種都存在. ⑵注意橢圓定義、性質(zhì)的運(yùn)用，熟練地進(jìn)行a、b、c、e間的互求，并能根據(jù)所給的方程畫(huà)出橢圓.⑶求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 應(yīng)注意兩個(gè)問(wèn)題：⑴ 正確判斷焦點(diǎn)的位置;⑵ 設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程后，運(yùn)用待定系數(shù)法求解.⑷雙曲線 的漸近線方程為 或表示為 .若已知雙曲線的漸近線方程是 ，即 ，那么雙曲線的方程具有以下形式： ，其中k是一個(gè)不為零的常數(shù).⑸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩個(gè) 和 (a>0，b>0).這里 ，其中 =2c.要注意這里的a、b、c及它們之間的關(guān)系與橢圓中的異同.⑹求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，要線根據(jù)題設(shè)判斷拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的類(lèi)型，再求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，要線根據(jù)題設(shè)判斷拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的類(lèi)型，再由條件確定參數(shù)p的值.同時(shí)，應(yīng)明確拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程三者相依并存，知道其中拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程三者相依并存，知道其中一個(gè)，就可以求出其他兩個(gè).
解題的策略有：1、注意直線傾斜角范圍 、設(shè)直線方程時(shí)注意斜率是否存在，可以設(shè)成 ，包含斜率不存在情況，但不包含斜率為0情況。注意截距為0的情況;注意點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)問(wèn)題(光線的反射問(wèn)題);注意證明曲線過(guò)定點(diǎn)方法(兩種方法：特殊化、分離變量)2、注意二元二次方程表示圓的充要條件、善于利用切割線定理、相交弦定理、垂徑定理等平面中圓的有關(guān)定理解題;注意將圓上動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)、定直線的距離的最值轉(zhuǎn)化為圓心到它們的距離;注意圓的內(nèi)接四邊形的一些性質(zhì)以及正弦定理、余弦定理。以過(guò)某點(diǎn)的線段為弦的面積最小的圓是以線段為直徑，而面積最大時(shí)，是以該點(diǎn)為線段中點(diǎn)。3、注意圓與橢圓、三角、向量(注意利用加減法轉(zhuǎn)化、利用模與夾角轉(zhuǎn)化、然后考慮坐標(biāo)化)結(jié)合;4、注意構(gòu)建平面上的三點(diǎn)模型求最值，一般涉及“和”的問(wèn)題有最小值，“差”的問(wèn)題有最大值，只有當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)才取得最值;5、熟練掌握求橢圓方程、雙曲線方程、拋物線方程的方法：待定系數(shù)法或定義法，注意焦點(diǎn)位置的討論，注意雙曲線的漸近線方程：焦點(diǎn)在軸上時(shí)為 ，焦點(diǎn)在 軸上時(shí)為 ;注意化拋物線方程為標(biāo)準(zhǔn)形式(即2p、p、的關(guān)系);注意利用比例思想，減少變量，不知道焦點(diǎn)位置時(shí)，可設(shè)橢圓方程為 。6、熟練利用圓錐曲線的第一、第二定義解題;熟練掌握求離心率的題型與方法，特別提醒在求圓錐曲線方程或離心率的問(wèn)題時(shí)注意利用比例思想方法，減少變量。7、注意圓錐曲線中的最值等范圍問(wèn)題：產(chǎn)生不等式的條件一般有：①“ 法”;②離心率 的范圍;③自變量 的范圍;④曲線上的點(diǎn)到頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線的范圍;注意尋找兩個(gè)變量的關(guān)系式，用一個(gè)變量表示另一個(gè)變量，化為單個(gè)變量，建立關(guān)于參數(shù)的目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域當(dāng)題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，可考慮利用數(shù)形結(jié)合法， 注意點(diǎn)是要考慮曲線上點(diǎn)坐標(biāo)(x，y)的取值范圍、離心率范圍以及根的判別式范圍。8、求軌跡方程的常見(jiàn)方法：①直接法;★②幾何法;★③定義法;★④相關(guān)點(diǎn)法; 9、注意利用向量方法， 注意垂直、平行、中點(diǎn)等條件以向量形式給出;注意將有關(guān)向量的表達(dá)式合理變形;特別注意遇到角的問(wèn)題，可以考慮利用向量數(shù)量積解決;10、注意存在性、探索性問(wèn)題的研究，注意從特殊到一般的方法。
三、易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛
命題角度1對(duì)橢圓相關(guān)知識(shí)的考查
1.設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2，過(guò)F2作橢圓長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，若△FlPF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是 ( )
[考場(chǎng)錯(cuò)解] A
[專(zhuān)家把脈] 沒(méi)有很好地理解橢圓的定義，錯(cuò)誤地把 當(dāng)作離心率.
[對(duì)癥下藥] D 設(shè)橢圓的方程為 =l (a，b >0) 由題意可設(shè)PF2=F1F2=k，PF1= k，則e=
2.設(shè)雙曲線以橢圓 =1長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)為焦點(diǎn)，其準(zhǔn)線過(guò)橢圓的焦點(diǎn)，則雙曲線的漸近線的斜率為 ( )
A.±2 B.± C.± D.±
[考場(chǎng)錯(cuò)解] D 由題意得a=5，b=3，則c=4而雙曲線以橢圓 =1長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)為焦點(diǎn)，則a=c =4，b=3 ∴k=
[專(zhuān)家把脈] 沒(méi)有很好理解a、b、c的實(shí)際意義.
[對(duì)癥下藥] C 設(shè)雙曲線方程為 =1，則由題意知c=5， =4 則a2=20 b2=5，而a=2 b= ∴雙曲線漸近線斜率為± =
3.從集合{1，2，3…，11}中任選兩個(gè)元素作為橢圓方程 =1中的m和n，則能組成落在矩形區(qū)域B={(x，y)‖x<11，且y<9}內(nèi)的橢圓個(gè)數(shù)為 ( )
A.43 B.72 C.86 D.90
[考場(chǎng)錯(cuò)解] D 由題意得，m、n都有10種可能，但m≠n故橢圓的個(gè)數(shù)10×10-10=90.
[專(zhuān)家把脈] 沒(méi)有注意，x、y的取值不同.
[對(duì)癥下藥] B 由題意得m有10種可能，n只能從集合11，2，3，4，5，6，7，81中選取，且m≠n，故橢圓的個(gè)數(shù)：10×8-8=72.
4.設(shè)直線l與橢圓 =1相交于A、B兩點(diǎn)，l又與雙曲線x2-y2=1相交于C、D兩點(diǎn)，C、D三等分線段AB，求直線l的方程 ( )
[考場(chǎng)錯(cuò)解] 設(shè)直線l的方程為y=kx+b
如圖所示，l與橢圓，雙曲線的交點(diǎn)為A(x1，y1)、B (x2，y2)、C(x3，y3)、D(x4，y4)，依題意有 =3
由 所以x1+x2=-
由 得(1-k2)x2-2bkx-(b2+1)=0
(2) 若k=±1，則l與雙曲線最多只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意，故k≠±1
所以x3+x4= 、由 x3-x1=x2-x4 x1+x2=x3+x4 - bk=0或b =0
①當(dāng)k=0時(shí)，由(1)得x1、2=± 由(2)得x3、4=± 由 =3(x4-x1)即 故l的方程為y=±
②當(dāng)b=0時(shí)，由(1)得x1、2=± ，由(2)得x3、4= 由 =3(x4-x3)即 綜上所述：直線l的方程為：y=
[專(zhuān)家把脈] 用斜截式設(shè)直線方程時(shí)沒(méi)有注意斜率是否存在，致使造成思維片面，漏解.
[對(duì)癥下藥] 解法一：首先討論l不與x軸垂直時(shí)的，情況.
設(shè)直線l的方程為y=kx+b，如圖所示，l與橢圓、雙曲線的交點(diǎn)為：A(x1，y1)、B(x2， y2)、C(x3，y3)、D(x4，y4)，依題意有 .由 得(16+25k2)x2+50bkx+(25b2-400)=0.(1) 所以x1+x2=- 由 得(1-k2+x2-2bkx-(b2+1)=0.
若k=±1，則l與雙曲線最多只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意，故k≠±1.所以x3+x4=
由 x1+x2=x2+x4 或 b=0.
①當(dāng)k=0時(shí)，由(1)得 由(2)得x3、4=± 由 (x4-x3).
即 故l的方程為 y=±
②當(dāng)b=0時(shí)，由(1)得x1、2=
自(2)得x3、4= (x4-x3).即
故l的方程為y= .再討論l與x軸垂直時(shí)的情況.
設(shè)直線l的方程為x=c，分別代入橢圓和雙曲線方程可解得yl、2=
y3、4= 即
綜上所述，直線l的方程是：y= x、y=± 和x=
x3、4= ∵x2-x1=3(x4-x3) .故l的方程為y=±
②當(dāng)y0=0，x0≠0，由(2)得x4=x3≠0，這時(shí)l平行y軸.設(shè)l的方程為x=c，分別代入橢圓、雙曲線方程得：yl、2= y3、4= ∵y2-y1=3(y4-y3)
故l的方程為：
③當(dāng)x0=0，y0=0時(shí)，這時(shí)l通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且不與x軸垂直.設(shè)l的方程為y=kx，分別代入橢圓、雙曲線方程得：x1、2= 故l的方程為y= 綜上所述，直線l的方程是：y= 、y= 和x=
5.設(shè)A、B是橢圓3x2+y2=λ上的兩點(diǎn)，點(diǎn)N(1，3)是線段AB的中點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點(diǎn). (1)確定A的取值范圍，并求直線AB的方程; (Ⅱ)試判斷是否存在這樣的A，使得A、B、C、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上?并說(shuō)明理由.(此題不要求在答題卡上畫(huà)圖)
[考場(chǎng)錯(cuò)解] (1)設(shè)A(x1，y1)B(x2，y2)則有: (x1-x2)(x1+x2)+(yl-y2)(yl+y2)=0
依題意，x1≠x2 ∴kAB- ∵N(1，3)是AB的中點(diǎn)，∴x1+x2=2,yl+y2=6從而kAB=-9又由N(1，3)在橢圓內(nèi)，∴λ<3×12+32=12 ∴λ的取值范圍是(-∞，12)直線AB的方程為y-3=-9(x-1)即9x+y-12=0
[專(zhuān)家把脈] ①用“差比法”求斜率時(shí)kAB= 這地方很容易出錯(cuò).②N(1，3)在橢圓內(nèi)，λ>3×12+32=12應(yīng)用結(jié)論時(shí)也易混淆.
[對(duì)癥下藥] (1)解法1：依題意，可設(shè)直線AB的方程為y=A(x-1)+3，代入3x2+y2=λ，整理得(k2+3)x2-2k(k-3)x+(k-3)2-λ=0.① 設(shè)A(x1，y1)、B(x2、y2)，則x1，x2是方程①的兩個(gè)不同的根，
∴△=4[λ(k2+3)-3(k-3)2]>0，② 且x1+x2= ，由N(1，3)是線段AB的中點(diǎn)，得 ，∴A(k-3)=k2+3.解得k=-1，代入②得，λ>12，即λ的取值范圍是(12，+∞).于是，直線AB的方程為y-3=-(x-1)，即x+y-4=0.
解法2：設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，則有 (x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0
依題意，x1≠x2，∴kAB=- ∵N(1，3)是AB的中點(diǎn)，∴x1+x2=2，yl+y2=6，從而kAB=-1.又由N(1，3)在橢圓內(nèi)，∴λ>3×12+32=12， ∴λ的取值范圍是(12，∞).直線AB的方程為y-3=-(x-1)，即x+y-4=0.
(Ⅱ)解法1：∵CD垂直平分AB，∴直線CD的方程為y-3 =x-1，即x-y+2=0，代入橢圓方程，整理得4x2+4x+4
又設(shè)C(x3，y3)，D(x4，y4)，CD的中點(diǎn)為M(x0，y0)，則x3， x4是方程③的兩根，∴x3+x4=-1，且x0= (x3+x4)=- ，y0=x0+2= ，即M(- ， ).于是由弦長(zhǎng)公式可得CD= ④將直線AB的方程x+y-4=0，代入橢圓方程得4x2-8x+ 16-λ=0 ⑤同理可得AB= ⑥ ∵當(dāng)λ>12時(shí)， > ,∴AB<CD
假設(shè)存在λ>12，使得A、B、C、D四點(diǎn)共圓，則CD必為圓的直徑，點(diǎn)M為圓心.點(diǎn)M到直線AB的距離為d= ⑦
于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得 MA2=MB2=d2+
故當(dāng)λ>12時(shí)，A、B、C、D四點(diǎn)均在以M為圓心， 為半徑的圓上.
(注：上述解法中最后一步可按如下解法獲得：) A、B、C、D共圓 △ACD為直角三角形，A為直角 AN2 =CN•DN，即 . ⑧
由⑥式知，⑧式左邊= ,由④和⑦知，⑧式右邊=
∴⑧式成立，即A、B、C、D四點(diǎn)共圓解法2：由(Ⅰ)解法1及λ>12，
∵CD垂直平分AB，∴直線CD方程為y-3=x-1，代入橢圓方程，整理得4x2+4x+4-λ=0.③
將直線AB的方程x+y-4=0，代入橢圓方程，整理得4x2-8x+16-λ=0.⑤
解③和⑤式可得 xl，2=
不妨設(shè)A(1+
計(jì)算可得 ,∴A在以CD為直徑的圓上.又B為A關(guān)于CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓.
(注：也可用勾股定理證明AC⊥AD)
專(zhuān)家會(huì)診 1.重點(diǎn)掌握橢圓的定義和性質(zhì)，加強(qiáng)直線與橢圓位置關(guān)系問(wèn)題的研究.2.注重思維的全面性，例如求橢圓方程時(shí)只考慮到焦點(diǎn)在，軸上的情形;研究直線與橢圓位置關(guān)系時(shí)忽略了斜率不存在的情形3.注重思想方法的訓(xùn)練，在分析直線與橢圓位置關(guān)系時(shí)要利用數(shù)形結(jié)合和設(shè)而不求法與弦長(zhǎng)公式韋達(dá)定理聯(lián)系去解決;關(guān)于參數(shù)范圍問(wèn)題常用思路有：判別式法，自身范圍法等.求橢圓的方程常用方法有：定義法，直接法，待定系數(shù)法，相關(guān)點(diǎn)法，參數(shù)法等.
命題角度2對(duì)雙曲線相關(guān)知識(shí)的考查
1.已知雙曲線x2- =1的焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)M在雙曲線上且 ，則點(diǎn)M到x軸的距離為 ( )
[考場(chǎng)錯(cuò)解] B
[專(zhuān)家把脈] 沒(méi)有理解M到x軸的距離的意義.
[對(duì)癥下藥] C 由題意得a=1，b= ，c= 可設(shè)M (x0，y0)MF1=ex0+a= x0+1，
MF2= ex0-a= x0-1 由MF12+MF22=F1F22得 x02=
即點(diǎn)M到x軸的距離為
2.已知雙曲線 =1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，右準(zhǔn)線與一條漸近線交于點(diǎn)A，△OAF的面積為 (O為原點(diǎn))，則兩條漸近線的夾角為 ( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
[考場(chǎng)錯(cuò)解] B
[專(zhuān)家把脈] 把兩條漸近線的夾角看成漸近線的傾斜角.
[對(duì)癥下藥] D 由題意得A( )s△OAF= •c• ，則兩條漸近線為了y=x與y=-x則求兩條漸近線的夾角為90°.
解不等式，得
專(zhuān)家會(huì)診 1.注意雙曲線兩個(gè)定義的理解及應(yīng)用，在第二定義中，要強(qiáng)調(diào)e>1，必須明確焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的對(duì)應(yīng)性 2.由給定條件求出雙曲線的方程，常用待定系數(shù)法，當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，方程可能有兩種形式，應(yīng)防止遺漏. 3.掌握參數(shù)a、b、c、e的關(guān)系，漸近線及其幾何意義，并注意靈活運(yùn)用.
命題角度3對(duì)拋物線相關(guān)知識(shí)的考查。
1.過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)之和等于5，則這樣的直線 ( )
A.有且僅只有一條 B.有且僅有兩條 C.有無(wú)窮多條 D.不存在
[考場(chǎng)錯(cuò)解] D 由題意得AB=5 p=4，通徑長(zhǎng)為 2×4=8 5<8，故不存在這樣的直線.
[專(zhuān)家把脈] 沒(méi)有理解拋物線焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)及p的意義.
[對(duì)癥下藥] B 解法一：由題意得P=2，通徑長(zhǎng)為4，而AB=x1+x2+p=7，由7>4，則這樣的直線有且僅有兩條，解法二：用待定系數(shù)法設(shè)直線方程為y=k(x-1)采用設(shè)而不求的方法求出k有兩個(gè)值，即直線有且僅有兩條.
2.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)在拋物線y=2x2上，l是AB的垂直平分線. (1)當(dāng)且僅當(dāng)x1+x2取何值時(shí)，直線l經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F?證明你的結(jié)論; (Ⅱ)當(dāng)直線l的斜率為2時(shí)，求l在y軸上截距的取值范圍.
[考場(chǎng)錯(cuò)解] (Ⅱ)，設(shè)l在y軸上的截距為b，依題意得l的方程為y=2x+b，過(guò)點(diǎn)A、B的直線方程可寫(xiě)為y= 與y=2x2聯(lián)立得2x2+ x-m=0.得x1+ x2=- ;設(shè)AB的中點(diǎn)N的坐標(biāo)為(x0，y0)
則x0= (x1+x2)=- ,y0=- x0+m= +m.由N∈l,得 +m=- +b，于是b= 即得l在y軸上截距的取值范圍為[ ].
[專(zhuān)家把脈] 沒(méi)有借助“△>0”來(lái)求出m> ，無(wú)法進(jìn)一步求出b的范圍，只好胡亂地把m當(dāng)作大于或等于0.
[對(duì)癥下藥] (1)F∈l FA=FB A、B兩點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離相等. ∵拋物線的準(zhǔn)線是x軸的平行線，y1≥0，y2≥0，依題意 y1、y2不同時(shí)為0， ∴上述條件等價(jià)于yl=y2 x12 =x22 (x1+x2)(x1-x2)=0;
∵x1≠x2，∴上述條件等價(jià)于 x1+x2=0. 即當(dāng)且僅當(dāng)x1+x2=0時(shí)，l經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F。
(Ⅱ)設(shè)l在y軸上的截距為b，依題意得l的方程為y=2x+b過(guò)點(diǎn)A、B的直線方程可寫(xiě)為y=- x+m，所以x1、x2滿(mǎn)足方程2x2+ x-m=0，得x1+x2=- ; A、B為拋物線上不同的兩點(diǎn)等價(jià)于上述方程的判別式 +8m>0，即m> 設(shè)AB的中點(diǎn)N的坐標(biāo)為(x0，y0)，則x0= (x1+x2)=- ，y0=- x0+m= +m
由N∈l，得 +m=- +b，于是b= +m> 即得l在y軸上截距的取值范圍為( ，+∞).
3.如圖，過(guò)拋物線y2=2px(p>0)上一定點(diǎn)p(x0，y0)(y0>0)，作兩條直線分別交拋物線于A (x1，y1)，B(x2，y2).(1)求該拋物線上縱坐標(biāo)為 的點(diǎn)到其焦點(diǎn)F的距離; (Ⅱ)當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，求 的值，并證明直線AB的斜率是非零常數(shù).
[考場(chǎng)錯(cuò)解] (1)當(dāng)y= 時(shí)，x= 又拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-P，由拋物線定義得，所求距離為
(Ⅱ)設(shè)直線PA的斜率為kPA，直線PB的斜率為kPB由y21=2px1,y20=2px0
相減得(yl-y0)(y1+y0)=2P(x1-x0) 故kPA= (x1≠x0).
同理可得kpB= (x2≠x0)由kPA=-kPB得y0=-2 (yl+y2)故
設(shè)直線AB的斜率為kAB。由y22=2px2,y21=2px1 相減得 (y2-y1)(y2+y1)=2P(x2-x1)
故kAB= 將y1+y2=- y0(y0>0)代入得kAB=- 故kAB是非零常數(shù).
[專(zhuān)家把脈] ①?zèng)]有掌握拋物線的準(zhǔn)線方程，②計(jì)算不夠準(zhǔn)確.
[對(duì)癥下藥] (1)當(dāng)y= 時(shí)，x= ，又拋物線y2= 2px的準(zhǔn)線方程為x= ，
由拋物線定義得，所求距離為 -(- )=
(Ⅱ)設(shè)直線PA的斜率為kPA，直線PB的斜率為kPB
由y12=2px1，y20=2px0相減得(y1-y0)(yl+y0)=2P(x1-x0)，
故kPA= (x1≠x0).同理可得kPB= (x2≠x0).
由PA、PB傾斜角互補(bǔ)知kPA=-kPB，即 =- ，所以yl+y2=-2y0，
故 =-2. 設(shè)直線AB的斜率為kAB
由y22=2px2，y21=2pxl
相減得(y2-y1)(y2+y1)=2p(x2-x1)，
所以
將yl+y2=-2y0(y0>0)代入得
所以kAB是非零常數(shù).
4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x2上異于坐標(biāo)原點(diǎn)O的兩不同動(dòng)點(diǎn)A、B滿(mǎn)足AO⊥BO(如圖所示).
(1)求△AOB的重心C(即三角形三條中線的交點(diǎn))的軌跡方程;
(Ⅱ)△AOB的面積是否存在最小值?若存在，請(qǐng)求出最小值;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
[考場(chǎng)錯(cuò)解](Ⅰ)設(shè)△AOB的重心為G(x,y)A(x1,y1)B(x2,y2)則
∵OA x1x2+yly2=0(2)
又點(diǎn)A、B在拋物線上，有y1=x12，y2=x22代入(2)化簡(jiǎn)得xlx2=0或-1
∴y= [(x1+x2)2-2x1x2]=3x2+ 或3x2，故重心為G的軌跡方程為y=3x2或y=3x2+ .
[專(zhuān)家把脈]沒(méi)有考慮到x1x2=0時(shí)，△AOB不存在
[對(duì)癥下藥] (Ⅰ)設(shè)△AOB的重心為G(x,y)A(x1,y1)B(x2,y2)則
又點(diǎn)A、B在拋物線上，有y1=x12，y2=x22代入(2)化簡(jiǎn)得xlx2=-1
∴y= [(x1+x2)2-2x1x2]= =3x2+ 所以重心為G的軌跡方程為y=3x2+
(Ⅱ)S△AOB=
由(1)得S△AOB=
當(dāng)且僅當(dāng)x16=x26即x1=-x2=-1時(shí)，等號(hào)成立。所以△AOB的面積存在最小值，最小值為1。
專(zhuān)家會(huì)診用待定系數(shù)法求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，注意分類(lèi)討論思想。凡涉及拋物線的弦長(zhǎng)，弦的中點(diǎn)，弦的斜率問(wèn)題時(shí)要注意利用韋達(dá)定理，能避免求交點(diǎn)坐標(biāo)的復(fù)雜運(yùn)算。解決焦點(diǎn)弦問(wèn)題時(shí)，拋物線的定義有廣泛的應(yīng)用，而且還應(yīng)注意焦點(diǎn)弦的幾何性質(zhì)。
∴(x1，yl-1)= (x2，y2-1)由此得x1= x2，由于x1， x2都是方程①的根，且1-a2≠0，所以 消去x2得
[專(zhuān)家把脈] (1)沒(méi)有考慮到1-a2≠0(Ⅱ)沒(méi)有注意到題目本身的條件a>0.
[對(duì)癥下藥] (1)由C與l相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，故知方程組
有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，消去y并整理得(1-a2)x2+2a2x +2a2x-2a2=0所以 解得0 且e≠ ，即離心率e的取值范圍為( )∪( ).
(Ⅱ)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0，1).∵ ∴(x1,y1-1)= (x2,y2-1)由此得x1= x2，由于x1，x2都是方程①的根，且1-a2≠0，所以 x2=- ，消x2，得- ，由a>0，所以a=
2.給定拋物線C：y2=4x，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn) (1)設(shè)l的斜率為1，求 與 夾角的大小; (Ⅱ)設(shè) ，若λ∈[4，9]，求l在y軸上截距的變化范圍.
[考場(chǎng)錯(cuò)解] (1)設(shè) 與 夾角為α;由題意l的方程為了y=x-1，將y=x-1代入y2=4x得x2-6x+1=0設(shè)A(x1，y1)B(x2，y2)則有x1+x2=6，x1x2=1.易得 • =x1x2+y1y2=-3， cosα= ∴α=-arccos
(Ⅱ)由題意知 ，過(guò)A、B分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A'、B'.
∴FB=BB'，AF=AA' ∴BB’=λAA'，λ∈[4， 9]
設(shè)l的方程為y=k(x-1)由 得k2x2-(2k2 +4)x+k2=0
∴x= ∴AA'= +l =
BB'=
[專(zhuān)家把脈] (Ⅰ)沒(méi)有理解反余弦的意義.(Ⅱ)思路不清晰.
[對(duì)癥下藥] (1)C的焦點(diǎn)為F(1，0)，直線l的斜率為1，所以l的方程為了y=x-1.
將y=x-1代入方程y2=4x，并整理得x2-6x+1=0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有xl+x2=6，x1x2=1.
=(x1，y1)•(x2,y2)=x1x2+yly2=2x1x2-(x1 +x2)+1=-3.
所以 與 夾角的大小為π-arc cos (Ⅱ)由題設(shè) 得 (x2-1，y2)=λ(1-x1，-y1)，
即 由②得y22=λ2y21.∵y21=4x1，y22=4x2，∴x2=λ2x1 ③
聯(lián)立①、③解得x2=λ，依題意有λ>0，∴B(λ，2 )或B (λ，-2 )，又9(1，0)，得直線
(2)當(dāng)PF1=F1F2時(shí)，同理可得 解得e2=3于是λ=1-3=-2.
(3)當(dāng)PF2=F1F2時(shí)，同理可得 =4c2 解得e2=1 于是λ=1-1=0
綜上所述，當(dāng)λ= 或-2或0時(shí)△PF1F2，F(xiàn)2為等腰三角形.
[專(zhuān)家把脈] (1)沒(méi)有注意到因?yàn)镻F1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1為鈍角，要使△PF1F2為等腰三角形，必有PF1=F1F2 (2)沒(méi)有注意到橢圓離心率的范圍.
[對(duì)癥下藥] (1)證法一：因?yàn)锳、B分別是直線l：y= ex+a與x軸、y軸的交點(diǎn)，所以A、B的坐標(biāo)分別是(- )(0,a). 由
所以點(diǎn)M的坐標(biāo)是(-c, )，由 得(-c+ )=λ( ，a). 即
證法二：因?yàn)锳、B分別是直線l:y=ex+a與x軸、y軸的交點(diǎn)，所以A、B的坐標(biāo)分別是(- ，0)，(0，a)，設(shè)M的坐標(biāo)是(x0，y0)，由 得( )，
所以 因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓上，所以 =1，
即 e4-2(1-λ)e2+(1-λ)2=0，解得e2=1-λ 即λ=1-e2.
(Ⅱ)解法一：因?yàn)镻F1⊥l，所以 ∠PF1F2=90°+∠BAF1為鈍角，要使△PF1F2為等腰三角形，必有PF1=F1F2,即 PF1=c. 設(shè)點(diǎn)F1到l的距離為d，由 PF1=d， = ,得
=e.所以e2= ，于是λ=1-e2= .即當(dāng)λ= 時(shí)，△PF1F2為等腰三角形.
解法二：因?yàn)镻F1⊥l，所以，∠PF1F2=90°+∠BAF1為鈍角，要使△PF1F2為等腰三角形，必有PF1=F1F2,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x0，y0)，
則 解得 由PF1=FlF2得 =4c2，
兩邊同時(shí)除以4a2，化簡(jiǎn)得 =e2.從而e2= 于是λ=l-e2= .即當(dāng)λ= 時(shí)，△PF1F2為等腰三角形.
4.拋物線C的方程為y=ax2(a<0)，過(guò)拋物線C上一點(diǎn)P(x0，y0)(x0≠0)作斜率為k1，k2的兩條直線分別交拋物線C于A(x1，y1)B(x2，y2)兩點(diǎn)(P、A、B三點(diǎn)互不相同)，且滿(mǎn)足k2+λk1=0(λ≠0且λ≠-1).
(Ⅰ)求拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程; (Ⅱ)設(shè)直線AB上一點(diǎn)M滿(mǎn)足 =λ ，證明線段PM的中點(diǎn)在y軸上 (Ⅲ)當(dāng)A=1時(shí)，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，-1)，求∠PAB為鈍角時(shí)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y1的取值范圍.
[考場(chǎng)錯(cuò)解] (1)拋物線C的方程y=ax2(a<0)得，焦點(diǎn)坐標(biāo)為( ，0)準(zhǔn)線方程為x=-
(Ⅲ)∵P(-1，1)在y=ax2上，故a=-1∴y=-x2
由(Ⅱ)易得y1=-(k1+1)2，y2=(k2+1)2，因此，直線PA、PB分別與拋物線C的交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為A(-k1 -1,-k21-2k1-1)，B(k1-1，-k21+2k1-1)
于是 = (k1+2,k21+2k1)， =(2k1，4k1)， 2k1(k1+2)(2k1+1)因∠PAB為鈍角且P、A、B三點(diǎn)互不相同，故必有 • <0易得k1的取值范圍是 k1<-2或
故當(dāng)k1<-2時(shí)，y¬<-1;當(dāng)-
[專(zhuān)家把脈] 沒(méi)有掌握好拋物線的標(biāo)準(zhǔn)形式及交并集的概念.
[對(duì)癥下藥] (1)由拋物線C的方程y=ax2(a<0)得，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0， )，準(zhǔn)線方程為y=- .
(Ⅱ)證明：設(shè)直線PA的方程為y-y0=k1(x-x0)，直線 PB的方程為y-y0=k2(x-x0).
點(diǎn)P(x0，y0)和•點(diǎn)A(x1，y1)的坐標(biāo)是方程組
的解.將②式代入①式得ax2-k1x+klx0-y0=0，于是 x1+x0= ，故x1= -x0③
又點(diǎn)P(x0，y0)和點(diǎn)B(x2，y2)的坐標(biāo)是方程組
的解.將⑤式代入④式得ax2-k2x+k2x0-y0=0.于是x2+x0= ，故x2= -x0, 由已知得，k2=-λkl，則x2= ⑥設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(xM,yM)，由 =λ ，則xM= .將③式和⑥式代入上式得 x0，即xM+x0=0.所以線段PM的中點(diǎn)在y軸上.
(Ⅲ)因?yàn)辄c(diǎn)P(1，-1)在拋物線y=ax2上，所以a=-1，拋物線方程為y=-x2.由③式知x1=-k1-1，代入y=-x2得y1=-(k1+1)2.將λ=1代入⑥式得x2=k1-1，代入y=-x2得y2=- (k2+1)2.因此，直線PA、PB分別與拋物線C的交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為 A(-k1，-1，-k21-2k1-1)，B(k1-1，-k12+2k1-1).
于是 =(k1+2，k12+2k1)， =(2K1，4K1)， = 2k1(k1+2)+4kl(k12+2k1)=2k1(k1+2)(2k1+1).因∠PAB為鈍角且P、A、B三點(diǎn)互不相同，故必有 <0.求得k1的取值范圍是k1<-2或-
專(zhuān)家會(huì)診 1.判定直線與圓錐曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)的基本方法是聯(lián)立方程組，判斷方程組解的組數(shù)，對(duì)于直線與雙曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題還可借助直線與漸近線斜率的關(guān)系來(lái)判斷，而直線與拋物線的位置關(guān)系則可借助直線與拋物線對(duì)稱(chēng)軸的位置關(guān)系來(lái)判定，不可混淆.2.涉及弦長(zhǎng)的問(wèn)題中，應(yīng)熟練地利用韋達(dá)定理，設(shè)而不求計(jì)算弦長(zhǎng)，不要蠻算，以免出現(xiàn)差錯(cuò).3.涉及弦長(zhǎng)的中點(diǎn)問(wèn)題，常用“差分法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來(lái)，相互轉(zhuǎn)化。
命題角度5對(duì)軌跡問(wèn)題的考查
1.(典型例題)已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，離心率為若它的一條準(zhǔn)線與拋物線y2=4x的準(zhǔn)線重合，則該雙曲線與拋物線y2=4x的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是 ( )
A.2 B. C.18+12 D.21
[考場(chǎng)錯(cuò)解] C
[專(zhuān)家把脈] 對(duì)雙曲線的定義理解不夠深刻.
[對(duì)癥下藥] B 設(shè)雙曲線方程為 =1，由題意得 則a= b= ，則雙曲線方程為 =1,由 得A(3，2 )，故交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為
2.(典型例題)已知點(diǎn)A(-2，0)、B(3，0)，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿(mǎn)足 =x2，則點(diǎn)P的軌跡是 (Ⅱ)直線l1:kx-y=0 直線l2:kx+y=0由題意得 • =d2即 =d2
∴k2x2-y2±(k2+1)d2=0故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為k2x2-y2±(k2+1)d2=0
(Ⅲ)略
[專(zhuān)家把脈] 沒(méi)有很好地理解題意，第二問(wèn)出現(xiàn)兩解，致使第三問(wèn)過(guò)于復(fù)雜難以完成.
[對(duì)癥下藥] 解：(I)W1={(x，y)kx0}，
(Ⅱ)直線l1:kx-y=0 直線l2:kx+y=0，由題意得 • =d2，即 =d2，
由P(x，y)∈W，知k2x2-y2>0，所以 =d2，即k2x2-y2-(k2+1)d2=0，
所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為k2x2-y2-(k2+1)d2=0;
(Ⅲ)當(dāng)直線J與，軸垂直時(shí)，可設(shè)直線J的方程為，x=a (a≠0).由于直線l，曲線C關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，且l1與l2關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，于是M1M2，M3M4的中點(diǎn)坐標(biāo)都為(a，0)，所以△OM1M2，△OM3M4的重心坐標(biāo)都為( a，0)，即它們的重心重合，
當(dāng)直線l1與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線J的方程為y=mx+n(n ≠0).
由 , 得(k2-m2)x2-2mnx-n2-k2d2-d2=0
在△QF1F2中 故有x2+b2= a2(x=±a)
(Ⅲ)C上存在M(x0，y0)使s=b2的充要條件是：
又 =(-C-x0-y0)， =(c-x0,y0)由 • =x02-c2+y20=a2-c2=b2
即 cos∠F1MF2=b2又s= sin∠FlMF2得tan ∠FlMF2=2
[專(zhuān)家把脈] (1)沒(méi)有注意證明題的書(shū)寫(xiě)格式(2)思考問(wèn)題不夠全面.
[對(duì)癥下藥] (1)證法一：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y).由P(x，y)在橢圓上，得
2
由x≤a，知a+ ≥-c+a>0，所以 =a+ x.新課 標(biāo)第 一網(wǎng)
證法二：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y).記
則r1= ，r2= .
由r1+r2=2a，r21-r22=4cx，得 =r1=a+ .
證法三：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y).橢圓的左準(zhǔn)線方程a+ =0.
由橢圓第二定義得 即
由x≥-a，知a+ ≥-c+a>0，所以 =a+
(Ⅱ)解法一：設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為(x，y).當(dāng) =0時(shí)，點(diǎn)(a，0)和點(diǎn)(-a，0)在軌跡上.當(dāng) 且 時(shí)，由 =0，得 又 ，所以T為線段F2Q的中點(diǎn).在△QF1F2中， =a，所以有x2+y2=a2綜上所述，點(diǎn)T的軌跡C的方程是x2+y2=a2
解法二：設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為(x，y).當(dāng) =0時(shí)，點(diǎn)(a，0)和點(diǎn)(-a，0)在軌跡上.
當(dāng) 且 時(shí)，由 又 = ，所以T為線段F2Q的中點(diǎn).
設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x'，y')，則 因此 ①由 =2a得(x'+c)2+y'2=4a2.②
將①代入②，可得x2+y2=a2.綜上所述，點(diǎn)T的軌跡C的方程是x2+y2=a2
(Ⅲ)解法一：C上存在點(diǎn)M(x0，y0)使S=b2的充要條件是
由③得，y0≤a，由④得，y0≤ ，所以，當(dāng)a≥ 時(shí)，存在點(diǎn)M，使S=b2;
當(dāng)a< 時(shí)，不存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)M.當(dāng)a≥ 時(shí)， =(-c-c0,-y0)， =(c-c0,-y0)，
由 • =x02-c2+y20=a2-c2=b2，
解法二：C上存在點(diǎn)M(x0，y0)使S=b2的充要條件是
由④得y0 ，上式代入③得x20=a2- =(a- ) (a+ )≥0.
于是，當(dāng)a≥ 時(shí)，存在點(diǎn)M，使s=b2;當(dāng)a< 時(shí)，不存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)M.
當(dāng)a≥ 時(shí)，記k1=kF1M=
由F1F2<2a,知∠F1MF2<90°，所以tan∠F1MF2= =2.
專(zhuān)家會(huì)診 (1)求軌跡方程的本質(zhì)是用代數(shù)形式將動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律表示出來(lái)，實(shí)質(zhì)上是一個(gè)翻譯過(guò)程，故選取一定解題策略找到動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的一些表現(xiàn)形式是關(guān)鍵，往往和研究曲線幾何性質(zhì)，討論直線與曲線位置關(guān)系等聯(lián)系在一起.(2)求軌跡要注意取值范圍和“雜點(diǎn)”的去除.
故舍去
綜上所述：當(dāng)x= 時(shí)d取得最小值
[專(zhuān)家把脈] 沒(méi)有考慮到橢圓的分面有界性，致使思路不清晰，計(jì)算繁瑣.
[對(duì)癥下藥] [解](1)由已知可得點(diǎn)A(-6，0)，F(xiàn)(0，4)
設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則 =(x+6，y)， =(x-4，y)，由已知可得
則 2x2+9x-18=0，x= 或x=-6.由于y>0，只能x= ，于是y= 點(diǎn)P的坐標(biāo)是( )
(2)直線AP的方程是x- +6=0.設(shè)點(diǎn)M(m，0)，則M到直線AP的距離是 .于是 = m-6，又-6≤m≤6，解得m=2.橢圓上的點(diǎn)(x，y)到點(diǎn)M的距離d有，d2=(x-2)2+y2 =x2-4x+4+20- x2 = (x- )2+15，由于-6≤m≤6，∴當(dāng)x= 時(shí)，d取得最小值
2.如圖，直線y= x嚴(yán)與拋物線y= x2-4交于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與直線y=-5交于點(diǎn)Q. (1)求點(diǎn)Q的坐標(biāo) (2)當(dāng)P為拋物線上位于線段AB下方(含點(diǎn)A、B)的動(dòng)點(diǎn)時(shí)，求△OPQ面積的最大值.
[考場(chǎng)錯(cuò)解] (1)略(Ⅱ)由(1)得Q(5，-5) 直線OQ的方程為x+y=0
設(shè)P(x, -4)∵點(diǎn)P到直線OQ的距離
d=
∵-4≤x≤8. ∴S△OPQ最大值= (-4+4)2-48=15
[專(zhuān)家把脈] 要注意二次函數(shù)最大值的求法.
[對(duì)癥下藥] (1)解方程組 ，得 即A(-4，-2)，B(8，4)，從而AB的中點(diǎn)為M(2，1)，由 ，得線段AB的垂直平分線方程y-1=-2(x-2).令y=-5，得x=5，∴Q(5，-5).
(2)直線OQ的方程為x+y=0，設(shè)P(x， -4)，∵點(diǎn)P到直線OQ的距離d= ∵P為拋物線上位于線段AB下方點(diǎn)，且P不在直線OQ上. ∴ -4≤x<4 -4或4 -4
3.設(shè)橢圓方程為x2+ =1，過(guò)點(diǎn)M(0，1)的直線l交橢圓于點(diǎn)A、B、O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿(mǎn)足 ，點(diǎn)N的坐標(biāo)為( ， )，當(dāng)l繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí)，求： (Ⅰ)動(dòng)點(diǎn)戶(hù)的軌跡方程; (Ⅱ) 的最小值與最大值.
[考場(chǎng)錯(cuò)解] (1)①若l的斜率存在，設(shè)為k，則l：y =kx+1代入4x2+y2=4中得，(k2+4)x2+2kx-3=0
∴x1+x2=
i)A=0時(shí)，x=0 y=1，∴P(0，1)
ii)k≠0時(shí)，k= ∴P點(diǎn)的軌跡為：x2+y2-y=0(y≠O)
②若l不存在斜率，∴A、B為上、下頂點(diǎn).∴P(0，0)
(2)解：∵N( )，i)，∵k不存在時(shí)P(0，0)， ii) k=0時(shí)P(0，1). iii)k≠0時(shí)x2+(y- )2= 。又∵N( ) max=2r=1 ∴ min=0.
[專(zhuān)家把脈] 思路不清晰.
[對(duì)癥下藥] (1)解法一：直線l過(guò)點(diǎn)M(0，1)，設(shè)其斜率為A，則J的方程為y=kx+1.
記A(x1，y1)、B(x2，y2)，由題設(shè)可得A、B的坐標(biāo)(x1，y1)、(x2,y2)是方程組 的解.
將①代入②并化簡(jiǎn)得.(4+k2)x2+2kx-3=0.所以 于是
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則 消去參數(shù)k得 4x2+y2-y=0. ③當(dāng)k不存在時(shí)，A、B中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)(0，0)，也滿(mǎn)足方程③，所以點(diǎn)P的軌跡方程為 4x2+y2-y=0
解法二：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，因A(x1，y1)、B(x2，y2)在橢圓上，所以
④ ⑤④-⑤得 所以(x1-x2)(x1+x2)+ (y1-y2)(y1+y2)=0
當(dāng)x1≠x2時(shí)，有 ⑥并且 ⑦
將⑦代入⑥并整理得4x2+y2-y=0.⑧
當(dāng)x1=x2時(shí)，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為(0，2)、(0，-2)，這時(shí)點(diǎn)p的坐標(biāo)為(0，0)也滿(mǎn)足⑧，所以點(diǎn)P的軌跡方程為
(Ⅱ)解法：由點(diǎn)P的軌跡方程知x2≤ 。 即- ≤x≤ 所以
故當(dāng)x= 時(shí)， 取得最小值，最小值為 ，當(dāng)x= 時(shí)， 取得最大值，最大值為
由 消去x得y2-2(k2+b)y+b2=0③
則
的取值范圍是[2，+∞].
[專(zhuān)家把脈] (1)沒(méi)有注意“雜點(diǎn)”的去除;(Ⅱ)沒(méi)有注意利用重要不等式時(shí)等號(hào)成立的條件.
[對(duì)癥下藥] 解法：(1)設(shè)P(x1，y1)、Q(x2，y2)、M (x0，y0)，依題意x1≠0，yl>0，y2>0.由y= x2，①得y'=x. ∴過(guò)點(diǎn)P的切線的斜率k切=x1, ∵x1=0不合題意， ∴x1≠0.
∴直線l的斜率k1= ,直線l的方程為y- x21= (x-x1).②
方法一：聯(lián)立①②消去y，得x2+ -x21-2=0. ∵M(jìn)為PQ的中點(diǎn)，
消去x1,得y0=x02+ +1(x0≠0)，∴PQ中點(diǎn)M的軌跡方程為y=x2+ +1(x≠0)，
方法二：由y1= x21,y2= x22，x0= ，得y1-y2= x21- x22= (x1+x2)(x1-x2)=x0(x1-x2)，則x0= k1=- ∴x1=- ,將上式代入②并整理，得y0=x20+ +1(x0≠0)， ∴PQ中點(diǎn)M的軌跡方程為y=x2+ +1(x≠0).
(Ⅱ)設(shè)直線l：y=kx+b，依題意k≠0，b≠0，則T(0，b).分別過(guò)P、Q作PP'⊥x軸，QQ'⊥y軸，垂足分別為p'、 Q'，則
由 消去x，得y2-2(k2+b)y+b2=0.③則
方法三：由P、Q、T三點(diǎn)共線得kTQ=kTP,即 則x1y2-bx1=x2y1-bx2，即b(x2-x1)=(x2y1-x1y2).于是b=
可取一切不等于l的正數(shù)， 的取值范圍是(2，+∞).
專(zhuān)家會(huì)診①直線過(guò)定點(diǎn)的問(wèn)題，常用直線系的思想處理. ②定值問(wèn)題常常用函數(shù)的思想處理，即把所求定值通過(guò)一些基本變量表示，最終化成常數(shù).③最值問(wèn)題往往用幾何方法，函數(shù)或不等式等方法處理.
四、典型習(xí)題導(dǎo)練
1、已知橢圓 右頂點(diǎn)與右焦點(diǎn)的距離為 ，短軸長(zhǎng)為 (I)求橢圓的方程;(Ⅱ)過(guò)左焦點(diǎn)F的直線與橢圓分別交于A、B兩點(diǎn)，若三角形OAB的面積為 求直線AB的方程。
【解析】(Ⅰ)由題意， -----1分解得 -----2分
即：橢圓方程為 -----4分
(Ⅱ)當(dāng)直線 與 軸垂直時(shí)， ， 此時(shí) 不符合題意故舍掉;
當(dāng)直線 與 軸不垂直時(shí)，設(shè)直線 的方程為： ，代入消去 得：
------5分 設(shè) ，則 ，
所以 -----7分原點(diǎn)到直線的 距離 ，
所以三角形的面積 .由 ，
所以直線 或 .--------12分
2、設(shè)橢圓 的左焦點(diǎn)為 ，左、右頂點(diǎn)分別為 ，上頂點(diǎn)為 ，過(guò) 三點(diǎn)做 .(Ⅰ)若 是 的直徑，求橢圓的離心率;(Ⅱ)若 的圓心在直線 上，求橢圓的方程。
【解析】(Ⅰ)由橢圓的方程知 ∴ 設(shè) …1分∵ 是 的直徑，
∴ ,∵ ∴ ，…2分∴ ，
解得： …5分∴橢圓的離心率 …6分
(Ⅱ)解：∵ 過(guò)點(diǎn) 三點(diǎn)，∴圓心 即在 的垂直平分線，也在 的垂直 端點(diǎn)恰為一個(gè)正方形的頂點(diǎn).過(guò)右焦點(diǎn) 與 軸不垂直的直線 交橢圓于 ， 兩點(diǎn).(Ⅰ)求橢圓的方程;(Ⅱ)在線段 上是否存在點(diǎn) ,使得 ?若存在，求出 的取值范圍;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解析】(Ⅰ)因?yàn)闄E圓的短軸長(zhǎng)： ，又因?yàn)閮蓚�(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)恰為一個(gè)正方形的頂點(diǎn)，所以： ;故橢圓的方程為： ……4分
(Ⅱ)(1)若 與 軸重合時(shí)，顯然 與原點(diǎn)重合， ;
(2)若直線 的斜率 ，則可設(shè) ，設(shè) 則：
所以化簡(jiǎn)得： ;
的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為： ，代入 可得： 的中點(diǎn)為
， 由于 得到 所以：
直線 …10分
.12分
直線 恒過(guò)定點(diǎn) .……13分
5、設(shè)橢圓 的離心率與雙曲線 的離心率互為倒數(shù)，且內(nèi)切于圓 。(Ⅰ)求橢圓 的方程;(Ⅱ)若直線 交橢圓于A、B兩點(diǎn)，橢圓上一點(diǎn) ，求 面積的最大值。
【解析】(Ⅰ)雙曲線的離心率為 ，則橢圓 的離心率為 ，圓 的直徑為 ，則 ，由 所求橢圓 的方程為 …12分
6、已知橢圓 的右焦點(diǎn)恰好是拋物線 的焦點(diǎn)F，點(diǎn)A是橢圓E的右頂點(diǎn). 過(guò)點(diǎn)A的直線 交拋物線C于M，N兩點(diǎn)，滿(mǎn)足 ，其中 是坐標(biāo)原點(diǎn). (Ⅰ)求橢圓E的方程;(Ⅱ)過(guò)橢圓E的左頂點(diǎn)B作 軸平行線BQ，過(guò)點(diǎn)N作 軸平行線NQ，直線BQ與NQ相交于點(diǎn)Q. 若 是以MN為一條腰的等腰三角形，求直線MN的方程.
【命題意圖】本題考查橢圓、拋物線等基礎(chǔ)知識(shí)，考查轉(zhuǎn)化求解能力.
【解析】(Ⅰ) ，∴ ，設(shè)直線 代入 中，整理得 .設(shè) ，則 ，又∵ ，
∴ ，由 得 ，解得 或 (舍)，
得 ，所以橢圓 的方程為 .
(Ⅱ)橢圓E的左頂點(diǎn) ，所以點(diǎn) .易證M，O，Q三點(diǎn)共線.當(dāng)QM為等腰 的底邊時(shí)，由于 ，∴O是線段MQ的中點(diǎn)，∴ 所以 ，即直線 的方程為 ;
當(dāng)QN為等腰 底邊時(shí)， ，又∵ ，解得 或 ∴ ，所以直線MN的方程為 ，即 .綜上所述，當(dāng) 為等腰三角形時(shí)，直線MN的方程為 或 .
7、在平面直角坐標(biāo)系 中，動(dòng)點(diǎn) 到定點(diǎn) 的距離比它到 軸的距離大 ，設(shè)動(dòng)點(diǎn) 的軌跡是曲線 .(Ⅰ)求曲線 的軌跡方程;(Ⅱ)設(shè)直線 : 與曲線 相交于 、 兩點(diǎn)，已知圓 經(jīng)過(guò)原點(diǎn) 和 兩點(diǎn)，求圓 的方程,并判斷點(diǎn) 關(guān)于直線 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) 是否在圓 上.
【解析】解：(1)由已知，即動(dòng)點(diǎn) 到定點(diǎn) 的距離等于它到定直線 的距離，…2分
∴動(dòng)點(diǎn) 的軌跡曲線 是頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為 的拋物線和點(diǎn) …………4分
∴曲線 的軌跡方程為 和 .…6分由 解得 或
…8分即 , 設(shè)過(guò)原點(diǎn)與點(diǎn) 、 的圓 的方程為 ，
則 ,解得 ∴圓 的方程為 即
…10分由上可知，過(guò)點(diǎn) 且與直線 垂直的直線 方程為：
解方程組 ，得 即線段 中點(diǎn)坐標(biāo)為 ……12分
從而易得點(diǎn) 關(guān)于直線 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) 的坐標(biāo)為 把代入 代入：
∴點(diǎn) 不在圓 上.……14分
8、過(guò)拋物線 上不同兩點(diǎn) 、 分別作拋物線的切線相交于點(diǎn) )， .(Ⅰ)求 ;(Ⅱ)求證：直線 恒過(guò)定點(diǎn);(Ⅲ)設(shè)(Ⅱ)中直線 恒過(guò)定點(diǎn)為 ，若 恒成立，求 的值.
【解析】(Ⅰ)設(shè) ， ， .由 ，得： ， ，
， ， .直線 的方程是： .即 .
同理，直線 的方程是： .②由①②得： ， .
(Ⅱ)恒過(guò)點(diǎn) … 8分
(Ⅲ)由(Ⅰ)得： ， ， ，
， .
. .故 .
9、已知點(diǎn) ,直線 與直線 斜率之積為 ，記點(diǎn) 的軌跡為曲線 .(Ⅰ)求曲線 的方程;(Ⅱ)設(shè) 是曲線 上任意兩點(diǎn)，且 ,是否存在以原點(diǎn)為圓心且與 總相切的圓?若存在，求出該圓的方程;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解析】(Ⅰ)設(shè) 則由直線 與直線 斜率之積為 得 ， .
.(*)
由 得 ，整理得 .代入(*)式解得
此時(shí) 中 .此時(shí)原點(diǎn)O到直線 的距離
.故原點(diǎn)O到直線 的距離恒為 .存在以原點(diǎn)為圓心且與 總相切的圓，方程為 .--12分
10、已知對(duì)稱(chēng)中心為坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓 與拋物線 有一個(gè)相同的焦點(diǎn) ，直線 與拋物線 只有一個(gè)公共點(diǎn).(1)求直線 的方程;(2)若橢圓 經(jīng)過(guò)直線 上的點(diǎn) ，當(dāng)橢圓 的的離心率取得最大值時(shí)，求橢圓 的方程及點(diǎn) 的坐標(biāo).
(本小題主要考查直線、橢圓、拋物線等知識(shí), 考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力和運(yùn)算求解能力)
.… 3分∴直線 的方程為 .…… 4分
(2)法1：∵拋物線 的焦點(diǎn)為 ， 依題意知橢圓 的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為
設(shè)點(diǎn) 關(guān)于直線 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為 ，
則 …7分 解得 ∴點(diǎn) … 8分 ∴直線 與直線
的交點(diǎn)為 9分由橢圓的定義及平面幾何知識(shí)得：橢圓 的長(zhǎng)軸長(zhǎng)
其中當(dāng)點(diǎn) 與點(diǎn) 重合時(shí)，上面不等式取等號(hào)∴ . ∴ .
故當(dāng) 時(shí)， ， 12分此時(shí)橢圓 的方程為 ，點(diǎn) 的坐標(biāo)為 … 14分
法2：∵拋物線 的焦點(diǎn)為 ， 依題意知橢圓 的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為 .5分
設(shè)橢圓 的方程為 ，… 6分由 消去 ，
得 .(*) 7分
若直線 交直線 于點(diǎn) ，過(guò) 作直線 的垂線交 軸于點(diǎn) ，求 的坐標(biāo); (Ⅲ)求點(diǎn) 在直線 上射影的軌跡方程.
【解析】(Ⅰ)由題意知 ,故橢圓方程為 ......3分
(Ⅱ)設(shè) ， 則由圖知 ，得 ,故 .
設(shè) ,由 得： ， .
又 在橢圓上，故 ，化簡(jiǎn)得 ，即 ....8分
(Ⅲ)點(diǎn) 在直線 上射影即PQ與MB的交點(diǎn)H，由 得 為直角三角形，設(shè)E為 中點(diǎn)，則 = = ， ，因此H點(diǎn)的軌跡方程為 .
由點(diǎn) 知直線 的方程為 .分別在其中令
及 得 .5分將 的坐標(biāo)代入 中得
,即 ,7分所以 8分
(Ⅱ)設(shè)橢圓 的方程為 ,將 , 代入,
得 ,9分解得 , 由 得 . 10分
橢圓 的焦距
(或 ) 12分
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí),上式取等號(hào), 故 , 13分
此時(shí)橢圓 的方程為 14分
13、已知點(diǎn)P是圓F1： 上任意一點(diǎn)，點(diǎn)F2與點(diǎn)F1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng). 線段PF2的中垂線與PF1交于M點(diǎn).(Ⅰ)求點(diǎn)M的軌跡C的方程;(Ⅱ)設(shè)軌跡C與x軸的兩個(gè)左右交點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)K是軌跡C上異于A，B的任意一點(diǎn)，KH⊥x軸，H為垂足，延長(zhǎng)HK到點(diǎn)Q使得HK=KQ，連結(jié)AQ延長(zhǎng)交過(guò)B且垂直于x軸的直線l于點(diǎn)D，N為DB的中點(diǎn).試判斷直線QN與以AB為直徑的圓O的位置關(guān)系.
【解析】(Ⅰ)由題意得， (1分)
圓 的半徑為4，且 (2分)
從而 (3分)
∴ 點(diǎn)M的軌跡是以 為焦點(diǎn)的橢圓,其中長(zhǎng)軸 ,焦距 ，則短半軸 (4分)橢圓方程為: (5分)
(Ⅱ)設(shè) ，則 .∵ ，∴ .∴ (6分)
∴ 點(diǎn)在以 為圓心，2為半徑的的圓上.即 點(diǎn)在以 為直徑的圓 上.(7分)
又 ，∴直線 的方程為 .(8分)令 ，得 (9分)
又 ， 為 的中點(diǎn)，∴ (10分)∴ ， (11分)
∴
(Ⅱ)由題意可知，直線l的斜率存在且不為0，故可設(shè)直線l的方程為y=kx+m(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y并整理，得(1+k2)x2+2kmx+m2-a2=0，
則△=4k2m2-4(1+k2)(m2-a2)=4(k2a2+a2-m2)>0，且x1+x2=，x1x2=.
∴y1 y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2.∵直線OA，AB，OB的斜率依次成等比數(shù)列，∴•==k2，即+m2=0，又m≠0，∴k2=1，即k=±1.
設(shè)點(diǎn)O到直線l的距離為d，則d=，∴S△OAB=ABd=x1-x2 •
=x1-x2 m=.由直線OA，OB的斜率存在，且△>0，得0
∴0<<=a2.故△OAB面積的取值范圍為(0，a2).…(10分)
(Ⅲ)對(duì)橢圓Γ而言，有如下類(lèi)似的命題：“設(shè)不過(guò)原點(diǎn)O的直線l與橢圓Γ交于A，B兩點(diǎn)，若直線OA，AB，OB的斜率依次成等比數(shù)列，則△OAB面積的取值范圍為(0，ab).”……(13分)
15、已知 分別為橢圓 的左右焦點(diǎn)， 分別為其左右頂 點(diǎn)，過(guò) 的直線 與橢圓相交于 兩點(diǎn). 當(dāng)直線 與 軸垂直時(shí)，四邊形 的面積等于2，且滿(mǎn)足 .⑴求此橢圓的方程;⑵當(dāng)直線 繞著焦點(diǎn) 旋轉(zhuǎn)但不與 軸重合時(shí)，求 的取值范圍.
【命題意圖】本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到橢圓 方程的求法、直線與圓錐曲線的相關(guān)知識(shí)以及向量與圓錐曲線的綜合知識(shí).
【解析】⑴當(dāng)直線 與x軸垂直時(shí)，由 ，得 .
又 ,所以 ，即 ，又 ，
解得 . 因此該橢圓的方程為 . (4分)
⑵設(shè) ，而 ，所以 ， ，
， .從而有
. (6分)
因?yàn)橹本� 過(guò)橢圓的焦點(diǎn) ，所以可以設(shè)直線 的方程為 ，則由 消去 并整理，得 ，所以 ， . (8分)
進(jìn)而 ， ，可得 . (10分)
令 ，則 . 從而有 ，而 ，
所以可以求得 的取值范圍是 .(12分)
16、已知 、 分別是橢圓C ： 的左、右焦點(diǎn)，
M、N分別是雙曲線C ： 的左、右焦點(diǎn)，
過(guò)N作雙曲線漸進(jìn)線的垂線，垂足為P，
若PF ⊥x軸(1)橢圓C 與雙曲線C 的方程;
(2)分別過(guò)F 和N作兩條平行線 、 ， 交橢圓于A、B， 交雙曲線右支于D、E，問(wèn)：是否存在 ，使得 為定值，若不存在，說(shuō)明理由。
解：(1)可求出a2=2 ∴兩種曲線的方程分別為
(2)若L1，L2不垂直于x軸，設(shè)其斜率為k，則
, 定值為 當(dāng)L1，L2與x軸垂直時(shí)
, 定值為
17、如圖，過(guò)點(diǎn) 作拋物線 的切線 ，切點(diǎn)A在第二象限.(1)求切點(diǎn)A的縱坐標(biāo);(2)若離心率為 的橢圓 恰好經(jīng)過(guò)切點(diǎn)A，設(shè)切線 交橢圓的另一點(diǎn)為B，記切線 、OA、OB的斜率分別為 ，求橢 (2)由(1)得 ，切線斜率 ，設(shè) ，切線方程為 ，由 ，
得 .…7分所以橢圓方程為 ，且過(guò) ， .…9分
由 ， ，…11分
…15分
18、已知曲線 都過(guò)點(diǎn)A(0，-1)，且曲線 所在的圓錐曲線的離心率為 .(Ⅰ)求曲線 和曲線 的方程;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)B,C分別在曲線 ， 上， 分別為直線AB,AC的斜率,
當(dāng) 時(shí)，問(wèn)直線BC是否過(guò)定點(diǎn)?若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.
，即 .…12分故 過(guò)定點(diǎn) .…13分
19、在ΔABC中，頂點(diǎn)A,B, C所對(duì)三邊分別是a,b,c已知B(-1, 0), C(1, 0),且b,a, c成等差數(shù)列.(I )求頂點(diǎn)A的軌跡方程;(II) 設(shè)頂點(diǎn)A的軌跡與直線y=kx+m相交于不同的兩點(diǎn)M、N，如果存在過(guò)點(diǎn)P(0,- )的直線l,使得點(diǎn)M、N關(guān)于l對(duì)稱(chēng)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【解析】(I)由題知 得b+c=4，即AC+AB=4(定值).由橢圓定義知，頂點(diǎn)A的軌跡是以B、C為焦點(diǎn)的橢圓(除去左右頂點(diǎn))，且其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2，半焦距為1，于是短半軸長(zhǎng)為 .∴ 頂點(diǎn)A的軌跡方程為 .…4分
(II)由 消去y整理得(3+4k2)x2+8kmx+4(m2-3)=0.
∴Δ=(8km)2-4(3+4k2)×4(m2-3)>0，整理得：4k2>m2-3.①令M(x1，y1)，N(x2，y2)，則
設(shè)MN的中點(diǎn)P(x0，y0)，則
，……7分
i)當(dāng)k=0時(shí)，由題知， .………8分
ii)當(dāng)k≠0時(shí)，直線l方程為 ，由P(x0，y0)在直線l上，得 ，得2m=3+4k2.②
把②式代入①中可得2m-3>m2-3，解得00，解得 .∴ .
驗(yàn)證：當(dāng)(-2，0)在y=kx+m上時(shí)，得m=2k代入②得4k2-4k+3=0，k無(wú)解.即y=kx+m不會(huì)過(guò)橢圓左頂點(diǎn).同理可驗(yàn)證y=kx+m不過(guò)右頂點(diǎn).∴ m的取值范圍為( ).…………11分
綜上，當(dāng)k=0時(shí)，m的取值范圍為 ;當(dāng)k≠0時(shí)，m的取值范圍為( ).…12分
20、已知圓 的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn) ,且恰好與直線 相切. (Ⅰ) 求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(Ⅱ)設(shè)點(diǎn) 為圓上一動(dòng)點(diǎn), 軸于 ,若動(dòng)點(diǎn) 滿(mǎn)足 ,(其中 為非零常數(shù)),試求動(dòng)點(diǎn) 的軌跡方程 ;(Ⅲ)在(Ⅱ)的結(jié)論下，當(dāng) 時(shí), 得到曲線 ，與 垂直的直線 與曲線 交于 、 兩點(diǎn),求 面積的最大值.
【解析】 (Ⅰ)設(shè)圓的半徑為 ,圓心到直線 距離為 ，則 2分圓 的方程為
(Ⅱ)設(shè)動(dòng)點(diǎn) , , 軸于 ,
由題意, ，所以 5分
即: ，將 代入 ,得 7分 文
【總結(jié)】2013年為小編在此為您收集了此文章“高三數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法：沖刺易高考易錯(cuò)點(diǎn)平面解析幾何”，今后還會(huì)發(fā)布更多更好的文章希望對(duì)大家有所幫助，祝您在學(xué)習(xí)愉快!
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