第一講 最不利原則
例1.盒子里有5支紅筆，3支藍筆，10支黑筆。現(xiàn)在隨意抓一把筆要確保其中至少有1支紅筆，則一把必須不少于幾支？
分析：抓得巧，只要抓1支即可。然而并不能保證實現(xiàn)這種情況。最不利的情況是抓了13支，都是不想要的黑筆與藍筆。不過，只要再多抓1支就必定包含紅的了。
解：10＋3＋1＝14（支）
例2.一列2個小方格，每個方格中隨意涂紅黑兩種顏色中的一種，當涂畢第幾列時，至少有2列是相同的？（有一列與另一列重復）。
分析：不妨這樣想：要實現(xiàn)兩列所用顏色一樣，涂的順序也相同。然而，由于是任意選的，據(jù)最不利原則總是先考慮已涂各列沒有重復的。如：
紅 紅 黑 黑……
紅 黑 黑 紅……
實際上各不相同的列數(shù)總共只有4列。到第5列就必定重復前面涂過的4種中的某一種。如果并非遇到最不利情況，那么在前5列中重復的列數(shù)就不止2列。這與“至少2列”并不矛盾。
解：4＋1＝5（列）
練習一
1.盒子里有3支紅筆，6支藍筆，10支黑筆�，F(xiàn)在隨意抓一把筆要確保其中至少有1支紅筆，則一把必須不少于幾支？
2.魚池中有30條白鱗魚，50條黑鱗魚，50條金鱗魚。至少在多少名釣魚者中才可保證他們一次釣出的魚中，必有金鱗魚？
3.在一個口袋中有10個黑球、 6個白球、 4個紅球。問：至少從中取出多少個球，才能保證其中有白球？
4.口袋中有三種顏色的筷子各10根，問：至少取多少根才能保證三種顏色都取到？
5.在三個口袋中各有10個黑球、10個白球、10個紅球。問：至少從中取出多少個球，才能保證其中有白球？
第二講 抽屜原理
專題簡析：
如果給你5盒餅干，讓你把它們放到4個抽屜里，那么可以肯定有一個抽屜里至少有2盒餅干。如果把4封信投到3個郵箱中，那么可以肯定有一個郵箱中至少有2封信。如果把3本聯(lián)練習冊分給兩位同學，那么可以肯定其中有一位同學至少分到2本練習冊。這些簡單內(nèi)的例子就是數(shù)學中的“抽屜原理”。
基本的抽屜原理有兩條：（1）如果把x＋k（k≥1）個元素放到x個抽屜里，那么至少有一個抽屜里含有2個或2個以上的元素。（2）如果把m×x×k（x＞k≥1）個元素放到x個抽屜里，那么至少有一個抽屜里含有m＋1個或更多個元素。
例.某校六年級有學生367人，請問有沒有兩個學生的生日是同一天？為什么？
分析與解：把一年中的天數(shù)看成是抽屜，把學生人數(shù)看成是元素。把367個元素放到366個抽屜中，至少有一個抽屜中有2個元素，即至少有兩個學生的生日是同一天。
平年一年有365天，閏年一年有366天。把天數(shù)看做抽屜，共366個抽屜。把367個人分別放入366個抽屜中，至少在一個抽屜里有兩個人，因此，肯定有兩個學生的生日是同一天。
練習二
1.某校有370名2002年出生的學生，其中至少有幾個學生的生日是同一天？
2.某校有30名學生是2月份出生的，至少有幾個學生生日是在同一天？
3.15個小朋友中，至少有幾個小朋友在同一個月出生？
4.小明家有5口人，小明媽媽至少要買幾個蘋果分給大家，才能保證至少有一人能得兩個蘋果？
第三講 巧算24點
同學們，看過王小丫主持的“開心辭典”節(jié)目嗎？我記得上臺答題者有3道必做題，其中有一道有關數(shù)學的是：用四個數(shù)，通過加減乘除計算出24。“巧算24點”是一種數(shù)學游戲，正如象棋、圍棋一樣是人們喜聞樂見的娛樂活動。它對于培養(yǎng)我們快捷的心算能力和反應能力很有幫助。相信你會很快喜歡上它的！
假如，你手中就只有兩張牌要算出24，你希望是哪兩張？3和8，4和6，12和2，11和13。
1.利用3×8＝24、4×6＝24求解。
現(xiàn)在我們有四張牌，該怎么辦呢？把牌面上的四個數(shù)想辦法湊成3和8、4和6，再相乘求解。如3、3、6、10可組成（10－6÷3）＝24等。又如2、3、3、7可組成（7＋（3－2）×3＝24等。實踐證明，這種方法是利用率最大、命中率最高的一種方法。
2.利用0、1的運算特性求解。
同數(shù)相減得0，0加任何數(shù)的原數(shù)。相同數(shù)相除的1，1乘任何數(shù)得原數(shù)等。如3、4、4、8可組成3×8＋4－4＝24等。又如4、5、J、K可組成11×（5－4）＋13＝24等。
練習三
3，3，5，6
2，2，4，8
1，4，4，5
6，8，8，9
5，7，12，12
2，2，6，9
2，6，9，9
1，4，4，7
2，2，5，7
第四講 相遇問題
例1.甲、乙兩車同時從東、西兩地相向開出，甲車每小時行56千米，乙車每小時行48千米。兩車在距中點32千米處相遇，東、西兩地相距多少千米?
分析與解答：從圖中可以看出，兩車相遇時，甲車比乙車多行了32×2＝64（千米）。兩車同時出發(fā)，為什么甲車會比乙車多行64千米呢？因為甲車每小時比乙車多行56－48＝8（千米）。64里包含8個8，所以此時兩車各行了8小時，東、西兩地的路程只要用（56＋48）×8就能得出。
32×2÷（56－48）＝8（小時）
（56＋48）×8＝832（千米）
答：東、西兩地相距832千米。
練習四
1.小玲每分鐘行100米，小平每分鐘行80米，兩人同時從學校和少年宮出發(fā)，相向而行，并在離中點120米處相遇。學校到少年宮有多少米？
2.一輛汽車和一輛摩托車同時從甲、乙兩地相對開出，汽車每小時行40千米，摩托車每小時行65千米，當摩托車行到離兩地中點處50千米時和汽車相遇。甲、乙兩地相距多少千米？
3.甲、乙二人同時從東、西村相向出發(fā)，甲每分鐘行120米，乙每分鐘行100米，甲和乙在過中點200米處相遇。東村到西村的路程是多少米？
4.兩車同時從甲乙兩地相對開出，甲每小時行48千米，乙車每小時行54千米，相遇時兩車離中點36千米，甲乙兩地相距多少千米？
第五講 追及問題
本周的主要問題是“追及問題” 。
追及問題一般是指兩個物體同方向運動，由于各自的速度不同，后者追上前者的問題。追及問題的基本數(shù)量關系是：
速度差×追及時間＝追及路程
解答追及問題，一定要懂得運動快的物體之所以能追上運動慢的物體，是因為兩者之間存在著速度差。抓住“追及的路程必須用速度差來追”這一道理，結合題中運動物體的地點、運動方向等特點進行具體分析，并借助線段圖來理解題意，就可以正確解題。
例.中巴車每小時行60千米，小轎車每小時行84千米。兩車同時從相距60千米的兩地同方向開出，且中巴在前。幾小時后小轎車追上中巴車？
分析與解：原來小轎車落后于中巴車60千米，但由于小轎車的速度比中巴車快，每小時比中巴車多行84－60＝24千米，也就是每小時小轎車能追中巴車24千米。60÷24＝2.5小時，所以2.5小時后小轎車能追上中巴車。
練習五
1.一輛摩托車以每小時80千米的速度去追趕前面30千米處的卡車，卡車行駛的速度是每小時65千米。摩托車多長時間能夠追上？
2.兄弟二人從100米跑道的起點和終點同時出發(fā)，沿同一方向跑步，弟弟在前，每分鐘跑120米；哥哥在后，每分鐘跑140米。幾分鐘后哥哥追上弟弟？
3.小華從家里已走出200米，她的姐姐從家里騎自行車去追小華。已知小華每分鐘走70米，姐姐騎自行車每分鐘行120米。姐姐追上小華需要多少分鐘？
4.甲騎自行車從A地到B地，每小時行16千米。1小時后，乙也騎自行車從A地到B地，每小時行20千米，結果兩人同時到達B地。A、B兩地相距多少千米？
第六講 過橋問題
專題簡析：
有關火車過橋、火車過隧道、兩列火車車頭相遇到車尾相離等問題，也是一種行程問題。在考慮速度、時間和路程三種數(shù)量關系時，必須考慮到火車本身的長度。如果有些問題不容易一下子看出運動過程中的數(shù)量關系，可以利用作圖或演示的方法來幫助解題。
解答火車行程問題可記住以下幾點：
1.火車過橋（或隧道）所用的時間＝[橋（隧道長）＋火車車長]÷火車的速度；
2.兩列火車相向而行，從相遇到相離所用的時間＝兩火車車身長度和÷兩車速度和；
3.兩車同向而行，快車從追上到超過慢車所用的時間＝兩車車身長度和÷兩車速度差。
例1.甲火車長210米，每秒行18米；乙火車長140米，每秒行13米。乙火車在前，兩火車在雙軌車道上行駛。甲火車從后面追上到完全超過乙火車要用多少秒？
分析：甲火車從追上到超過乙火車，比乙火車多行了甲、乙兩火車車身長度的和，而兩車速度的差是18－13＝5米，因此，甲火車從追上到超過乙火車所用的時間是：（210＋140）÷（18－13）＝70秒。
練習六
1.一列火車長200米，它以每秒10米的速度穿過200米長的隧道，從車頭進入隧道到車尾離開隧道共需要多少秒？
2.某人沿著鐵路邊的便道步行，一列客車從身后開來，在身旁通過的時間是15秒，客車長105米，每秒速度為8米，求步行人每秒多少米?
3.一人以每分鐘60米的速度沿鐵路步行，一列長144米的客車對面開來，從他身邊通過用了8秒鐘，列車的速度是多少米/秒？
4.一列火車長700米，以每分鐘400米的速度通過一座長900米的大橋.從車頭上橋到車尾離要多少分鐘？
第七講 流水行船問題
當你逆風騎自行車時有什么感覺？是的，逆風時需用很大力氣，因為面對的是迎面吹來的風。當順風時，借著風力，相對而言用里較少。在你的生活中是否也遇到過類似的如流水行船問題。
解答這類題的要素有下列幾點：水速、流速、劃速、距離，解答這類題與和差問題相似。劃速相當于和差問題中的大數(shù)，水速相當于小數(shù)，順流速相當于和數(shù)，逆流速相當于差速。
順流船速＝劃速＋水速； 逆流船速＝劃速－水速；
劃速＝（順流船速＋逆流船速）÷2；
水速＝（順流船速－逆流船速）÷2；
順流船速＝逆流船速＋水速×2；逆流船速＝逆流船速－水速×2。
例：一條輪船往返于A、B兩地之間，由A地到B地是順水航行，由B地到A地是逆水航行。已知船在靜水中的速度是每小時20千米，由A地到B地用了6小時，由B地到A地所用的時間是由A地到B地所用時間的1.5倍，求水流速度。
解：設水流速度為每小時x千米，則船由A地到B地行駛的路程為[（20＋x）×6]千米，船由B地到A地行駛的路程為[（20－x）×6×1.5]千米。列方程為（20＋x）×6＝（20－x）×6×1.5，x＝4
練習七
1.船行于120千米一段長的江河中，逆流而上用10小明，順流而下用6小時，求水速和船速。
2.一只船逆流而上，水速2千米，船速32千米，4小時行多少千米。(船速，水速按每小時算)
3.一只船靜水中每小時行8千米，逆流行2小時行12千米，求水速。
4.某船在靜水中的速度是每小時18千米，水速是每小時2千米，這船從甲地到乙地逆水行駛需15小時，則甲、乙兩地相距多少千米？
第八講 質(zhì)數(shù)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)
專題簡析：
一個自然數(shù)的因數(shù)中，為質(zhì)數(shù)的因數(shù)叫做這個數(shù)的質(zhì)因數(shù)。
把一個合數(shù)，用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。例如：24＝2×2×2×3，75＝3×5×5。
我們數(shù)學課本上介紹的分解質(zhì)因數(shù)，是為求最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)服務的。其實，把一個數(shù)分解成質(zhì)因數(shù)相乘的形式，能啟發(fā)我們尋找解答許多難題的突破口，從而順利解題。
例1.把18個蘋果平均分成若干份，每份大于1個，小于18個。一共有多少種不同的分法？
分析：先把18分解質(zhì)因數(shù)：18＝2×3×3，可以看出：18的約數(shù)是1、2、3、6、9、18，除去1和18，還有4個約數(shù)，所以，一共有4種不同的分法。
練習八
1.有60個同學分成人數(shù)相等的小組去慰問解放軍叔叔，每組不少于6人，不多于15人。有哪幾種分法？
2.195個同學排成長方形隊伍做早操，行數(shù)和列數(shù)都大于1，共有幾種排法？
3.甲數(shù)比乙數(shù)大9，兩個數(shù)的積是792，求甲、乙兩數(shù)分別是多少。
4.有168顆糖，平均分成若干份，每份不得少于10顆，也不能多于50顆。共有多少種分法？
5.把462名學生分成人數(shù)相等的若干組去參加課外活動小組，每小組人數(shù)在10至25人之間，求每組的人數(shù)及分成的組數(shù)。
第九講 數(shù)的整除特征
1.若一個整數(shù)的末位是0、2、4、6或8，則這個數(shù)能被2整除。
2.若一個整數(shù)的末位是0或5，則這個數(shù)能被5整除。
3.若一個整數(shù)的數(shù)字和能被3整除，則這個整數(shù)能被3整除。
4.若一個整數(shù)的數(shù)字和能被9整除，則這個整數(shù)能被9整除。
5.若一個整數(shù)的末尾兩位數(shù)能被4整除，則這個數(shù)能被4整除。
6.若一個整數(shù)的未尾三位數(shù)能被8整除，則這個數(shù)能被8整除。
5.若一個整數(shù)的末三位與前幾位的差或反差是7的倍數(shù)，這個數(shù)就是7的倍數(shù)。
6.若一個整數(shù)的末三位與前幾位的差或反差是11的倍數(shù)，這個數(shù)就是11的倍數(shù)。
7.若一個整數(shù)的末三位與前幾位的差或反差是13的倍數(shù)，這個數(shù)就是13的倍數(shù)。
8.若一個整數(shù)的末三位與3倍的前面的隔出數(shù)的差能被17整除，則這個數(shù)能被17整除。
9.若一個整數(shù)的末三位與7倍的前面的隔出數(shù)的差能被19整除，則這個數(shù)能被19整除。
10.若一個整數(shù)的末四位與前面5倍的隔出數(shù)的差能被23(或29)整除，則這個數(shù)能被23整除。
練習九
1.能被3整除的最小的兩位數(shù)是＿＿＿，能被3整除的最大的兩位數(shù)是＿＿＿。
2.一個兩位數(shù)，既能被3整除，又能被5整除，它的十位上的數(shù)是4，個位上的數(shù)是＿＿＿。
3.能同時被2，3，5整除的最小的兩位數(shù)是＿＿＿。
4.同時能被3，4，5整除的最小四位數(shù)是＿＿＿。
5.從 0，l，2，3這四個數(shù)中任選三個，組成能同時被2，3，5整除的三位數(shù)，這樣的三位數(shù)共有＿＿＿個。
6.一個六位數(shù)12□34□是88的倍數(shù)，那么這個數(shù)除以88所得的商是＿＿＿。
第十講 最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)
常用的求最大公約數(shù)的方法是分解質(zhì)因數(shù)法和短除法。幾個自然數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個自然數(shù)的公倍數(shù)。公倍數(shù)中最小的一個大于零的公倍數(shù)，叫這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。下面討論幾個與最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)有關的問題。
例1.將一塊長3.57米、寬1.05米、高0.84米的長方體木料，鋸成同樣大小的正方體小木塊。問當正方體的邊長是多少時，用料最省且小木塊的體積總和最大？（不計鋸時的損耗，鋸完后木料不許有剩余）
分析與解：假設鋸完后小木塊的邊長為a，那么把鋸得的所有小木塊堆起來，適當組合以后一定可以堆成原來長方體木料的形狀。這就是說3.57、1.05、0.84都是小木塊邊長a的倍數(shù)，反過來說a就是3.57、1.05、0.84的公約數(shù)。另外還要求小木塊體積最大，也就是要求小木塊的邊長a最大。所以a是3.57、1.05、0.84三個數(shù)的最大公約數(shù)。
因為3.57米＝357厘米，1.05米＝105厘米，0.84米＝84厘米，所以 a＝（357，105，84）＝3×7＝21。當小木塊邊長為21厘米時，其體積最大。
練習十
1.把1米3分米5厘米長、1米5厘米寬的長方形紙，裁成同樣大小的正方形，至少能裁多少塊？
2.一塊長45厘米、寬30厘米的長方形木板，把它鋸成若干塊正方形而無剩余，所鋸成的正方形的邊長最長是多少厘米？
3.將一塊長80米、寬60米的長方形土地劃分成面積相等的小正方形，小正方形的面積最大是多少？
4.一個長方體木塊，長2.7米，寬1.8分米，高1.5分米。要把它切成大小相等的正方體木塊，不許有剩余，正方體的棱長最大是多少分米？
第十一講 分數(shù)和小數(shù)的互化
學完循環(huán)小數(shù)以后，有同學會產(chǎn)生以下問題：0.9和1誰大誰�。繛榻鉀Q這個問題就要研究分數(shù)與小數(shù)的互化問題。
有限小數(shù)是十進分數(shù)的另一種表現(xiàn)形式，如 ， 。
所以一個分數(shù)只要能變成十進分數(shù)就能化成有限小數(shù)。那么什么樣的分數(shù)能化成十進分數(shù)呢？就是分母分解質(zhì)因數(shù)后只含有2、5這樣質(zhì)因數(shù)的最簡分數(shù)。即一個最簡分數(shù)，如果分母除了2和5以外，不含有其他的質(zhì)因數(shù)，這個分數(shù)一定能化成有限小數(shù)，而且有限小數(shù)中小數(shù)部分的位數(shù)等于分母中質(zhì)因數(shù)2、5個數(shù)中最大的那個數(shù)。那么什么樣的分數(shù)能化成純循環(huán)小數(shù)、混循環(huán)小數(shù)？它的不循環(huán)部分的位數(shù)與循環(huán)節(jié)的最少位數(shù)與分母又有什么關系呢？下面就來研究這一問題。
練習十
1.把下面的分數(shù)化成小數(shù)：
2.一個最簡分數(shù)，如果分母中只含有質(zhì)因數(shù)____，這個分數(shù)一定能化成有限小數(shù)。
3.把下列分數(shù)化成小數(shù)：
4.把下列分數(shù)化成小數(shù)：
5.把下面的小數(shù)化成分數(shù)：
0.75＝______，1.39＝_______，1.625＝______。
6.把三個數(shù)： 和0.91，按從大到小的順序排列起來。
7.計算： －0.15
8.在下面的括號里填上適當?shù)臄?shù)：
第十二講 分數(shù)大小比較
專題簡析：解答這種類型的題目，需要將原題進行各種形式的轉化，再利用一些不等式的性質(zhì)進行推理判斷。如：a＞b＞0，那么a的平方＞b的平方；如果a＞b＞0，那么1a ＜1b ；如果ab ＞1，b＞0，那么a＞b等等。
比較大小時，如果要比較的分數(shù)都接近1時，可先用1減去原分數(shù)，再根據(jù)被減數(shù)相等（都是1），減數(shù)越小，差越大的道理判斷原分數(shù)的大小。
如果兩個數(shù)的倒數(shù)接近，可以先用1分別除以這兩個數(shù)。再根據(jù)被除數(shù)相等，商越小，除數(shù)越大的道理判斷原數(shù)的大小。
除了將比較大小轉化為比差、比商等形式外，還常常要根據(jù)算式的特點將它作適當?shù)淖冃魏笤龠M行判斷。
例.比較777773777778 和888884888889 的大小。
因為1－777773777778 ＝5777778 ，1－888884888889 ＝5888889
5777778 ＞5888889
所以777773777778 ＜888884888889 。
練習十二
1.比較下面兩個分數(shù)的大�。�
2.分數(shù)
3.如果 那么A與B中較小的分數(shù)是_____。
4.分數(shù) 中較大的一個是＿＿＿。
5.分數(shù) 。
6.把分數(shù) 按照從大到小的順序排列起來＿＿＿＿。
7.把分數(shù) 按照從小到大的順序排列起來：
8.分數(shù) 中，最大的數(shù)是＿＿，最小的數(shù)是＿＿。
9.把下列分數(shù)按從小到大的順序排列起來：
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
10.比較大�。�
第十三講 裂項法
專題簡析：前面我們介紹了運用定律和性質(zhì)以及數(shù)的特點進行巧算和簡算的一些方法，下面再向同學們介紹怎樣用拆分法（也叫裂項法、拆項法）進行分數(shù)的簡便運算。
運用拆分法解題主要是使拆開后的一些分數(shù)互相抵消，達到簡化運算的目的。一般地，形如1a×(a+1) 的分數(shù)可以拆成1a －1a+1 ；形如1a×（a+n） 的分數(shù)可以拆成1n ×（1a －1a+n ），形如a+ba×b 的分數(shù)可以拆成1a ＋1b 等等。同學們可以結合例題思考其中的規(guī)律。
例.計算：11×2 ＋12×3 ＋13×4 ＋…..＋ 199×100
原式＝（1－12 ）＋（12 －13 ）＋（13 －14 ）＋…..＋ （199 －1100 ）
＝1－12 ＋12 －13 ＋13 －14 ＋…..＋ 199 －1100
＝1－1100
＝99100
練習十三
1.14×5 ＋15×6 ＋16×7 ＋…＋139×40
2.110×11 ＋111×12 ＋112×13 ＋ 113×14 ＋114×15
3.12 ＋16 ＋112 ＋120 ＋ 130 ＋142
4.1－16 ＋142 ＋156 ＋172
第十四講 繁分數(shù)
我們已經(jīng)學習過分數(shù)，如3÷7＝37 5÷11＝511 ，即兩個數(shù)相除，其中被除數(shù)相當于分數(shù)的分子，除數(shù)相當于分數(shù)的分母，所以37 ÷5可以寫成37 5 ，2÷（35 ＋27 ）可以寫成2 35 +27 ，（311 ＋12 ）÷（58＋13 ）可以寫成311 +12 58 +13 。
由以上三式我們看到繁分數(shù)的分子或分母中又含有分數(shù)，繁分數(shù)是我們學習分數(shù)時遇到的一類較復雜分數(shù)。在繁分數(shù)中，用較長的分數(shù)線分出分子部分和分母部分，這較長的分數(shù)線我們稱它為主分數(shù)線。
繁分數(shù)的計算并不難，關鍵要掌握好分數(shù)運算的基本方法.如：分數(shù)的運算法則、約分以及分數(shù)基本性質(zhì)，這樣就能化繁為簡，很快地計算出來
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